第03练空间向量的应用（8种题型过关练能力提升练拓展练）（原卷版）

第03练空间向量的应用〔8种题型过关练+力量提升练+拓展练〕1.空间向量平行、垂直、模长、夹角的坐标表示〔1〕，〔2〕，〔3〕，〔4〕.2.空间两点间的距离公式设，那么.3.平面的法向量：直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量.4.空间中直线、平面的平行〔1〕线线平行:假设分别为直线的方向向量,那么使得.〔2〕线面平行:设直线的方向向量,是平面的法向量,，那么.法2:在平面内取一个非零向量,假设存在实数,使得,且，那么.法3:在平面内取两个不共线向量,假设存在实数，使得,且,那么〔3〕面面平行:设分别是平面的法向量，那么，使得.5.空间中直线、平面的垂直〔1〕线线垂直:假设分别为直线的方向向量,那么.〔2〕线面垂直:设直线的方向向量,是平面的法向量,那么，使得.法2:在平面内取两个不共线向量,假设.那么.〔3〕面面垂直:设分别是平面的法向量，那么.6.用空间向量争论距离、夹角问题〔1〕点到直线的距离：是直线上任意两点,是外一点，，那么点到直线的距离为.(2)求点到平面的距离平面的法向量为,是平面内的任一点，是平面外一点,过点作那么平面的垂线，交平面于点,那么点到平面的距离为.〔3〕直线与直线的夹角假设分别为直线的方向向量，为直线的夹角，那么.(4)直线与平面的夹角设是直线的方向向量,是平面的法向量,直线与平面的夹角为.那么.〔5〕平面与平面的夹角平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角.假设分别为平面的法向量，为平面的夹角，那么<解题方法与技巧>1.求点到平面的距离的四步骤2.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；(4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角．3.利用向量法求两平面夹角的步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角；(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角)一．空间向量的夹角与距离求解公式〔共3小题〕1．〔2022春•江苏月考〕如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P、Q分别在线段C1D、AC上，那么线段PQ长度的最小值是〔〕A． B． C． D．2．〔2022春•江宁区校级期中〕在通用技术课上，老师给同学们供应了一个如下图的木质正四棱锥模型P﹣ABCD，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥．某小组经争论后给出如下方案：第一步，过点A作一个平面分别交PB，PC，PD于点E，F，G，得到四棱锥P﹣AEFG；其次步，将剩下的几何体沿平面ACF切开，得到另外两个小四棱锥．在实施第一步的过程中，为便利切割，需先在模型外表画出截面四边形AEFG，假设，，那么的值为．3．〔2023春•徐州期中〕：＝〔x，4，1〕，＝〔﹣2，y，﹣1〕，＝〔3，﹣2，z〕，∥，⊥，求：〔1〕，，；〔2〕+与+所成角的余弦值．二．向量的数量积推断向量的共线与垂直〔共2小题〕4．〔2023春•金坛区校级月考〕空间向量，，假设，那么m＝〔〕A． B． C． D．5．〔2022春•海陵区校级期中〕空间向量＝〔1，2，3〕，，假设，那么＝〔〕A．4 B．5 C． D．三．直线的方向向量、空间直线的向量参数方程〔共2小题〕〔多项选择〕6．〔2022春•清江浦区校级期中〕关于空间向量，以下说法正确的选项是〔〕A．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，那么l∥α B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，那么l⊥m C．假设对空间内任意一点O，都有，那么P，A，B，C四点共面 D．平面α，β的法向量分别为，那么α⊥β〔多项选择〕7．〔2023春•洪泽区校级月考〕直线l1、l2的方向向量分别是，假设，且l1⊥l2，那么x﹣y的值可以是〔〕A．﹣3 B．7 C．1 D．﹣5四．平面的法向量〔共3小题〕8．〔2023春•天宁区校级期中〕设向量是直线l的方向向量，是平面α的法向量，那么〔〕A．l⊥α B．l∥α或l⊂α C．l∥α D．l⊂α9．〔2023春•盱眙县校级期中〕如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，那么以下向量中，能作为平面AEF的法向量的是〔〕A．〔1，﹣2，4〕 B．〔﹣4，1，﹣2〕 C．〔2，﹣2，1〕 D．〔1，2，﹣2〕10．〔2023春•常州月考〕A〔1，2，0〕，B〔0，4，0〕，C〔2，3，3〕．〔1〕求与y轴正方向的夹角的余弦值；〔2〕点P〔﹣3，m，n〕在直线AC上，求m+n的值；〔3〕假设与分别是平面α与平面β的法向量且α⊥β，求λ的值．五．直线与平面所成的角〔共4小题〕11．〔2023春•宿城区校级月考〕如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段B1D1上动点〔包括端点〕．①三棱锥P﹣A1BD中，点P到面A1BD的距离为定值②过点P且平行于面A1BD的平面被正方体ABCD﹣A1B1C1D1截得的多边形的面积为③直线PA1与面A1BD所成角的正弦值的范围为④当点P为B1D1中点时，三棱锥P﹣A1BD的外接球外表积为11π以上命题为真命题的个数为〔〕A．1 B．2 C．3 D．4〔多项选择〕12．〔2023春•新北区校级期中〕如下图的几何体是由正方形ABCD沿直线AB旋转90°得到的，设G是圆弧的中点，H是圆弧上的动点〔含端点〕，那么〔〕A．存在点H，使得EH⊥BG B．存在点H，使得EH∥BD C．存在点H，使得EH∥平面BDG D．存在点H，使得直线EH与平面BDG的所成角为30°13．〔2023春•溧阳市月考〕如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝3，点E在棱PD上，且2PE＝ED，点F是棱PC上的动点〔不含端点〕．〔1〕假设F是棱PC的中点，求∠EAF的余弦值；〔2〕求PA与平面AEF所成角的正弦值的最大值．14．〔2023春•金坛区期中〕如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面相互垂直，且AB∥CD，AB⊥BC，AP⊥PB，AB＝2，BC＝CD＝1．〔1〕求证：AB⊥PD；〔2〕求直线PC与平面ABP所成角的余弦值；〔3〕线段PA上是否存在点E，使得PC∥平面EBD？假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由．六．二面角的平面角及求法〔共6小题〕15．〔2023春•金坛区期中〕将边长为a的正三角形ABC沿BC边上的高线AD折成120°的二面角，那么点A到BC边的距离是〔〕A． B． C． D．16．〔2023春•金坛区期中〕如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，P为线段A1C上的动点，那么以下结论中不正确的选项是〔〕A．当时，直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为 B．当时，假设平面BDC1的法向量记为，那么 C．当时，二面角A1﹣AD1﹣P的余弦值为 D．假设，那么17．〔2023春•连云区校级月考〕如图，△ABC和△DBC所在的平面相互垂直，AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，那么二面角A﹣BD﹣C的正切值等于．18．〔2023春•海州区期中〕如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的全部棱长都是2，AA1⊥平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点．〔1〕求证：AE⊥平面A1BD；〔2〕求点B1到平面A1BD的距离；〔3〕求二面角D﹣BA1﹣A的余弦值．19．〔2023春•徐州期中〕如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF．〔1〕求证：A1F⊥C1E；〔2〕当三棱锥B1﹣BEF的体积取得最大值时，求二面角B1﹣EF﹣B的正弦值．20．〔2023春•金坛区期中〕如图，三角形ABC是圆柱底面圆的内接三角形，PA为圆柱的母线，M，N分别是AC和PA的中点，平面PBC⊥平面PAB，PA＝AB＝BC＝2．〔1〕求证：BC⊥AB；〔2〕求三棱锥N﹣ABM和圆柱的体积之比；〔3〕求平面PBC与平面MBN所成的锐二面角的大小．七．向量语言表述线面的垂直、平行关系〔共2小题〕21．假设直线l⊥a，且l的方向向量为〔，m，l〕，平面a的法向量为〔1，，2〕，那么m为〔〕A．2 B．1 C． D．〔多项选择〕22．为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量，那么以下说法中正确的有〔〕A．∥⇔α∥β B．⊥⇔α⊥β C．⊥⇔l∥α D．∥⇔l⊥α八．向量语言表述面面的垂直、平行关系〔共1小题〕23．〔2023春•广陵区校级月考〕如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，D为BC的中点．〔1〕证明：A1B∥平面ADC1；〔2〕证明：平面ADC1⊥平面BB1C1C．一、单项选择题1．〔2023秋·江苏苏州·高二统考期末〕如图，在直三棱柱中，，是的中点，以为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系.假设，那么异面直线与所成角的余弦值为〔

〕A． B． C． D．二、多项选择题2．〔2020春·江苏南通·高二统考期末〕如图，正方体的棱长为，、、分别为、、的中点，那么〔

〕A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等3．〔2023春·江苏南京·高二南京师大附中校考期中〕如图①，在矩形中，，为的中点将沿直线翻折至的位置，使得平面平面，如图②所示，以下说法法正确的有〔

〕A．平面平面B．异面直线与所成角的余弦值为C．点到平面的距离为D．二两角的正弦值为三、填空题4．〔2023春·江苏南京·高二南京师大附中校考期中〕在正方体中，点是棱的中点，是侧面上的动点，满意//平面，假设该正方体的棱长为，那么点到直线的距离的最小值为__________.四、解答题5．〔2023秋·江苏苏州·高二统考期末〕如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，点分别为的中点.(1)求证：；(2)假设，求平面与平面夹角的正弦值.6．〔2023春·江苏常州·高二校联考期中〕如下图的几何体中，平面平面，，假设为的中点，为的中点，.(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离；(3)求平面与平面所成角〔锐角〕的余弦值.7．〔2023春·江苏南京·高二南京师大附中校考期中〕如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，.(1)证明：平面；(2)假设，求直线与平面所成角的正弦值.8．〔2023春·江苏南京·高二南京师大附中校考期中〕如图，在三棱柱中，，，，，平面平面.(1)求与所成角的余弦值；(2)在棱上是否存在一点，使得二而角的余弦值为？假设存在，求出的值，假设不存在，说明理由．9．〔2022秋·江苏南京·高二校考期末〕三棱柱中，，，线段的中点为，且.(1)求证：平面；(2)点在线段上，且，求二面角的余弦值.10．〔2023春·江苏常州·高二校联考期中〕如图，圆锥SO，S为顶点，是底面的圆心，为底面直径，，圆锥高SO=6，点P在高SO上，是圆锥SO底面的内接正三角形.(1)假设PO=，推断和平面是否垂直，并证明；(2)点P在高SO上的动点，当和平面所成角的正弦值最大时，求三棱锥PABC的体积.11．〔2023春·江苏扬州·高二扬州市广陵区红桥高级中学校考期中〕如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面平面ABCD，．(1)求点A到平面PBC的距离；(2)E为线段PC上一点，假设直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值．12．〔2022春·江苏盐城·高二统考期末〕如图，在四棱锥中，平面平面，，．(1)求证：；(2)