有理数知识总结完整版

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有理数知识总结概念：数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。利用数轴比较数的大小，可以在数轴上表示数。相反数：只有符号不同的两个数称互为相反数。有理数：整数和分数统称为有理数。有理数分类：按有理数的定义分类：整数和分数。按正负分类：正整数、负整数、正分数、负分数。数轴：数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可。数轴能形象地表示数，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数。在数轴上比较有理数的大小，右边的数总比左边的数大。正数都有大于，负数都小于，正数大于一切负数。相反数：只有符号不同的两个数称互为相反数。位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。每个数的相反数是唯一的，相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。绝对值：在数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值。一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。绝对值的主要性质：$\mida\mid\geq0$，$\mida\mid=a$或$\mida\mid=-a$，$\midab\mid=\mida\mid\cdot\midb\mid$。一个数的绝对值是非负数，即a≥0。因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零。两个相反数的绝对值相等。比较有理数大小时，两个负数，绝对值大的反而小。比较两个负数的方法步骤是：先分别求出两个负数的绝对值，比较这两个绝对值的大小，根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断。有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得零；一个数与0相加，仍得这个数。加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。有理数的减法：减去一个数等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。有理数的加减混合运算可以省略加号和的形式，在一个和式里，把各个加数的括号和它前面的加号省略不写。例如，把-8+（+10）+（-6）+（-4）写成省略加号和的形式为-8+10-6-4，读作“负8，正10，负6，负4的和”，也可读作“负8加10减6减4”。适当的应用加法运算律。有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。几个不等于0的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负号的个数为奇数时，积为负；当负号的个数为偶数时，积为正。几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。乘法交换律：ab=ba；乘法结合律：(ab)c=a(bc)；乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac。有理数的除法法则1：除以一个数等于乘以这个数的倒数。不能做除数。有理数的除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不等于0的数，都得0。有理数的乘方是求几个相同因数积的运算，叫做乘方。a的n次方记作an。乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数。正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何非0次幂都是0。13.科学记数法科学记数法是一种用来表示大于等于1的数的方法，其中一个大于等于1小于10的数被乘以10的n次幂，即a×10^n，其中1≤a<10，n是正整数。14.有理数的混合运算在有理数的混合运算中，先进行乘方运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。对于同级运算，按照从左至右的顺序进行。如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的。15.近似数和有效数字准确数是完全符合实际的数，而近似数是和准确数非常接近的数。近似数和准确数接近的程度被称为精确度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。从左边第一个不是0的数字起到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。近似数的精确度有两种形式：精确到哪一位和保留几个有效数字。【例题精讲】一、有理数的作用：有理数可以用来表示数的性质，表示没有，表示某种状态，表示正数与负数的中性数，以及表示界点。二、数轴与数的关系所有有理数都可以用数轴上的点表示出来。三、相反数、倒数已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，e<0且|e|=1，那么(-ab)^2009-(c+d)^2008-e^2007的值为。知三个互不相等的有理数，即可以表示为1，a+b，a的形式，又可表示为b的形式，且x的绝对值为2，求(a+b)^2008/(a+b-(ab)^2009-(a+b-ab)+x^2)的值。四、绝对值若a-3+|2b+5|=0，则2a-b的值为。若a<b，则b-a+1-a-b-5的值为。a、b在数轴上的位置如图，化简|a+b|和|b-1|。代数式|x+2|+|x-3|的最小值为。五、有理数的运算计算(-3-3^2+(-3)^2)/1×3；1/(1-1/32)；a-b/a+b。六、科学记数法→近似数及有效数字科学记数法可以用来表示大于等于1的数，其中一个大于等于1小于10的数被乘以10的n次幂。近似数是和准确数非常接近的数，而有效数字是从左边第一个不是0的数字起到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。近似数的精确度有两种形式：精确到哪一位和保留几个有效数字。14.北京到兰州的铁路中间有25个站台，包括北京和兰州。为满足票务需求，需要设立多种票种。15.设a、b、c为有理数，则由abc/(a+b+c)构成的各种数值是abc的各种因数。16.在数轴上，设有理数a、b、c的对应点如图所示，则│b-a│+│a+c│+│c-b│=2│c-a│。17.填上合适的数：1，8，27，64，125，216。18.读一读：“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和。为了简便起见，我们用求和符号“∑”表示，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为∑(2n-1)。又如“1+2+3+4+5+6+7+8+9+10”可表示为∑n。请解答以下问题：（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为∑n，结果为50。（2）计算∑(1/((n+2)(n+4)))，结果为1/12。19.计算：23/5-(-4-2/3)-(-7-2/3)，结果为31/15。20.计算：(24/-9)×(25/5)，结果为-100。21.已知b-1+a-2=1/2，求1/(ab)+1/((a+1)(b+1))+1/((a+2)(b+2))+…+1/((a+2006)(b+2006))的值。答案为ln(2)。22.求1+22+23+…+22008的值。设S=1+22+23+…+22008，则2S=22+23+24+…+22009。因此2S-S=22009-1，所以1+22+23+…+22008=22009-1。同理，可得1+52+53+…+52009的值为52010-5。23.三个互不相等的有理数，既可以表示为1、a+b、a的形式，也可以表示为1、b/a、b的形式。求a2000+b2001的值。设这三个数分别为1、x、y，则有x+y=1+a+b=1+b/a，解得a=(x-1)(y-1)/(x+y-2)，b=(x-1)(y-1)/(y/x-1)，代入可得a2000+b2001=2001。24.电子跳蚤从数轴上的某点K开始跳跃，第一步向左跳1个单位到K1，第二步由K1向右跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到K3，以此类推。已知电子跳蚤第n步跳到了距离K的左边n(n+1)/2个单位的位置，求K的坐标。设K的坐标为x，则x-1+2-3+4-5+…+(-1)n(n+1)/2=n(n+1)/2，解得x=n(n+1)/4+1/2。假设电子跳蚤的初始位置为K1，那么第一步跳到K2，说明K2比K1大2个单位，即K2=K1+2。第二步跳到K2，说明K3比K2小3个单位，即K3=K2-3。按照以上规律，第100步跳到K100，说明K100比K99大100个单位，即K100=K99+100。因此，我们可以列出如下的等式：K2=K1+2K3=K2-3K4=K3+4...K99=K98-99K100=K99+100将以上等式相加，可以得到：K100=K1+2-3+4-...-99+100化简得：K100=K1+(2-3+4-...-99+100)其中，2-3+4-...-