等腰三角形（3）【备课精讲精研】 八年级数学下册高效课堂（北师大版）

新课标北师大版八年级下册1.1.3等腰三角形（3）第一章三角形的证明学习目标1.探索等腰三角形判定定理．2.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．3.了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。情境导入1.等腰三角形的两底角相等．（简写成“等边对等角”）ABC∵AB=AC(已知)∴∠B=∠C(等边对等角)等腰三角形有哪些性质？文字语言符号语言2.等腰三角形是轴对称图形情境导入3.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合．（简称“三线合一”）ABCD①∵AB=AC，BD=CD∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC②∵AB=AC，∠BAD=∠CAD∴BD=CD，AD⊥BC③∵AB=AC，AD⊥BC∴BD=CD，∠BAD=∠CAD文字语言符号语言①②③中知一得二探究新知核心知识点一：等腰三角形的判定我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么他们所对的角相等。反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ABC探究新知猜想：若∠B=∠C,则AB=AC做一做：如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？3cm3cm测量后发现AB与AC相等.探究新知分析：如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了.证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.探究新知证明：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°.又∵∠B=∠C，AD=AD，∴△ABD≌△ACD.∴AB=AC.证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.D探究新知归纳总结1．判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．(简称等角对等边)应用格式：在△ABC中，∵∠B＝∠C,∴AB＝AC.

ACB探究新知归纳总结ACB2．等腰三角形的判定与性质的异同相同点：都是在一个三角形中；区别：判定是由角到边，性质是由边到角．即：．探究新知例：

已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E.

求证：△AED是等腰三角形.证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,∴△ABD≌△DCA(SSS),∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）,∴AE=DE(等角对等边）,∴△AED是等腰三角形.探究新知核心知识点二：反证法小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，即在△ABC中，

如果∠B≠∠C，那么AB≠AC.你认为这个结论成立吗？如果成立，请证明.探究新知CAB

如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时,AB与AC要么相等,要么不相等.

假设AB=AC,那么根据“等边对等角”定理可得∠B=∠C,但已知条件是∠B≠∠C，“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC.小明是这样想的:你能理解他的推理过程吗?利用了“反证法”探究新知归纳总结

在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．探究新知归纳总结用反证法证题的一般步骤1.假设:先假设命题的结论不成立;2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.探究新知例：

用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：△ABC.求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角.证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°.于是∠A＋∠B＋∠C=90°＋90°＋∠C>180°.这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立.所以，一个三角形中不能有两个角是直角.适宜用反证法证明的命题：反证法主要用于直接证明比较困难的命题，例如下面几种常见类型的命题就适宜用反证法：(1)结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能有两个钝角；(2)唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；(3)命题的结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个凸多边形中至多有3个锐角．归纳总结探究新知随堂练习1.把下列命题用反证法证明时的第一步写出来.（1）三角形中必有一个内角不小于60度；（2）一个三角形中不能有两个角是钝角；（3）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.假设三角形中三个内角都小于60度假设一个三角形中有两个角是钝角假设在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线不平行随堂练习2.已知△ABC三个内角的对边分别为a，b，c，则下列条件中，△ABC不是等腰三角形的是()A.a=3，b=3，c=4B.a∶b∶c=4∶5∶6C.∠B=50°，∠C=80°D.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2B随堂练习3.已知△ABC中，AB=AC，求证:∠B<90°.下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤:①所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾;②因此假设不成立,所以∠B<90°;③假设在△ABC中,∠B≥90°;④由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是

.(填序号)

③④①②随堂练习4.在平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(

)A．5B．6C．7D．8B随堂练习6.如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,则图中等腰三角形的个数是

.5.在△ABC中,∠A=50°,若∠B=

,则△ABC是等腰三角形.50°或65°3随堂练习7.如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,AF与DE相交于点G.求证:GE=GF.证明:如图.∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.在△ABF和△DCE中,∵AB=DC,∠B=∠C,BF=CE,∴△ABF≌△DCE,∴∠1=∠2,∴GE=GF.随堂练习证明：∵DE∥BC，

∴∠DBC=∠EDB.又∵BD是∠ABC的平分线

，∴∠ABD=∠CBD.∴∠EDB=

∠ABD.∴BE=ED（等角对等边），∴△EBD是等腰三角形.ABCED8.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，DE∥BC.求证：△EBD是等腰三角形.随堂练习9.用反证法证明:等腰三角形的两底角必为锐角.证明:①假设等腰三角形ABC的底角∠B,∠C都是直角,则

,从而

>180°,这与

矛盾.②假设等腰三角形ABC的底角∠B,∠C都是钝角,则

,从而

,这与

矛盾.综上所述,假设①②

,所以∠B,∠C只能为