复变函数第一章

复变函数第一章第1页，课件共35页，创作于2023年2月基础课专业基础课工程数学

专业课线性代数复变函数概率论与随机过程第2页，课件共35页，创作于2023年2月参考书第3页，课件共35页，创作于2023年2月关于复变函数课程发展：复数是16世纪解代数方程时引入的；18世纪欧拉阐明了几何、物理意义，得以发展；19世纪柯西、黎曼、魏尔斯特拉斯（导数、积分、级数）。应用：自然科学和工程技术中广泛应用,如空气动力学、流体力学、电磁学、热学、理论物理、信息处理等广泛应用。研究对象：高等数学中实变函数：复变函数中复变函数：学习要点：注意与实变函数共同点和不同点。第4页，课件共35页，创作于2023年2月复变函数课程的基本内容第5页，课件共35页，创作于2023年2月第一章复数及复平面基本内容：1、复数的代数运算。2、复数的表示(四种形式)。3、复平面拓扑（区域及其单连通多连通概念）重点：复数的运算、表示。

第6页，课件共35页，创作于2023年2月§1复数及其几何表示1、复数定义：

i称为虚单位：

复数大小比较

(1)不能比较大小;(2)实部、虚部分别相等复数才相等。第7页，课件共35页，创作于2023年2月2、代数运算：加、减：乘法：除法：第8页，课件共35页，创作于2023年2月复数：共轭复数:

第9页，课件共35页，创作于2023年2月复平面：x-实轴y-虚轴复数（向量、三角、指数、图形）xz(x,y)yo§2复数的表示第10页，课件共35页，创作于2023年2月复数四种表示方法：1、向量表示：

2341xy第11页，课件共35页，创作于2023年2月辐角主值公式：2341xy第12页，课件共35页，创作于2023年2月2、三角表示法：3、指数表示法：由欧拉公式：指数表示：目标2：将复数的表示相互转换。第13页，课件共35页，创作于2023年2月4、平面图形复数形式方程：

目标3：将复数方程与平面图形相联系。第14页，课件共35页，创作于2023年2月目标3：将复数方程与平面图形相联系。目标2：将复数的表示相互转换。作业P311、8第15页，课件共35页，创作于2023年2月复数的乘幂与方根

定理二、商：模相除；辐角相减。辐角相减：两端可能取的值的全体是相同的。1、乘积：定理一、乘积：模相乘；辐角相加。辐角相加：两端可能取的值的全体是相同的。2、商：第16页，课件共35页，创作于2023年2月3、幂：

n个相同的复数z相乘，为z的n次幂(n为整数)。

4、根：（多值性）第17页，课件共35页，创作于2023年2月几何上看，n个值是以原点为中心，为半径的圆的内接正n边形的n个顶点。第18页，课件共35页，创作于2023年2月目标4：求复数的根和幂。第19页，课件共35页，创作于2023年2月

§2复平面的拓扑为了研究复变函数，就要看其变化范围，通常变化范围是区域。第20页，课件共35页，创作于2023年2月边界点：D为区域，p不属于D，但在p任意小的邻域内总包含有D中的点，称p为D的边界点。内点：D为复平面点集，z为D中任一点，如果z的一个

邻域存在使该邻域内的所有点都属于D，称z为

D的内点。开集：如果D的每个点都是它的内点，称D为开集。第21页，课件共35页，创作于2023年2月连通：点集D中任何两点都可以用完全属于它的一条折线连接起来，称D为连通的。区域：平面点集称为区域它必须满足下列两个条件：

1）D是一个开集。2）D是连通的。边界：D的所有边界点组成D的边界。闭区域：区域D与它的边界一起构成闭区域。有界区域：M为正整数，如果D区域内的所有点z都满足，D为有界区域。无界区域：否则称D为无界区域。第22页，课件共35页，创作于2023年2月第23页，课件共35页，创作于2023年2月单连通域：区域D中任做一条简单闭曲线，曲线内部总属于D，称D为单连通区域。多连通域：不满足单连通域条件的区域。目标5：判断定义的集合为：区域或闭区域；有界或无界；单连通或多连通。第24页，课件共35页，创作于2023年2月目标4：求复数的根和幂。目标5：判断定义的集合为：区域或闭区域；有界或无界；单连通或多连通。第25页，课件共35页，创作于2023年2月1、复变函数定义：

单值函数：z与w一一对应。多值函数：一个z对应两个以上w值。反函数：z=g(w)2、映射：习惯将实变函数用几何图形表示，复变函数是对变量(x,y)(u,v)之间的对应关系，可以看作(x,y)平面通过f变换到(u,v)平面的映射。§5复变函数第26页，课件共35页，创作于2023年2月目标6：用简单的函数关系找到映射曲线。第27页，课件共35页，创作于2023年2月§6复变函数的极限和连续性1、极限：第28页，课件共35页，创作于2023年2月第29页，课件共35页，创作于2023年2月2、连续性：第30页，课件共35页，创作于2023年2月目标7：判断函数的连续性。第31页，课件共35页，创作于2023年2月目标6：用简单的函数关系找到映射曲线。目标7：判断函数的连续性。第32页，课件共35页，创作于2023年2月第一章小结(3个内容)1、复数：

1）复数的概念z=x+iy2）复数的运算（加、减、乘、除，交换率、结合率、分配率、共轭复数）3）复数的表示（向量、三角、指数、图形）4)幂与根：第33页，课件共35页，创作于2023年2月2、复平面的拓扑邻域，内点，开集，区域，闭区域，有界区域，圆域，圆环域，连通，单连通域，多连通域，边界点，边界，连续曲线，光滑曲线，闭曲线，简单曲线第34页，课件共35页，创作于2