8.2.4三角恒等变换的应用-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第三册）（解析版）

8.2.4三角恒等变换的应用TOC\o"1-3"\h\u题型1半角公式的应用 ④cosαsinβ=和差化积：=1\∗GB3\∗MERGEFORMAT①cosα+cosβ=2cos=2\∗GB3\∗MERGEFORMAT②cosα−cosβ=−2sin=3\∗GB3\∗MERGEFORMAT③sinα+sinβ=2sin=4\∗GB3\∗MERGEFORMAT④sinα−sinβ=2cos题型1半角公式的应用【方法总结】当给出角α的范围（某一区间）时，可先确定角eq\f(α,2)的范围，再确定各函数值的符号。若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号。（3）对于Sα2，Cα2，α∈R，而对于【例题1】（2022·高一课时练习）利用半角公式，求sin5π【答案】2【分析】首先判断sin5π12>0【详解】解：因为0<5π12<π2，所以【变式1-1】1．(多选)（2022春·江苏镇江·高一统考期末）tan75°＝（

）A．2+3 B．1+cos150°1−cos150° C．sin150°1+cos150°【答案】ACD【分析】根据两角和的正切公式及特殊角的三角函数值判断A，由正切半角公式判断BC，由tan60°−αtan【详解】tan75°=tan(45°+30°)=tan45°+tan30°由正切的半角公式知tan75°=1−cos150°tan75°=sin75°∵tan60°−αtan60°+αtanα故选：ACD.【变式1-1】2．（2022·高一课时练习）已知α∈(−π2,0)，A．3 B．−3 C．13 D．【答案】D【分析】由角的范围及平方关系求得cosα【详解】由tanα2=sinα1+cosα所以tanα故选：D【变式1-1】3．（2022春·甘肃酒泉·高一校考期中）已知α∈(π2A．−1010 B．1010 C．−【答案】A【分析】根据同角三角函数的平方关系及半角的余弦公式，再结合诱导公式即可求解.【详解】由α∈(cosα∵π2<cosα所以cos(π−α2)=−cos故选：A.【变式1-1】4．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考期中）若α∈0,π2，A．33 B．3 C．34 【答案】B【分析】根据同角三角函数商数关系，半角公式化简得到cosα=1【详解】因为tanα2=又因为α∈0,π所以2−cosα=2cos所以cosα又因为α∈0,π2，所以故选：B．【变式1-1】5．（2022·高一课时练习）若tanπ+α=−4A．35 B．3 C．5 D．【答案】C【分析】由题知sinα【详解】解：因为tanπ+α所以sinα所以1sin故选：C【变式1-1】6．（2022·高一课时练习）化简：cos3【答案】−2【分析】由诱导公式与三角恒变换公式求解即可【详解】∵0<α∴tanα2=∴1+cosα又∵cos3π2∴cos=−sin∵0<α∴0<α∴sinα∴cos32π−故答案为：−2题型2积化和差公式的应用【方法总结】积化和差公式的巧记口诀余余相乘余和加，正正相乘余减反，正余相乘正相加，余正相乘正相减。注意前提是（α+β）在前面，【例题2-1】（2022·高一课时练习）利用积化和差公式，求下列各式的值：(1)cos15°cos75°；(2)sin20°sin40°sin80°．【答案】(1)1(2)3【分析】利用积化和差公式求解.(1)解：由积化和差公式得：cos15°cos75°，=1=12cos(2)由积化和差公式得：sin20°sin40°sin80°，=−1=−14sin80°+=−14sin80°+【例题2-2】（2023·高一课时练习）化简：(1−sinα【答案】0【解析】原式展开后，利用积化和差和二倍角公式化简整理即可得到结果.【详解】原式=1−=1−2sinα+β2【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值的问题，重点考查了积化和差和二倍角公式的应用问题.【变式2-2】（2023·高一课时练习）sin(πA．12sin(αC．12sin(α【答案】B【分析】利用积化和差公式sinα【详解】解：原式=12[sin(故选：B.【点睛】本题考查积化和差公式的应用，属于基础题.【例题2-3】（2022·高一课时练习）已知α，β为锐角，且α−β=A．0,32 B．1,32 C．【答案】A【分析】由积化和差公式可得sinα【详解】因为sinαsin所以sinαsinβ∵α，β为锐角，且α−β=π6∴π6∴−32<cos∴sinαsinβ故选：A【变式2-3】1．（2022·高一课时练习）△ABC中，sinA．3+234 B．4+34 C．【答案】C【分析】根据积化和差公式得sinA【详解】解：sin=sinC+≤sinC+1当且仅当A=B，所以sinA+故选：C【变式2-3】2．（2020·高一课时练习）函数f(x)=cosA．π,14 B．π,12【答案】B【分析】积化和差与二倍角公式化简即可得解；【详解】解：f=12cos2x故选：B【点睛】本题考查三角恒等变换公式的应用，属于中档题【变式2-3】3．（2023·高一课时练习）若cos2α−A．−m B．m C．−m2【答案】A【解析】利用积化和差和二倍角公式可将所求式子化为cos2【详解】sinα+故选：A【点睛】本题考查利用积化和差和二倍角公式化简求值的问题，考查学生对于基础公式的掌握和应用情况.题型3和差化积公式的应用【方法总结】和差化积公式的特点①同名函数的和或差才可化积。②余弦函数的和或差化为同名函数之积。③正弦函数的和或差化为异名函数之积。④等式左边为单角α和β，等式右边为α+β2⑤只有余弦函数的差化成积式后的符号为负，其余均为正。【例题3-1】（2022·高一课时练习）利用和差化积公式，求下列各式的值：(1)sin15°+sin105°；(2)sin20°+sin40°−sin80°；(3)cos40°+cos60°+cos80°+cos160°．【答案】(1)62(2)0；(3)12【分析】(1)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算得解.(2)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值结合诱导公式求解作答.(3)利用和差化积公式化简，再利用特殊角的三角函数值结合诱导公式求解作答.(1)sin15°+sin105°=2sin15(2)sin20°+sin40°−sin80°=2sin30(3)cos40°+cos60°+cos80°+cos160°=(cos40°+cos80°)+=2cos60°cos20°+1【变式3-1】1．（2022·高一课时练习）把下列各式化为积的形式：(1)sin18(2)sin50(3)cosπ(4)sinx【答案】(1)2sin(2)2cos(3)2cos(4)2sin【分析】（1）转化sin18（2）转化sin50（3）利用余弦的和差化积公式，即得解；（4）转化sinx(1)sin(2)sin(3)cos(4)sin【变式3-1】2．（2021·高一课时练习）把下列各式化成积的形式：(1)sin24°+sin36°；(2)sin15°+(3)cosx(4)cosα【答案】(1)cos6°(2)6(3)2cos2(4)−2sin【分析】（1）根据和差化积公式即可得解；（2）根据和差化积公式及两角差的余弦公式即可得解；（3）根据和差化积公式即可得解；（4）根据和差化积公式即可得解.(1)解：sin24°+sin36°=2sin(2)解：sin=2cos15°sinα(3)解：cosx(4)解：cos=−2sinα【例题3-2】（2022·高一课时练习）已知α−β=2πA．79 B．−79 C．1【答案】B【分析】由α=α+β2【详解】因为cosα+cosβ因为α−β=2π所以cos(α故选：B【变式3-2】1．（2021春·高一课时练习）若cos2sin(α【答案】−【分析】根据余弦的二倍角公式将原式化为12cos2α【详解】由m=所以sinα故答案为：−m【变式3-2】2．（多选）（2022·高一课时练习）（多选）下列等式中错误的是（

）A．sin5θ+sin3θC．sin3θ−sin5θ【答案】ABC【分析】先证明和差化积公式，然后验证各选项．【详解】因为sinαcosα从而有sinα−sinβ对于A，sin5θ对于B，cos3θ对于C，sin3θ对于D．cos3θ故选：ABC．【变式3-2】3．（2022春·上海虹口·高一华东师范大学第一附属中学校考期末）利用和差化积和积化和差公式完成下面的问题：已知sinω1+sinω2【答案】−【分析】由和差化积和积化和差公式求得sinω1+ω2【详解】sinω1+sinω2=sinω则sinω1+ω2故答案为：−5题型4凑角求值【方法总结】（1）解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))等凑角基本思路◆类型1给值求值型【例题4-1】（2023秋·河北邯郸·高一统考期末）若α∈0,π2，A．29 B．23 C．42【答案】C【分析】确定α+π6∈π【详解】α∈0,π2，故α+sin2故选：C【变式4-1】1．（2023秋·湖南湘潭·高一统考期末）已知sinα−πA．−716 B．716 C．−【答案】C【分析】利用换元法和二倍角公式求解即可.【详解】令t=α−π5所以sin(2α故选：C．【变式4-1】2．（2022春·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考阶段练习）已知sinα+π【答案】−【分析】先由和角公式得sinα【详解】由sinα+π4=13即1+sin2α=29，解得故答案为：−7【变式4-1】3．（2022秋·上海宝山·高一校考期末）已知sinπ(1)求：cosπ(2)求sin2x【答案】(1)2(2)5【分析】（1）由诱导公式可得结果.（2）由差角公式、完全平方公式可得结果.【详解】（1）cos(∴cos(π4+（2）∵sin(∴cos又∵(cos∴sin2◆类型2给值求角型【例题4-2】（2023·高一课时练习）已知0<β<π4<α<【答案】π3##【分析】求得cosα+β【详解】依题意0<β<π4π所以π4所以sin2所以cos=cos=−11由于π4<α故答案为：π【变式4-2】1．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）若角α,β满足2cosA．−5π12 B．−7π12 C．【答案】B【分析】先利用三角恒等变换将方程化简得2sin2α=1，从而得到α=【详解】因为2=2(cos=2cos(=2[sin(=2sin(α+β所以sin2α=12，故2α=π依次检验−5π12、−7π12、π6、π故选：B.【变式4-2】2．（2023春·陕西安康·高一统考开学考试）已知0<α(1)求tanα(2)求角β的值.【答案】(1)tanα(2)β=【分析】（1）由tan2023π+α=43求得tan（2）由α，β的范围求出β−α的范围，分别求出sinβ−α，cosα的值，利用【详解】（1）∵tan2023π+解得tanα2=∵0<α（2）∵0<由sin2α+∵0<∴β∴cosβ∵0<β<π，【变式4-2】3．（2023秋·河北保定·高一保定一中校考期末）回答下面两题(1)已知sinα+cosα=2(2)已知tanα=43，且sinα−【答案】(1)30(2)π【分析】（1）利用平方关系，先求2sinαcosα（2）利用角的变换求sinβ【详解】（1）因为sinα1+2sinαcosα=1所以α∈π2因为sinα−cos所以sinα（2）因为0<β<αsinα−βtanα=43，得sinαcossin=437所以β=【变式4-2】4．（2023秋·广东广州·高一校考期末）化简求值(1)已知cosx+π(2)已知α∈0,π2【答案】(1)42(2)π4【分析】（1）先求得tanx=1（2）先求得sin(α−β),cosβ【详解】（1）由cosx+π因为x∈0,π2，所以故tan2x（2）因为α∈0,π所以sin(α所以sinα=sin因为α∈0,π【变式4-2】5．（2023秋·宁夏银川·高一银川一中校考期末）已知tanα(1)tan2α(2)若α,β∈(0,【答案】(1)4(2)π【分析】（1）直接根据二倍角的正切公式即可得解；（2）利用两角和的正切公式求出tanα【详解】（1）因为tanα=1（2）因为tanα=1又因为α,β∈(0,故α+题型5恒等式证明【例题5】（2022·高一课时练习）已知3tanα−π【答案】证明见解析【分析】由已知条件化简得出3sinα【详解】证明：因为3tanα−π于是3sinα因为sin2==2cosα所以，cosα同理可得sinα所以32sin2α−sinπ【变式5-1】1．（2021·高一课时练习）已知2tan2β【答案】证明见解析【分析】化简得到sin2αcos【详解】因为2tan2β即sin2去分母，得sin2又2=2=2cos2α−cos所以sin2即sin2所以sin2于是sin2故sin2【变式5-1】2．（2022·高一单元测试）定义：μ=1nsin2（1）若θ1=π3,θ2=2（2）若θ1=π4,θ2=α,θ【答案】（1）见解析；（2）α=11π【分析】（1）直接由公式计算可得解；（2）将条件代入公式可得μ==12−(sin2α+sin2β+1)sin2θ0+(cos2α+cos2β)cos2θ【详解】（1）因为θ1所以μ=1所以正弦方差”μ的值是与θ0无关的定值1（2）因为θ1所以μ===1因为实数θ1,θ2,θ3所以cos2α因为α∈π2由cos2α+cos2β=0，得即α+β由(cos2α+cos2β又因为2β−2α∈(0,3π)，所以即β−α=π3当α+β=当α+β=当α+β=综上可知：α=11【点睛】关键点点睛：本题的难点在第二问，解题的关键是根据题中公式得到μ==12【变式5-1】3．（2022春·上海金山·高一华东师范大学第三附属中学校考阶段练习）已知α,β∈（1）求证：tan（2）求tanβ的最大值，并求当tanβ取得最大值时【答案】（1）证明见解析；（2）tanβ的最大值为24，当tanβ【分析】（1）由sinβsinα（2）由（1）中结论弦化切后，可将tanβ表示成tanα的函数关系式，进而利用基本不等式得到tanβ【详解】（1）∵sin∴sinβ∴sinβ∴tan∴sin∴tanβ（2）由（1）得：tanβ∵α，β∴tanα由tanβ可得：当tanα=22时，∵sin∴sin[(∴sin[(∴sin(∴sin(即tan(α所以tan(α【变式5-1】4．（2023春·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）求证：1+sin2θ【答案】证明见解析.【分析】由二倍角公式，可得左边=sin【详解】证明：因cos2θ则1+sin2θ1+sin2θ故左边==sin【变式5-1】5．（2022春·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中．锐角α,β的终边分别与单位圆交于A、B两点，角α+β的终边与单位圆交于C点，过点A、B、(1)如果|AM|=35，(2)求证：‖MA【答案】(1)56(2)证明见解析【分析】（1）根据三角函数定义得到sinα=3（2）表达出MA=sinα,NB=sinβ，PC=sin(【详解】（1）由题意得：sinα=3由于α、β均为锐角，所以sinβ=1−所以cos(α（2）MA=sinPC=sin(所以MA+MA=sinα=sin[(所以NB+同理MA+所以线段‖MA【变式5-1】6．（2021·高一课前预习）求证：(1+cos2α【答案】证明见解析【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系证明即可；【详解】证明：(1+cos2所以原等式成立．【变式5-1】7．（2021·全国·高一专题练习）证明：sinα【答案】证明见解析【分析】根据三角恒等变换得到sinα【详解】sinα同理可得：sinβ+γ故sin=sin题型6实际应用【例题6】（2023秋·浙江宁波·高一校联考期末）近期，宁波市多家医院发热门诊日接诊量显著上升，为了应对即将到来的新冠病毒就诊高峰，某医院计划对原有的发热门诊进行改造，如图所示，原发热门诊是区域ODBC（阴影部分），以及可利用部分为区域OAD，其中∠OCB=∠COA=π2，OC=303米，BC=30(1)为保证发热门诊与普通诊室的隔离，需在区域OABC外轮廓设置隔离带，求隔离带的总长度；(2)在可利用区域OAD中，设置一块矩形HGIF作为发热门诊的补充门诊，求补充门诊面积最大值.【答案】(1)90+303(2)3600−18003【分析】（1）在直角三角形OBC中由已知条件可求出∠BOC和OB，则可求得∠BOA，从而可求出（2）连接OF，设∠FOA=θ0<θ【详解】（1）因为OC=303，BC=30所以tan∠BOC=BC因为∠BOC为锐角，所以∠因为∠COA=π所以AB的长为π3所以隔离带的总长度为303（2）连接OF，设∠FOA因为OF=60，所以FI=60sinθ因为∠AOD=π所以GI=60cos所以S=3600sin=1800[sin2=18002sin因为2θ所以S≤1800(2−3)=3600−1800所以补充门诊面积最大值为3600−18003【变式6-1】1．（2023秋·北京通州·高一统考期末）某一扇形铁皮，半径长为1，圆心角为π4．工人师傅想从中剪下一个矩形ABCD(1)若矩形ABCD为正方形，求正方形ABCD的面积；(2)求矩形ABCD面积的最大值．【答案】(1)1(2)2【分析】（1）连OC，则OC=1，设∠COP=θ，则0<θ<π4，（2）设矩形ABCD面积为S，则S=AB⋅【详解】（1）连OC，因为扇形半径长为1，则OC=1设∠COP=θ∴OB=OC∵AD=BC∴OA=∵矩形ABCD为正方形，∴AB即cosθ−sinθ∵sin2θ+cos∵0<θ<π∴正方形ABCD的面积为AB⋅（2）设矩形ABCD面积为S，则S=sin===2∴当2θ+π4=此时，S最大值为2−1即矩形ABCD面积的最大值为2−1【变式6-1】2．（2023春·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）如图，矩形ABCD内接于半径为1、中心角为2θ（其中tanθ=2）的扇形OPQ，且AD//PQ【答案】矩形ABCD面积的最大值为5−12，此时AD的长为【分析】利用题目条件,解直角三角形得矩形ABCD的面积S,再利用二倍角正弦,余弦公式和辅助角公式得S=【详解】如图:设∠POQ的角平分线OH分别交AD,BC于E则∠AOE因此矩形ABCD的面积S为矩形ABFE面积的2倍.因为扇形OPQ的半径为1，所以在Rt△OBF中,BF=sinα,即BF因为在Rt△OAE中,OE所以EF=而tanθ=2,因此所以S=sin2α其中φ为锐角，且tanφ因为0<α<θ<π因此当2α+φ=π2时,因为tanφ=12,所以当因此2tanα1−tan2α因此sinα所以AD=2sin【变式6-1】3．（2023秋·河北唐山·高一统考期末）如图，长方形ABCD，AB=43，AD=8，Rt△(1)当tanθ(2)求△MPN的周长l的最小值，并求此时角θ【答案】(1)40(2)当θ=π4【分析】（1）在△DPN,△APM（2）由直角三角形的边角关系以及勾股定理得出l=4【详解】（1）DN∵∠DPN=∠PMA=（2）由（1）可知，PNsinθ+cosθ=令sinθ+cosθ=当t=2，即θ=【变式6-1】4．（2022秋·广东广州·高一广东实验中学校考期末）如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>(1)将十字形的面积S表示成θ的函数；(2)求十字形面积S的最大值，并求出此时yx【答案】(1)S(2)Smax=【分析】（1）设十字形面积为S，易知S=xy+（2）由（1）的结论，利用二倍角的正弦和余弦公式，结合辅助角公式得到S=【详解】（1）解：如图所示：x=cosθ,因为y>x