10.1.1复数的概念-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第四册）（解析版）

10.1.1复数的概念TOC\o"1-3"\h\u题型1复数的概念 2题型2求复数的实部与虚部 4题型3虚数单位i及其性质 8题型4已知复数的类型求参数 11题型5复数相等求参数 18题型6复数的分类及辨析 23知识点一．复数的有关概念（1）虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1.我们把i叫作虚数单位．（2）复数①定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，实部是eq\a\vs4\al(a)，虚部是eq\a\vs4\al(b).②表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)．（3）复数集①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示．【注意】复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非bi.(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．知识点二.复数相等的充要条件在复数集C＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＋bi|a，b∈R))中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.知识点三．复数的分类对于复数a＋bi，（1）当且仅当b＝0时，它是实数；（2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；（3）当b≠0时，叫做虚数；（4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：复数zeq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0，,虚数b≠0当a＝0时为纯虚数.))【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系【注意】（1）两个复数不一定能比较大小，当两个复数都是实数时，可以比较大小；两个虚数、或一个虚数与一个实数不能比较大小，即两个复数除去都是实数外，没有大小关系.（2）a=0是z=a＋bi（a，b∈R）为纯虚数的必要不充分条件.题型1复数的概念【例题1-1】给出下列说法：①复数2＋3i的虚部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数；③若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．其中错误说法的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】复数2＋3i的虚部是3，①错；形如a＋bi(b∈R)的数不一定是虚数，②错；只有当a∈R，a＋3≠0时，(a＋3)i是纯虚数，③错；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故④正确，所以有3个错误【变式1-1】1．（多选）（2023·全国·高一专题练习）下列命题中，不正确的是（

）A．1−ai(a∈RC．两个复数一定不能比较大小 D．若a>b【答案】BCD【分析】根据复数的概念逐项分析即得.【详解】由复数的定义可知A命题正确；形如a+bi(若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C命题错误；两个虚数不能比较大小，故D命题错误．故选：BCD．【变式1-1】2.（2023·全国·高一专题练习）给出下列几个命题：①若x是实数，则x可能不是复数；②若z是虚数，则z不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④−1没有平方根．其中真命题的个数为__________．【答案】1【分析】由复数的概念对命题逐一判断【详解】对于①，实数集是复数集的子集，故①错误，对于②，虚数都不是实数，②正确，对于③，复数a+bi，（a，b∈R）故答案为：1【变式1-1】3．（2023·高一课时练习）在下列复数：1−3i，(1−3)i，1−3i【答案】

3

3

1【分析】根据复数的乘法化简，结合复数分类的定义作出判断即可.【详解】∵1−∴实数分别为：1−3虚数分别为：1−3纯虚数分别为：(1−3故答案为：3；3；1【点睛】本题主要考查了复数的分类，属于基础题.题型2求复数的实部与虚部【方法总结】判断复数a+bi的实部、虚部的关键（1）看形式：看复数的表示是否是a＋bi的形式.（2）看属性：看a，b是否都是实数.【例题2-1】（2022春·上海浦东新·高一校考期末）若复数z=2i+1，则复数z【答案】2【分析】根据复数的相关概念，即可求得答案.【详解】由题意复数z=2i+1=1+2i，故复数z故答案为：2【变式2-1】1.给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3【解析】(1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部是2，不是2i，②为假命题；对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，③为真命题．故选B.【变式2-1】2．（2023·高一课时练习）欧拉公式eiθ=cosθ+isin【答案】32##【分析】根据欧拉公式直接代入即可求解．【详解】由公式eiθ=cos所以复数eπ3i故答案为：3【变式2-1】3.若x、y∈R，则“x＝0”是“x＋yi为纯虚数”的()充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分也不必要条件【答案】B【解析】当x＝0，y＝0时，x＋yi是实数．【例题2-2】（2023·全国·高一专题练习）已知复数x+y+2−xi的实部和虚部分别为A．2,−4 B．2,5 C．−2,4 D．−2,5【答案】D【分析】根据给定条件，利用复数的概念列式计算作答.【详解】x,y∈R，复数x因此x+y=3所以实数x和y的值分别是−2,5.故选：D【变式2-2】1．（2022·高一课时练习）若复数2−bA．2 B．23 C．−23【答案】A【分析】根据题意列方程求解即可.【详解】由复数2−b得2−b=0，即故选：A【变式2-2】2．（2023·高一课时练习）已知复数z=cosα+icos2A．π3 B．2π3 C．π 【答案】B【分析】由已知得到cosα+cos2α【详解】由已知可得cosα+cos2α解得cosα=−1计算选项中的三角函数可得，cosπ3=12，故选：B.【变式2-2】3．（2022·高一课时练习）已知z=a−2+(1+2A．2 B．−2 C．3 D．−3【答案】D【分析】由题可得a−2=1+2【详解】由题可知a−2=1+2解得a=−3故选：D．【变式2-2】4．（2022·高一课时练习）以−2+7i的虚部为实部，以A．7−5i B．−2+7i C．【答案】A【分析】根据复数的基本概念即得.【详解】设所求复数为z=由题意知复数−2+7i的虚部为7，所以复数7i+5i2=−5+7故z=7−5i故选：A.【变式2-2】5．（2022·全国·高一假期作业）已知复数z=(2a+i)(1−bi)的实部为2，其中a【答案】2【分析】由题可得2a【详解】∵复数z=(2∴2a+b则4a当且仅当4a=24a∴所求最小值为22故答案为：22题型3虚数单位i及其性质【方法总结】1.i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i2.i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。【例题3】（2023·高一课时练习）下列命题中正确的是（

）．A．−i2B．−iC．若x，y∈C，则x+D．若z∈C，则【答案】A【分析】根据复数的运算法则即可判断结果．【详解】−i2−i若x，y∈C，若x=y=1有x故x=y=1若z∈C，取z=i故选：A【变式3-1】1．（2022春·吉林·高一长春市第二实验中学校联考期末）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+A．−2 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】先由复数运算化简得a+【详解】因为a+bi=i61−i，所以a故选：D.【变式3-1】2．（2022·高一课时练习）若复数z满足z=6i+2A．−2i B．6i C．1 D．6【答案】D【分析】由复数的运算求出z，进而得出虚部.【详解】z=6i+2故选：D.【变式3-1】3．（2022·全国·高一专题练习）若复数z=1−2A．−2 B．−2i C．2 D．2i【答案】A【分析】利用i2【详解】因为i2=−1，所以i5所以复数z的虚部是−2.故选：A.【变式3-1】4．（2022·高一课时练习）已知z=1−i2019【答案】1【分析】由i的指数运算的周期性可化简z，根据虚部定义得到结果.【详解】∵z=1−i2019=1−故答案为：1.【变式3-1】5．（2023·高一课时练习）计算：i+i【答案】0【分析】利用虚数单位的性质即可得解.【详解】因为i4所以i4k+1=i4k又i−1+−i所以inn∈N∗又2004=50，所以故答案为：0.【变式3-1】6．（2022春·广东肇庆·高一统考期末）已知i为虚数单位，则i2020【答案】i【分析】根据虚数单位的定义，可得i4n=1，i4n+1=i【详解】由i4n=1，i4n+1=i故答案为：i.【变式3-1】7．（2021春·高一单元测试）若(1+i)2n=A．n=4kB．n=4kC．n=4kD．n=4k【答案】B【分析】先化简1+i2，结合【详解】因为1+i2=2由(1+i)2n=2n故选：B.题型4已知复数的类型求参数【方法总结】复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数z=当且仅当b=0时，z是实数；当b当a=0且b当且仅当a=【例题4-1】（2023·高一单元测试）实数a分别取什么值时，复数z=(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？【答案】(1)a(2)a≠5且(3)a=−2或【分析】分式中分母不等于0，（1）z=（2）z=（3）z=【详解】（1）由题意知，a+3≠0∴当a=5时，复数z是实数.（2）由题意知，a+3≠0a∴当a≠−3且a（3）由题意知，a2−∴当a=−2或a【变式4-1】1.实数m取什么值时，复数lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i分别是(1)纯虚数；(2)实数．【解析】(1)复数lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i为纯虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－2＝1，,m2＋3m＋2≠0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3或m＝－1，,m≠－2且m≠－1，))所以m＝3.即m＝3时，lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i为纯虚数．(2)复数lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i为实数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－2>0，①,m2＋3m＋2＝0，②))解②得m＝－2或m＝－1，代入①检验知满足不等式，所以当m＝－2或m＝－1时，lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i为实数．【变式4-1】2．（2023·全国·高一专题练习）求实数m的值，使得复数z=(1)实数；(2)纯虚数．【答案】(1)m  =1 或(2)m【分析】（1）根据复数为实数时m2 −1  =0解决即可；（2）根据复数为纯虚数时【详解】（1）由题知，复数z=m2 +m−2+(m所以当m  =1 或m  =−1 时，复数（2）复数z=m2 +m唯一满足此条件的m   的值是m所以当m  =−2时，复数z【变式4-1】3．（2022春·安徽池州·高一校考阶段练习）已知复数z=(1)若复数z是虚数，求实数a的值；(2)若复数z是纯虚数，求实数a的值.【答案】(1)a≠−1(2)1.【分析】（1）根据虚数的概念求解即可；（2）根据纯虚数的概念由虚部不为0，实部为0建立关系式求解即可.(1)因为z=所以a+1≠0，解得a(2)因为z=所以a2−1=0a【变式4-1】4．（2021·高一课时练习）已知复数z=k2−3k【答案】2【分析】由z<0可判定z是负实数，进而得到关于k【详解】因为z<0，所以z则k2−3k【例题4-2】（2022春·山东青岛·高一统考期末）已知i是虚数单位，复数z=x2A．2 B．－2 C．±2 D．4【答案】A【分析】因为x是实数，所以复数z的实部是x2−4，虚部是x+2【详解】解：由z=(x2−4)+(x故选：A.【变式4-2】1．（2023·高一单元测试）若z=(【答案】−2【分析】根据纯虚数的定义可得{m2−1=0【详解】解：因为z是纯虚数，所以{m2−1=0从而复数z的实部与虚部分别是0和−2，其和是−2．故答案为：-2.【变式4-2】2．（2022春·天津·高一校联考期末）已知复数z=a2−1+a+1i，其中aA．-1 B．0 C．1 D．-1或1【答案】C【分析】利用复数的定义直接列式计算作答.【详解】依题意，a2−1=0a+1≠0，解得故选：C【变式4-2】3．（2023·全国·高一专题练习）“复数a+bi(A．必要非充分条件 B．充分非必要条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】根据纯虚数的概念分析可知.【详解】由纯虚数的概念可知，若复数a+bi(a,b∈R)故选：B【变式4-2】4．（2023·高一课时练习）复数z=A．a=±b B．aC．a>0且a=b D．【答案】D【分析】由题可得a2【详解】要使复数z=a2若a>0，则a+|b|=2a所以a>0且a故选：D．【例题4-3】复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是()A．|a|＝|b|B．a＜0且a＝－bC．a＞0且a≠bD．a≤0【答案】D【解析】复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，故a≤0.【变式4-3】（多选）（2022·全国·高一假期作业）下列说法中正确的有（

）A．若a∈R，则B．若x2−1+C．若a≤0，则zD．若a,b∈R【答案】CD【分析】根据复数的基本概念与分类，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，当a=−1，可得的(对于B中，当x=−1，可得x2+3对于C中，当a≤0时，可得a+a对于D中，由i2=−1，且a>故选：CD【例题4-4】（2022·高一课时练习）若z1=2x【答案】{【分析】根据复数的概念，列出方程组，求得x=2【详解】由题意知z1>z2，可得当z1>z2时，可得所以实数x的取值范围{x【变式4-4】1.已知z1＝(－4a＋1)＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R.若z1＞z2，则a的取值集合为________．【答案】{0}【解析】∵z1＞z2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a2＋3a＝0，,a2＋a＝0，,－4a＋1＞2a，))∴a＝0，故所求a的取值集合为{0}．【变式4-4】2．（2023秋·吉林·高一吉林一中校考阶段练习）已知复数z1和z2，则“z1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据复数的性质及充分条件、必要条件求解即可.【详解】∵z1>z2，∴复数z当z1−z2>0所以“z1>z故选：A题型5复数相等求参数【方法总结】复数相等的定义是求复数的值以及在复数集中解方程的重要依据．一般地，不全是实数的两个复数只能说相等或不相等，而不能进行大小比较．如3+5i与4+3i就不能比较大小．【例题5-1】（2022·高一课时练习）若xi−2i2=yA．−2+i B．4+2i C．1−2i D．1+2i【答案】B【分析】根据复数相等的条件即得.【详解】由i2=−1，得xi−2根据复数相等的充要条件得2=y解得x=4故x+故选：B．【变式5-1】1．（2023·全国·高一专题练习）若a,b∈R，i是虚数单位，aA．2021+2i B．2021+4i C．2+2021i D．4−2021i【答案】D【分析】根据复数相等可得a=2，−【详解】因为a+2021i=2−所以a=2，−b=2021，即a所以a2故选：D．【变式5-1】2．（2023·高一单元测试）已知复数z=x+yi(【答案】1+2i或2+i【分析】根据相等复数解决即可.【详解】由题知，复数z=x+因为2x所以2x+y−8=0log2x所以z=1+2i或z故答案为：1+2i或2+i【变式5-1】3．（2022·高一课时练习）若实数x,y满足x+【答案】12#【分析】根据复数相等充要条件，列出方程组，求得x,【详解】因为x+yi=−1+(x−y)故答案为：1【变式5-1】4.已知eq\f(x2－x－6,x＋1)＋(x2－2x－3)i＝0(x∈R)，求x的值．【答案】x=3【解析】由复数相等的定义得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2－x－6,x＋1)＝0,x2－2x－3＝0))，解得x＝3.∴x＝3为所求．【变式5-1】5．（2023·高一课时练习）定义运算：abcd=ad【答案】0【分析】根据运算：abcd【详解】解：因为运算：ab所以z111=2，即为因为z=所以x=3y=0【变式5-1】6．（2022·高一课时练习）已知z1=m2+m+1【答案】充分不必要【分析】根据充分条件，必要条件的定义即得.【详解】当z1=z2时，必有m2+m显然“m=1”是“z故答案为：充分不必要.【变式5-1】7．(多选）（2022·高一课时练习）（多选）若z1=−3−4i,z2=A．4 B．−4 C．2 D．0【答案】AD【分析】根据z1【详解】因为z1=−3−4i,z所以n2−3m−1=−3n所以m+故选：AD【例题5-2】（2023·全国·高一专题练习）已知1+i（i为虚数单位）是关于x的方程x2+px+qA．0 B．−2 C．2 D．−4【答案】A【分析】将1+i代入方程x2【详解】由题知，(1+i)2+所以p+故选：A【变式5-2】（2022·高一课时练习）已知实数m满足2x【答案】m=0，x【分析】方程变形得2x【详解】实数m满足2x2−(2i−1)∴2x2+x=−【例题5-3】关于x的方程3x2－eq\f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．【解析】设方程的实数根为x＝m，则3m2－eq\f(a,2)m－1＝(10－m－2m2)i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m2－\f(a,2)m－1＝0，,10－m－2m2＝0，))解得a＝11或a＝－eq\f(71,5).【变式5-3】1.已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根以及实数k的值．【解析】设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得(xeq\o\al(2,0)＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.由复数相等的条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)＋kx0＋2＝0,2x0＋k＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\r(2),k＝－2\r(2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\r(2),k＝2\r(2))).∴方程的实根为x＝eq\r(2)或x＝－eq\r(2)，相应的k的值为k＝－2eq\r(2)或k＝2eq\r(2).【变式5-3】2.已知关于的方程有实数解,则_______.【答案】2或3【解析】因为关于的方程有实数解,所以使得成立.或.故答案为：或.【变式5-3】3.已知关于t的一元二次方程，当方程有实数根时，则实数t的取值范围________.【答案】[−4,0]【解析】因为关于t的一元二次方程有实数根，得，由复数相等的充要条件可得：，消得，则所求点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，直线与圆有公共点，则，解得，故答案为：.【变式5-3】4.已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，求实数m的值．【解析】设a是原方程的实根，则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0，所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，所以a＝－eq\f(1,2)且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2－eq\f(1,2)＋3m＝0，所以m＝eq\f(1,12).题型6复数的分类及辨析【方法总结】复数的分类：【例题6-1】（2023·高一课时练习）如果用C、R和I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C为全集，那么有（

）A．C=R∪C．R=C∩【答案】D【分析】利用复数集，实数集和纯虚数集之间的关系进行判断即可．【详解】解：因为C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，它们之间的关系如图所示，所以R∩故选：D．【变式6-1】1．（2021春·江苏扬州·高一校考期中）下列命题中是假命题的是（

）A．自然数集是非负整数集 B．实数集与复数集的交集为实数集C．实数集与虚数集的交