分式运算的几种技巧(专题复习)超好的整理资料

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本文介绍了分式运算的几种技巧。分式运算的一般方法是按照分式运算法则和运算顺序进行运算，但对于某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，甚至算不出来。因此，我们需要掌握以下几种技巧。一、整体通分法对于分式与整式的加减运算，如果能把整式看作分母是1的分式，并把整式看作一个整体，提取“-”后再通分，会使运算更加简便。例如，对于分式a2/a1，可以看作整式(-a-1)的分式形式(-a-1)/1，然后通分，得到-a2/(a1(a+1))。二、先约分后通分法对于各个分式并非最简分式的题目，可以先化简再通分计算，这样会方便许多。例如，对于分式x2/3x2和x2/2x，可以化简为(x+2)/(x-1)和(x-2)/(x-1)，然后通分，得到(x+2)(x-2)/(x-1)2。三、分组加减法对于项数较多、分母不相同的题目，可以考虑分组，使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便。例如，对于分式a-2+a+1-a-1-a+2，可以分组为(a-2-a+2)+(a+1-a-1)，然后化简，得到2a-3。四、分离整数法当算式中各分式的分子次数与分母次数相同时，可以先利用分裂整数法对分子降次后再通分，或者在解某些分式方程中使用分裂整数法。例如，对于分式(x1)(x2)(x4)(x3)/(x1x2x4x3)，可以分裂为(1/x1)(1/x2)(1/x4)(1/x3)，然后通分，得到1。五、逐项通分法对于一次通分计算量太大的题目，可以采用逐项通分法，即依次通分构成平方差公式，分段分步计算。例如，对于分式1/(1-x)(a-x)(a+x)(a2-x2)，可以分段分步计算，得到-1/[(a2-1)(a-x)(a+x)]。六、裂项相消法对于分式中有相同的分子或分母的项，可以采用裂项相消法，即把相同的项分别裂开，然后相消。例如，对于分式1/2-1/4-1/8-1/16-1/48-1/96-1/256，可以裂项相消，得到1/2-7/256。分析：本题需要剔除格式错误和明显有问题的段落，然后对每段话进行小幅度的改写，使其更加清晰易懂。解：例7.已知$\frac{2x-5xy+2y}{yx+2xy+yx}=\frac{2}{11}$，求$\frac{1}{1+1/x+1/y}$的值。解法1：由$\frac{2x-5xy+2y}{yx+2xy+yx}=\frac{2}{11}$得，$xy\neq0$，所以$$\frac{1}{1+1/x+1/y}=\frac{1}{\frac{x+y+xy}{xy}}=\frac{xy}{x+y+xy}$$将$\frac{2x-5xy+2y}{yx+2xy+yx}=\frac{2}{11}$代入，得$$\frac{xy}{x+y+xy}=\frac{5}{27}$$解法2：由$\frac{2x-5xy+2y}{yx+2xy+yx}=\frac{2}{11}$得，$xy\neq0$，且$x+y=5xy$，所以$$\frac{1}{1+1/x+1/y}=\frac{1}{\frac{x+y+xy}{xy}}=\frac{xy}{x+y+xy}=\frac{xy}{6xy}=\frac{1}{6}$$练习：若$\frac{11}{3x+5xy-3y}=\frac{5}{x-3xy-y}$，求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的值。答案：将$\frac{11}{3x+5xy-3y}=\frac{5}{x-3xy-y}$化简得$3x+5xy-3y=-\frac{11}{5}(x-3xy-y)$，代入$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$，得$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{3x+5xy-3y}{xy}=\frac{-11}{5}$$例8.已知$a^2-5a+1=0$，计算$a^4+\frac{1}{a^4}$。由已知条件可得$a\neq0$，所以$a^4+\frac{1}{a^4}=\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)^2-2=\left(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2-2\right)^2-2=\left((5-2)^2-2\right)^2-2=527$。练习：（1）已知$x+3x+1=0$，求$\frac{2}{x}$的值。解：将$x+3x+1=0$化简得$x=-\frac{1}{3}$，所以$\frac{2}{x}=-6$。例9.已知$\frac{b+ca+ca+b}{abc}=\frac{3}{a+b+c}$，计算：$$\frac{b+ca+ca+b}{b+ca+ca+b}$$解：设$\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}=k$，则$b+c=ak$，$a+c=bk$，$a+b=ck$。将这三个等式相加得$2(a+b+c)=(a+b+c)k$。若$a+b+c=0$，则$a+b=-c$，所以$k=-1$。若$a+b+c\neq0$，则$k=2$。因此，$$\frac{b+ca+ca+b}{abc}=\begin{cases}-1\quad\text{若}\;a+b+c=0\\3\quad\text{若}\;a+b+c\neq0\end{cases}$$练习：（1）已知实数$x$、$y$满足$x:y=1:2$，则$\frac{x-y}{x+y}$的值为多少？解：由$x:y=1:2$得$x=2y$，所以$$\frac{x-y}{x+y}=\frac{2y-y}{2y+y}=\frac{1}{3}$$（2）已知$\frac{3x-y}{x+y}=\frac{2x-3y+4z}{xyz}$，求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$的值。解：将$\frac{3x-y}{x+y}=\frac{2x-3y+4z}{xyz}$化简得$3x+5y-3z=-\frac{11}{5}(x-3y-y)$，代入$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$，得$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{x+y+z}{xyz}=\frac{3x+5y-3z}{xyz}=-\frac{11}{15}$$例10.已知$\frac{2a^2}{4a+1}=\frac{7}{a+7}$，求$\frac{2a+a^2+1}{a^2-a+1}$的值。解：由已知条件可得$a\neq0$，所以$\frac{2a^2}{4a+1}=\frac{7}{a+7}$可化简为$a^2+3a-2=0$，解得$a=1$或$a=-2$。因此，$$\frac{2a+a^2+1}{a^2-a+1}=\begin{cases}5\quad\text{若}\;a=1\\-\frac{1}{3}\quad\text{若}\;a=-2\end{cases}$$没有明显的格式错误和问题段落，但是需要将数学公式进行编辑和排版，同时需要将题目和解答分开。题目：1.已知a+=5，则4=a++1=(a+)-1=22aa49aa249∴4=a+a2+115a212.已知abc=1，则abc++=ab+a+1bc+b+1ca+c+13.已知xyz≠0,x+y+z=0,计算y+zx+zx+y++yxz4.已知2x-3y+4zxyz=4563zx2+y2+z25.已知3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算ab+bc+ac6.计算以下混合运算题目：a)x2a2+3a+1x+3yx+2y2x-3y-1b)(3)-(1)2c)(2)2-x-1d)a-1a-1x-1x-y2x2-y2y2-x2e)a+633132xyxya-+-f)(4)+(5)-(6)g)x-y2x+y-y2y2-x2x+66-2x9-x2a-3a-3aah)(1-aaa2-4x)2x1x2-y23x(7)-x-(8)(9)-x-3x-4a+2axyx+2x-2x-2i)x2-2x+1x-3x-35a2+b2a2-b2÷(1+2)÷(11)(10)+2)÷÷(x+2-)(12)÷j)2aba-bx+1x-1x-2x-2xx+3x2+2x+1x+2x-1x2-16÷÷(13)(14)-k)(2x-1x2-1x+3x-2)÷x÷x2-4x+4x2+4x(15)解答：1.已知a+=5，则4=a++1=(a+)-1=22aa49aa249∴4=a+a2+115a21将公式排版为：已知a+=5，则4=a++1=(a+)-1=22aa49aa249∴4=a+a2+1/15a212.已知abc=1，则abc++=ab+a+1bc+b+1ca+c+1将公式排版为：已知abc=1，则abc++=ab+a+1/bc+b+1/ca+c+13.已知xyz≠0,x+y+z=0,计算y+zx+zx+y++yxz将公式排版为：已知xyz≠0,x+y+z=0，计算(y+zx+zx+y)/(yxz)4.已知2x-3y+4zxyz=4563zx2+y2+z2，求x2+y2+z2/4z2将公式排版为：已知2x-3y+4zxyz=4563z(x2+y2+z2)，求x2+y2+z2/4z25.已知3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算ab+bc+ac将公式排版为：已知3a-4b-c=0，2a+b-8c=0，计算ab+bc+ac6.计算以下混合运算题目：a)x2a2+3a+1x+3yx+2y2x-3y-1将公式排版为：计算x2/(a2+3a+1)+(x+3y)/(x+2y)-(2x-3y-1)b)(3)-(1)2将公式排版为：计算(3)-[(1)2]c)(2)2-x-1将公式排版为：计算[(2)2-x-1]d)a-1a-1x-1x-y2x2-y2y2-x2将公式排版为：计算a-1/a-1+x-1/x-y2+x2-y2/y2-x2e)a+633132xyxya-+-将公式排版为：计算(a+6)/(3+3+1)/(2xy+xy)-(a-3)/(a)f)(4)+(5)-(6)将公式排版为：计算(4)+(5)-(6)g)x-y2x+y-y2y2-x2x+66-2x9-x2a-3a-3aa将公式排版为：计算(x-y)2/(x+y)-(y2-x2)/(x+6)-2x/(9-x2)-a-3/(a-3a)h)(1-aaa2-4x)2x1x2-y23x(7)-x-(8)(9)-x-3x-4a+2axyx+2x-2x-2将公式排版为：计算[(1-aaa2-4x)/(x1x2-y2)]-[(3x)/(7-x)-(x-(8)/(9-x))-(3a+4)/(2axyx-2x-2)]i)x2-2x+1x-3x-35a2+b2a2-b2÷(1+2)÷(11)(10)+2)÷÷(x+2-)(12)÷将公式排版为：计算(x2-2x+1)/(x-3)-5(a2-b2)/[(a2+b2)(1+2)]÷[(11)(10)+2]÷[(x+2)(x-1)]j)2aba-bx+1x-1x-2x-2xx+3x2+2x+1x+2x-1x2-16÷÷(13)(14)-将公式排版为：计算2a/(ba-bx+1)-(x-1)/(x-2)-(x-2)/(x+3)+(x2-16)/[(13)(14)]k)(2x-1x2-1x+3x-2)÷x÷x2-4x+4x2+4x(15)将公式排版为：计算[(2x-1)/(x2-1)]/[(x+3)/(x2-4x+4x2+4x)]$x+2x-14-x\div(-1)$，并求当$x=-3$时原式的值。【错题警示】一、错用分式的基本性质例1：化简$\dfrac{x+1}{2x-4}$错解：$\dfrac{x+1}{2x-4}=\dfrac{3(x+1)}{6(x-2)}=\dfrac{3x+3}{6x-12}=\dfrac{x+1}{2x-4}$分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质。正解：$\dfrac{x+1}{2x-4}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x+1}{x-2}$二、错在颠倒运算顺序例2：计算$\dfrac{2x-1}{x+3}\cdot\dfrac{x+2}{x-1}$错解：$\dfrac{2x-1}{x+3}\cdot\dfrac{x+2}{x-1}=\dfrac{(2x-1)(x+2)}{(x+3)(x-1)}=\dfrac{2x^2+3x-2}{x^2+2x-3}=\dfrac{(x-2)(2x+1)}{(x+3)(x-1)}$分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误。正解：$\dfrac{2x-1}{x+3}\cdot\dfrac{x+2}{x-1}=\dfrac{2(x-2)(x+1)}{(x+3)(x-1)}$三、错在约分例3：当$x$为何值时，分式$\dfrac{3x-9}{2x-6}$有意义？[错解]原式$\dfrac{3x-9}{2x-6}=\dfrac{3(x-3)}{2(x-3)}=\dfrac{3}{2}$，由$\dfrac{3}{2}$得$x=0$，因此当$x=0$时，分式有意义。[解析]上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式致错误。[正解]由$\dfrac{3x-9}{2x-6}=\dfrac{3(x-3)}{2(x-3)}$且$x\neq3$，扩大了未知数的取值范围，而导致$x=3$时，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不为零的条件，正确答案是$x\neq3$。四、错在以偏概全例4：当$x$为何值时，分式$\dfrac{x^2-4}{x-2}$的值为零？[错解]由$\dfrac{x^2-4}{x-2}=(x+2)(x-2)$，得$x=-2$或$x=2$时，原分式的值为零。[解析]上述解法中只考虑了分子的因式$(x+2)(x-2)$，没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误。[正解]由$\dfrac{x^2-4}{x-2}=(x+2)(x-2)$，得$x=-2$或$x=2$或$x=2$时，分式的分母为零，分式无意义，正确答案是$x=-2$或$x=2$且$x\neq2$。五、错在计算去分母例5：计算$\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}$[错解]原式$=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{x-2+x-1}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{2x-3}{x^2-3x+2}$[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母。[正解]原式$=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{2x-3}{(x-1)(x-2)}$六、错在只考虑分子没有顾及分母例6：当$x$为何值时，分式$\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-4x+3}$的值为零？[错解]由$\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-4x+3}=\dfrac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-3)}$，得$x=2$或$x=3$时，原分式的值为零。[解析]当$x=1$时，分式的分母$(x-1)(x-3)$为零，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不为零的条件。[正解]由$\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-4x+3}=\dfrac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-3)}$，得$x=2$或$x=3$或$x=1$时，分式的分母为零，分式无意义，正确答案是$x=2$或$x=3$且$x\neq1$。七、错在“且”与“或”的用法例7：当$x$为何值时，分式$\dfr