力学基础新第12杆稳定性

第十二章

压杆的稳定性干扰力P

£

Plj§12–1压杆稳定性的概念P

=

Plj干扰力干扰力ljP

‡

P杆件直线状态的平衡由稳定变为不稳定的现象，称为失去稳定，简称为失稳。杆件维持原有的平衡状态的能力称为稳定性。Plj

——临界压力（临界力）xPM

(x)yxPxyl§12–2两端铰支细长压杆的临界压力vPM

(x)

=

-PvEIv

¢=

M

(x)

=

-PvEIPv¢+

v

=

0EIk

2

=

P令v¢+

k

2v

=

0v

=

Asin

kx

+

B

cos

kx由x

=0，v

=0；得B

=0，于是v

=

Asin

kx由x

=l，v

=0；得:Asin

kl

=

0若A

=0，则v≡0，挠曲线为直线，无意义，只能sin

kl

=

0v¢+

k

2v

=

0通解为：于是得：kl

=np(n

=

0,

1,

2,

)EI(k

2

=

P

)xPxyl代入P=EIk

2l

2n2p

2

EIP

=(n

=

0,

1,

2,

)kl

=

npk

=

npl此解最小者为压杆的临界力，但n=0，P=0，无意义，故取n

=1。即p

2

EIPlj

=

l

2此即两端铰支细长压杆的临界压力计算公式，亦称欧拉公式。此时，v

=

A

sin

p

x

为一条半波正弦曲线。l§12–3

其他约束情况下细长压杆的临界压力统一写为p

2

EIPlj

=

(m

l)2mm

lm的取值见表12-1。长度系数相当长度约束情况两端铰支一端固定一端自由一端固定一端铰支两端固定压杆形状llll长度系数m

=1m

=

2m

=

0.7m

=

0.5表12-1压杆的长度系数l1.3l1.7l2l（b）（a）mla

=

2l,mlc

=

0.7

·1.7l

=1.19l,解：(a)(c)（d）杆临界压力最大。例12-3-1

直径、材料相同，而约束不同的圆截面细长压杆，哪个临界压力最大。（c）

（d）(b)

mlb

=1.3l,(d

)

mld

=

0.5·

2l

=

l,——

临界应力p

2

EIA

(ml)2

AljljPs

==引入惯性半径i

=IAs

lj

=§12–4

临界应力总图一、临界应力p

2

E2

m

l

i

则sljil

=

mll

——压杆的柔度（或长细比）。l

越大，slj

越小，压杆越易失稳。则p

2

Es

lj

=

l2p

2

E2s

lj

=

m

l

i

引入记号：——欧拉公式二、欧拉公式的适用范围欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程得到的，而挠曲线近似微分方程是在材料线弹性基础上建立的，因此欧拉公式中的临界应力不得超过材料的比例极限，即p

2

Eslj

=

l2

£

s

PEs

Pl

‡

pPPEsl

=

p引入记号：Es

Pl

‡

p因此，欧拉公式的适用条件为l

‡

lPl≥lP的压杆称为大柔度杆（或细长杆）。lP

与材料有关，见表12-2。三、超过比例极限后压杆的临界应力slj

=

a

-

bl式中a，b是与材料性质有关的常数，见表12-2。对于slj

‡sp

的情况，欧拉公式不成立。工程上使用经验公式。该公式也有适用范围，即s

lj

=

a

-

bl

£

s

sbl

‡

a

-s

s记：则适用条件为：

ls

£

l

£

lpssa

-sbl

=s

lj

=

a

-

bl

£

sb或l

‡

a

-sbb或bb,

l

=a

-sblb

£

l

£

lp或该类压杆称为中柔度压杆（或中长杆）。l

＜ls（或lb）的压杆称为小柔度压杆（或短粗杆）。试验表明，该类杆不会发生失稳破坏，而是发生强度s

lj

=s

s

或sb失效。故:四、临界应力总图把三种情况的slj－l

关系画在一个坐标系里，称为临界应力总图。s

lj

=

sss

lj

=

a

-

blp

2

Es

lj

=

l2s

ljlPllsos

sPs例12-4-1图示压杆的E=70GPa，sp=175MPa。此压杆是否适用欧拉公式，若能用，临界力为多少。1.5mPyz10040解：

I

=

IminI

yi

=Amlil

=lP

=

pPEs=

I

y100

·

403

/12100

·

40=203=

mm0.7

·1.5·10320

/

3==

90.917570

·103=

p

·=

62.8因l≥lP，此压杆为大柔度杆，故欧拉公式适用，临界力为：(ml)2ljP

=p

2

EI

p

2

·70

·109

·100

·

403

·10-12=

·10-3(0.7

·1.5)2

·12=

334.2kNl

=

90.9lP

=

62.81mzy2060Pzxo=17.32mmiz

=I20

·603 z

=A

12

·20

·60I

y60

·203iy

=

A

=

12

·

20

·60

=

5.77mm例12-4-2

图示矩形截面压杆，约束性质为：在xoz平面内为两端固定；在xoy平面内为一端固定，一端自由。E=200GPa，lp=100，ls=60，a=460MPa，b=2.57MPa。试求此压杆的临界应力和临界力。解：iz

=17.32mm,

iy

=

5.77mm=115.5zzzim

l

2

·100017.32l

==0.5·10005.77=

86.7yyyim

ll

=

=压杆将在xoy平面内失稳，欧拉公式适用。2115.52ljzlp

2

E

p

2

·

200

·103s

=

=

=148MPalj

lj6

-6

-3P

=

s

A

=148·10

·

20

·60

·10

·10

=178kN1mzy60PzxolP

=100,

ls

=

60,20思考：若杆长为0.8m，则临界应力和临界力是多少？§12–5

压杆的稳定计算稳定条件ljPnWP

£WPPn

=

lj‡

n或n

——

工作安全系数nW——稳定安全系数nW取值2

~

5，有时可达8

~10。解：Pp

2

Elp

=s280

·106p

2

·

210

·109==

86m

=1例12-5-1

空气压缩机的活塞杆由优质碳钢制成，活塞杆可简化为两端铰支杆，ss=350Mpa,

sp=280MPa,

E=210GPa

。长度l=703mm,

直径d=45mm。最大压力Pmax=41.6kN。稳定安全系数为nW=9。试校核其稳定性。对圆轴AIi

=64

4p

d

4

1p

d

2

==16d

24d=i

45

/

4l

<lp

，所以不是大柔度杆，不能用欧拉公式。由表12-2

查得：a

=

460

MPa,

b

=

2.57

MPal

=

m

l=

1·

703

=

62.5ssa

-sbl

==

460

-

350

=

42.82.57所以，是中柔度杆。ls

<

l

<

lp采用直线经验公式：s

lj

=

a

-

bl

=

460

-

2.57

·62.5

=

299.4

MPaPlj

=

s

ljA

=

476.2

kNPPn

=

lj41.6W=

476.2

»11.4

>

n故满足稳定要求。例12-5-2

图示结构，杆1、2的材料、长度均相同，但横截面不同（如图示）。已知E=200GPa，杆长l=0.8m，

lp=99.3，ls=57，a=304MPa，b=1.12MPa，并取稳定安全系数nW=3

。试求许可载荷P。230mm30mmd=32mm130°30°P1

213P

=

P

=

P解：由静力分析可知：杆中压力Ii

=A

=ls

<

l

<

lP（1）1杆：，按中长杆，有slj

=

a

-

bl

=

304

-1.12

·92.4

=

200MPaP

=

As

=

30

·30

·10-6

·

200

·10-6

=180kNlj

lj1230mm30mmd=32mm30°30°Pmll

=

i1[P

]

=ljWPn1·0.8·1038.66==

92.43=

180

=

60kN304

/12=

8.66mm30

·30d（2）2杆：230mm30mmd=32mm130°30°P2[P

]

=ljWPn=100

>

lP按细长杆，有：p

2

Eslj

=

l2ljljP

=

As32i

=

= =

8mm4

4ml

1·0.8·103l

=

i

=8p

2

·

200

·1091002=197.4MPa=4p

·(0.032)2=

·197.4

·10-6

=158.8kN3=

158.8

=

52.9kN[P1

]

>[P2