第二章2.3-2.3.1平面向量基本定理

PAGE第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理A级基础巩固一、选择题1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2解析：B中，因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．答案：B2．在菱形ABCD中，∠A＝eq\f(π,3)，则eq\o(AB,\s\up16(→))与eq\o(AC,\s\up16(→))的夹角为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(5π,6) D.eq\f(2π,3)解析：由题意知AC平分∠BAD，所以eq\o(AB,\s\up16(→))与eq\o(AC,\s\up16(→))的夹角为eq\f(π,6).答案：A3．在△ABC中，点D在BC边上，且eq\o(BD,\s\up16(→))＝2eq\o(DC,\s\up16(→))，设eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up16(→))可用基底a，b表示为()A.eq\f(1,2)(a＋b) B.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b D.eq\f(1,3)(a＋b)解析：因为eq\o(BD,\s\up16(→))＝2eq\o(DC,\s\up16(→))，所以eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up16(→)).所以eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b.答案：C4．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))，且eq\o(BP,\s\up16(→))＝3eq\o(PA,\s\up16(→))，则()A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3) B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4) D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)解析：由已知eq\o(BP,\s\up16(→))＝3eq\o(PA,\s\up16(→))，得eq\o(OP,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＝3(eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OP,\s\up16(→)))，整理，得eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up16(→))，故x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4).答案：D5．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\f(4,3)eq\o(CA,\s\up16(→))＋λeq\o(CB,\s\up16(→))，则λ＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2,3)解析：因为A，B，D三点共线，所以存在实数t，使eq\o(AD,\s\up16(→))＝teq\o(AB,\s\up16(→))，则eq\o(CD,\s\up16(→))－eq\o(CA,\s\up16(→))＝t(eq\o(CB,\s\up16(→))－eq\o(CA,\s\up16(→)))，即eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(CA,\s\up16(→))＋t(eq\o(CB,\s\up16(→))－eq\o(CA,\s\up16(→)))＝(1－t)eq\o(CA,\s\up16(→))＋teq\o(CB,\s\up16(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－t＝\f(4,3)，,t＝λ，))解之得λ＝－eq\f(1,3).答案：C二、填空题6．若eq\o(OP1,\s\up16(→))＝a，eq\o(OP2,\s\up16(→))＝b，eq\o(P1P2,\s\up16(→))＝λeq\o(PP2,\s\up16(→))(λ≠－1)，则eq\o(OP,\s\up16(→))＝________．解析：因为eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(OP1,\s\up16(→))＋eq\o(P1P,\s\up16(→))＝eq\o(OP1,\s\up16(→))＋λeq\o(PP2,\s\up16(→))＝eq\o(OP1,\s\up16(→))＋λ(eq\o(OP2,\s\up16(→))－eq\o(OP,\s\up16(→)))＝eq\o(OP1,\s\up16(→))＋λeq\o(OP2,\s\up16(→))－λeq\o(OP,\s\up16(→))，所以(1＋λ)eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(OP1,\s\up16(→))＋λeq\o(OP2,\s\up16(→))所以eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\f(1,1＋λ)eq\o(OP1,\s\up16(→))＋eq\f(λ,1＋λ)eq\o(OP2,\s\up16(→))＝eq\f(1,1＋λ)a＋eq\f(λ,1＋λ)b答案：eq\f(1,1＋λ)a＋eq\f(λ,1＋λ)b7．已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为________．解析：如图，作向量eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up16(→))＝a－b.由已知，得OA＝1，OB＝eq\r(2)，OA⊥AB，所以△OAB为等腰直角三角形，所以∠AOB＝45°，所以a与b的夹角为45°.答案：45°8．如果3e1＋4e2＝a，2e1＋3e2＝b，其中a，b为已知向量，则e1＝________，e2＝________．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3e1＋4e2，,b＝2e1＋3e2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(e1＝3a－4b，,e2＝3b－2a.))答案：3a－4b3b－2a三、解答题9.如图所示，平面内有三个向量eq\o(OA,\s\up11(→))，eq\o(OB,\s\up11(→))，eq\o(OC,\s\up11(→))，其中eq\o(OA,\s\up11(→))与eq\o(OB,\s\up11(→))的夹角为120°，eq\o(OA,\s\up11(→))与eq\o(OC,\s\up11(→))的夹角为30°，且|eq\o(OA,\s\up11(→))|＝|eq\o(OB,\s\up11(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up11(→))|＝2eq\r(3)，若eq\o(OC,\s\up11(→))＝λeq\o(OA,\s\up11(→))＋μeq\o(OB,\s\up11(→))(λ，μ∈R)．求λ＋μ的值．解：如图所示，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则eq\o(OC,\s\up11(→))＝eq\o(OD,\s\up11(→))＋eq\o(OE,\s\up11(→)).在直角△OCD中，因为|eq\o(OC,\s\up11(→))|＝2eq\r(3)，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，所以|eq\o(OD,\s\up11(→))|＝4，|eq\o(CD,\s\up11(→))|＝2，故eq\o(OD,\s\up11(→))＝4eq\o(OA,\s\up11(→))，eq\o(OE,\s\up11(→))＝2eq\o(OB,\s\up11(→))，即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.10.如图所示，在△OAB中，eq\o(OA,\s\up11(→))＝a，eq\o(OB,\s\up11(→))＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且eq\o(OM,\s\up11(→))＝eq\f(1,3)a，eq\o(ON,\s\up11(→))＝eq\f(1,2)b，设eq\o(AN,\s\up11(→))与eq\o(BM,\s\up11(→))相交于点P，用向量a，b表示eq\o(OP,\s\up11(→)).解：因为eq\o(OP,\s\up11(→))＝eq\o(OM,\s\up11(→))＋eq\o(MP,\s\up11(→))，eq\o(OP,\s\up11(→))＝eq\o(ON,\s\up11(→))＋eq\o(NP,\s\up11(→))，设eq\o(MP,\s\up11(→))＝meq\o(MB,\s\up11(→))，eq\o(NP,\s\up11(→))＝neq\o(NA,\s\up11(→))，则eq\o(OP,\s\up11(→))＝eq\o(OM,\s\up11(→))＋meq\o(MB,\s\up11(→))＝eq\f(1,3)a＋meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,3)a))＝eq\f(1,3)(1－m)a＋mb.eq\o(OP,\s\up11(→))＝eq\o(ON,\s\up11(→))＋neq\o(NA,\s\up11(→))＝eq\f(1,2)b＋neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)(1－n)b＋na.因为a，b不共线，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)（1－m）＝n，,\f(1,2)（1－n）＝m，))⇒n＝eq\f(1,5)，m＝eq\f(2,5).所以eq\o(OP,\s\up11(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(2,5)b.B级能力提升1．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列说法正确的是()A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．对空间任意向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈RC．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD．对于平面α内任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对解析：B错，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任一向量；C错，在平面α内任意向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D错，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是有无数对．答案：A2．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq\o(AB,\s\up11(→))＝meq\o(AM,\s\up11(→))，eq\o(AC,\s\up11(→))＝neq\o(AN,\s\up11(→))，则m＋n的值为________．解析：设eq\o(AB,\s\up11(→))＝a，eq\o(AC,\s\up11(→))＝b，则eq\o(AO,\s\up11(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up11(→))＋eq\o(AC,\s\up11(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，又eq\o(AO,\s\up11(→))＝eq\o(AM,\s\up11(→))＋eq\o(MO,\s\up11(→))＝eq\o(AM,\s\up11(→))＋λeq\o(MN,\s\up11(→))＝eq\o(AM,\s\up11(→))＋λ(eq\o(AN,\s\up11(→))－eq\o(AM,\s\up11(→)))＝(1－λ)eq\o(AM,\s\up11(→))＋λeq\o(AN,\s\up11(→))＝eq\f(1－λ,m)a＋eq\f(λ,n)b.根据平面向量基本定理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1－λ,m)＝\f(1,2)，,\f(λ,n)＝\f(1,2