10.1.2复数的几何意义-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第四册）（解析版）

10.1.2复数的几何意义TOC\o"1-3"\h\u题型1复数的几何意义 3◆类型1复数的几何意义相关概念 3◆类型2复数的坐标表示 4◆类型3根据复数的坐标写出对应的复数 5◆类型4实轴、虚轴上的点对应的复数 8◆类型5判断复数对应的点所在的象限 8◆类型6复数与向量 10◆类型7根据复数的坐标求参数 12◆类型8根据复数的坐标求参数取值范围 14◆类型9复数的对称问题 15题型2复数的模 16◆类型1复数的模 16◆类型2由复数的模求参数取值（范围） 18◆类型3与复数的模相关的轨迹方程问题 21题型3共轭复数的概念及计算 21题型4复数的平方根与立方根 24知识点一.复平面定义：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．知识点二.复数的几何意义(1)任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．(2)一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量eq\o(OZ,\s\up7(→))＝(a，b)是一一对应的．【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系（1）实轴上的点都表示实数；（2）除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，（3）原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．知识点三.共轭复数1．共轭复数的概念：一般地，如果两个复数的实数相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数.2.共轭复数的代数表示：复数z的共轭复数用eq\x\to(z)表示，因此，当z=a+bi（a，b∈R）时，有eq\x\to(z)=a-bi.3.互为共轭复数的几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴_对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于_实轴_对称，则这两个复数互为共轭复数.知识点四.复数的模1.定义：向量eq\o(OZ,\s\up7(→))的eq\a\vs4\al(模)r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值2.记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.3.公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．题型1复数的几何意义【方法总结】复数的几何意义包含两种情况1．复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题.2.复数与复平面内向量的对应：复数的实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题.◆类型1复数的几何意义相关概念【方法总结】复平面的有关概念介绍1、复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面.2、实轴：在复平面内，×轴上的点对应的都是实数，因此x轴称为实轴.3、虚轴：y轴上的点除原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称y轴为虚轴.【例题1-1】（多选）（2022·高一课时练习）下列命题中正确的是（

）A．在复平面内，实数对应的点都在实轴上B．在复平面内，纯虚数对应的点都在虚轴上C．在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数D．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数【答案】ABC【分析】根据复数的几何意义，依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，在复平面内，实数对应的点都在实轴上，故正确；对于B选项，在复平面内，纯虚数对应的点都在虚轴上，故正确；对于C选项，在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数，故正确；对于D选项，实数零对应的点也在虚轴上，故错误的．故选：ABC◆类型2复数的坐标表示【例题1-2】（2022春·浙江杭州·高一校联考期中）已知i是虚数单位，则复数z=3+2i在复平面上对应的点的坐标为（

）A．2,3 B．2,−3 C．3,2 D．−3,2【答案】C【分析】根据复数的几何意义，即可得到结果.【详解】由复数的几何意义可知复数z=3+2i在复平面上对应的点的坐标为3,2故选：C.【变式1-2】1.（2023·高一课时练习）设复数1−2i对应的向量为AB，若A2,−1，则点B【答案】3,−3【分析】根据复数的几何意义得AB=1,−2，设Ba【详解】解：复数1−2i对应的向量为AB，则AB=1,−2，又A2,−1则AB=a−2,b+1=1,−2故答案为：3,−3.【变式1-2】2．（2021·高一课时练习）如果P是复平面内表示复数a+（1）a>0,b>0（3）a=0,b≤0【答案】（1）第一象限；（2）第二象限；（3）位于原点或虚轴的负半轴上；（4）位于实轴下方（不包括实轴）【解析】由复数的几何意义解答．【详解】（1）a>0,（2）a<0,（3）a=0,（4）b<0【点睛】本题考查复数的几何意义，复数a+bi(◆类型3根据复数的坐标写出对应的复数【例题1-3】（2023·全国·高一专题练习）复平面上，点2,−1对应的复数z=【答案】2−i【分析】根据复数的坐标表示写出答案.【详解】由复数的几何意义知z故答案为：z【变式1-3】1．（2023春·浙江·高一校联考阶段练习）已知复平面内的平行四边形ABCD，三个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，那么点D对应的复数为（

）A．1－3i B．3－i C．3＋i D．－1＋3i【答案】C【分析】根据复数的几何意义以及向量的线性运算即可求解.【详解】根据复数的几何意义可知A1,2设Dx,y，则由AB故选：C【变式1-3】2．（2023·高一课时练习）在复平面内，点A，B对应的复数分别为−3+5i，3+2i.若C为靠近点B的线段AB的三等分点，则点C对应的复数是（

）A．1+3i B．−1+3i C．5+i D．1+4i【答案】A【分析】设C(x,y)，由C为靠近点B的线段AB的三等分点得AC=23AB，然后列关于x【详解】解：设C(x,y)，∵点A，B∴A(−3,5)，B(3,2)，则AC∵C为靠近点B的线段AB∴AC=23AB，∴∴C(1,3)，对应复数为故选：A．【变式1-3】3．（2022春·湖北·高一宜城市第一中学校联考期中）在复平面内，若O0,0，A【答案】3+3i##3i+3【分析】设Cx,y【详解】由题意OA=2,−1，设C由OA=BC ，则x−1=2y所以点C所对应的复数为3+3i故答案为：3+3i【变式1-3】4．（2022·高一课时练习）把复数1+i对应的点向右平移1个单位长度得到点A，把所得向量OA绕点O逆时针旋转90°，得到向量OB，则点B对应的复数为_________．【答案】−1+2i【分析】根据复数在复平面对应的点的概念并进行平移确定点A，进而确定OA与OB，进而得解.【详解】因为复数1+i对应的点的坐标为1,1，所以点A的坐标为2,1，即向量OA=所以向量OB=−1,2，即点B的坐标为所以点B对应的复数为−1+2i，故答案为：−1+2i.【变式1-3】5．（2021春·福建莆田·高一校考期中）复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是5+i，向量AC对应的复数是−3−4i，向量BC对应的复数是−4+i，求B点对应的复数.【答案】6−4i【分析】根据题意可知OA对应的复数是5+i，利用已知条件求出AB对应的复数，进而可得OB对应的复数，即为B点对应的复数.【详解】因为点A对应的复数是5+i，即OA对应的复数是5+i，因为向量AC对应的复数是−3−4i，向量BC对应的复数是−4+i，AB=所以AB表示的复数是−3−4i−故OB=OA+所以B点对应的复数为6−4i.◆类型4实轴、虚轴上的点对应的复数【例题1-4】（2023·高一课时练习）与x轴同方向的单位向量为e1，与y轴同方向的单位向量为eA．e1对应实数1，e2B．e1对应虚数i，e2C．e1对应实数1，e2D．e1对应实数1或－1，e2对应虚数i【答案】A【分析】根据题意可得e1=1,0,e【详解】解：由题意可知e1所以在复平面内e1对应实数1，e2对应虚数故选：A.◆类型5判断复数对应的点所在的象限【例题1-5】实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】由题意可得复数z＝－2＋i，故在复平面内对应的点为(－2,1)，在第二象限，故选B.【变式1-5】1.（2023·全国·高一专题练习）欧拉恒等式eiπ+1=0（i为虚数单位，e为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式eix=cosx+isinxA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据欧拉公式ei【详解】由题意z=ei故选：A.【变式1-5】2．（2022春·河南商丘·高一校联考期末）复数z=cos【答案】四【分析】先化简复数z，即可得到复数z在复平面内对应的点的坐标，进而得到其所在象限.【详解】z=cos=cos所以其在复平面内对应的点12故答案为：四【变式1-5】3．（2023·高一课前预习）当1<m<2时，复数A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】由复数的坐标即可判断.【详解】z=若1<m<2，则2m所以复数z在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B【变式1-5】4．（2023·全国·高一专题练习）复数z=a2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据二次函数性质可确定z对应的点的横纵坐标的正负，由此可得结果.【详解】令y1=a2−2令y2=−a2−∵z=a∴z故选：D.◆类型6复数与向量【方法总结】1.复数z=a+bi（a，b∈R）可用复平面内的点Z（a，b）表示，复平面内点Z的坐标是（a，b），而不是（a，bi）.2.为了方便，我们常把复数z=a+bi（a，b∈R）说成点Z（a，b）或说成向量eq\o(OZ,\s\up7(→))，并且规定相等向量表示同一复数.【例题1-6】（2023·全国·高一专题练习）在复平面上，作出表示下列复数的向量：z1=1+2i，z2=1−2i，【答案】见解析【分析】根据复数的几何意义求解即可.【详解】z1=1+2i，z2=1−2i，z3=2i，【变式1-6】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i．求：(1)AO对应的复数；(2)CA对应的复数；(3)OB对应的复数及OB的长度．【答案】(1)－3－2i(2)5－2i(3)37【分析】（1）根据平面向量坐标表示公式，结合复数在复平面的特征进行求解即可；（2）根据平面向量减法的运算性质，结合复数在复平面的特征进行求解即可；（3）根据平面加法的运算性质，结合平行四边形的性质、平面向量模的公式、复数在复平面的特征进行求解即可.【详解】（1）因为AO=−所以对应的复数为−3−2i.（2）因为CA=所以对应的复数为(3＋2i)−(−2＋4i)＝5−2i.（3）因为OB=所以对应的复数为(3＋2i)＋(−2＋4i)＝1＋6i.所以|◆类型7根据复数的坐标求参数【例题1-7】（2023·全国·高一专题练习）复数z=m−12A．2 B．0 C．1 D．−1【答案】D【分析】由复数几何意义可得对应点的坐标，代入函数解析式即可求得结果.【详解】∵z对应的点为m−12,−故选：D.【变式1-7】1．（2020·高一课时练习）复数z=(a2A．a≠2或a≠1 B．a=0且a=2 C．a=0【答案】C【解析】根据复数对应点在虚轴上，实部为零列方程，由此求得a的值.【详解】∵z在复平面内对应的点在虚轴上,∴a2−2a=0故选：C【点睛】本小题主要考查复数虚轴的概念，属于基础题.【变式1-7】2．（2020·高一课时练习）在复平面内,复数z=lgA．−1 B．3 C．−1或3 D．1【答案】B【解析】结合复数对应点在实轴上的条件以及对数的知识，求得m的值.【详解】因为在复平面内,复数z所对应的点在实轴上,所以m2−2m−3=0,解得m=−1或m故选：B【点睛】本小题主要考查复数对应点在实轴上的条件，考查对数的知识，属于基础题.【变式1-7】3.设(1＋i)sinθ－(1＋icosθ)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tanθ的值为________．.【答案】eq\f(1,2)【解析】由题意，得sinθ－1＋sinθ－cosθ＋1＝0，∴tanθ＝eq\f(1,2).◆类型8根据复数的坐标求参数取值范围【例题1-8】设复数z＝a＋bi对应的点在虚轴右侧，则()A．a＞0，b＞0B．a＞0，b＜0C．b＞0，a∈RD．a＞0，b∈R【答案】D【解析】复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．【变式1-8】1.求实数a分别取何值时，复数z＝eq\f(a2－a－6,a＋3)＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：在复平面的第二象限内；【解析】点Z在复平面的第二象限内，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a2－a－6,a＋3)＜0，,a2－2a－15＞0，))解得a＜－3.【变式1-8】2．（2022春·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知复数z=2+a−1i（其中A．a≥1 B．a>1 C．a≤1【答案】D【分析】根据题意可得a−1<0【详解】因为z=2+a−1i在复平面内对应的点在第四象限，所以故选：D.【变式1-8】3．（2023·全国·高一专题练习）若复数z=【答案】2【分析】利用复数的几何意义即可得解.【详解】因为复数z=所以3m−2>0m所以m的取值范围为23故答案为：2◆类型9复数的对称问题【例题1-9】已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称【答案】B【解析】在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称．【变式1-9】1.i为虚数单位，设复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝______________..【答案】－2＋3i【解析】复数z1＝2－3i对应的点为P1(2，－3)，则复数z2对应的点为P2(－2,3)，故z2＝－2＋3i.【变式1-9】2．（2023·全国·高一专题练习）在复平面上，OA对应的复数为−1−2i，若点A关于实轴的对称点为B，则OB对应的复数为______．【答案】−1+2i##2i−1【分析】数形结合得到OB对应的坐标为−1,2，从而写出答案.【详解】点A关于实轴的对称点为B，OA对应的复数为−1−2i，坐标为−1,−2，则OB对应的坐标为−1,2，故对应的复数为−1+2i.故答案为：−1+2i题型2复数的模◆类型1复数的模【例题2-1】求复数z1＝6＋8i与z2＝－eq\f(1,2)－eq\r(2)i的模，并比较它们的模的大小．【解析】∵z1＝6＋8i，z2＝－eq\f(1,2)－eq\r(2)i，∴|z1|＝eq\r(62＋82)＝10，|z2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋－\r(2)2)＝eq\f(3,2).∵10>eq\f(3,2)，∴|z1|>|z2|.【变式2-1】1．（2022春·福建福州·高一校考期末）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为−1,2，则z=A．1 B．2 C．5 D．5【答案】C【分析】先由题给条件求得复数z，再利用复数模的定义去求z【详解】复数z在复平面内对应的点的坐标为−1,2，则z=−1+2i，则故选：C【变式2-1】2．（2023·全国·高一专题练习）已知复数z1=3+i，z2=−1+2i，z3在复平面上对应的点分别为A，B，C，若四边形OABCA．17 B．17 C．15 D．15【答案】A【分析】令z3=a【详解】若z3=a+b由四边形OABC为平行四边形（O为复平面的坐标原点），所以OA=CB=OB−所以|z故选：A【变式2-1】3.（2023·全国·高一专题练习）已知复平面内的向量OA,AB对应的复数分别是－2＋i，3＋2i，则【答案】10【分析】先利用向量运算求出OB对应的复数，然后求解模长可得答案.【详解】∵∴对应的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，∴|故答案为：10【变式2-1】4．（2023·高一课时练习）设z1=1+i，z2=−1+i，复数【答案】1【分析】根据复数的几何意义，分别求点A,B的坐标，再判断【详解】根据复数的几何意义可知，复数z1=1+i，z2=−1+i在复平面内对应的点的坐标分别为A1,1，B−1,1，OA=OB=2，故答案为：1【例题2-2】已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝eq\r(a2＋b2)，代入方程得a＋bi＋eq\r(a2＋b2)＝2＋8i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－15，,b＝8.))【变式2-2】1.若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝eq\r(5)，则复数z＝()A．1＋2iB．－1－2iC．±1±2iD．1＋2i或－1－2i【答案】D【解析】依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝eq\r(5)得eq\r(a2＋4a2)＝eq\r(5)，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.【变式2-2】2．（2023·全国·高一专题练习）在复平面内，复数z对应的点在第四象限，对应向量的模为3，且实部为5，则复数z等于（

）A．3−5i B．5−3i C．5【答案】D【分析】由已知可设z=5+【详解】解：设z=5+bi(b<0)故选：D.◆类型2由复数的模求参数取值（范围）【例题2-3】（2023·全国·高一专题练习）在复平面内，复数z对应的点(5,b)在第四象限，若A．3−5i B．5−3i C．5【答案】D【分析】根据复数的几何意义，以及模长公式，可得答案.【详解】由题意，得z=5+bi,(b<0)故选：D.【例题2-4】已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))【解析】由|z|＝eq\r(1＋4m2)≤2，解得－eq\f(\r(3),2)≤m≤eq\f(\r(3),2).【变式2-4】1.设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－1,1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)【答案】B【解析】因为|z1|＝eq\r(a2＋4)，|z2|＝eq\r(4＋1)＝eq\r(5)，所以eq\r(a2＋4)＜eq\r(5)，即a2＋4＜5，所以a2＜1，即－1＜a＜1.【变式2-4】2.已知复数z满足z＝－|z|，则z的实部()A．不小于0B．不大于0C．大于0D．小于0【答案】B【解析】设z＝a＋bi(a、b∈R)，则a＋bi＝－eq\r(a2＋b2)，∴b＝0，a＝－|a|，∴a≤0，故不大于0.【变式2-4】3．（多选）（2023·全国·高一专题练习）复数z=m2A．若z对应复平面上的点在第四象限，则mB．若z是纯虚数，则mC．当m≠1D．当m=2时，【答案】AC【分析】根据给定复数，利用复数的概念及几何意义，逐项分析、计算判断作答.【详解】复数z=m2对于A，z对应复平面上的点在第四象限，则m2−1>0m对于B，z是纯虚数，则m2−1=0m对于C，当m≠1时，复数z的虚部m对于D，当m=2时，z=3+i，则故选：AC【变式2-4】4．（2023·全国·高一专题练习）下面给出的几个关于复数的命题，①若x2−4②复数a2③复数z=−sin100°④如果复数z满足|z+i|+|z以上命题中，正确命题的序号是______.【答案】②③【分析】根据纯虚数的概念和复数的几何意义逐个检验可得【详解】对于①，因为(x2−4)+(解得x=2对于②，因为a∈R，所以a2+1≠0对于③，因为−sin100°<0，cos复平面内对应的点在第三象限，故③正确；对于④，由复数的几何意义知，z+i+和到点B(0,1)的距离之和，又因为AB而z−2i−1表示点Z到点P所以其最小值为PB=故答案为：②③．◆类型3与复数的模相关的轨迹方程问题【例题2-5】（2023·高一课时练习）设复数z满足z−iA．(x+1)2+y2=1 B．【答案】C【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．【详解】z=x+yi,【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．题型3共轭复数的概念及计算【方法总结】(1)当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝eq\x\to(z)，也就是，任一实数的共轭复数是它本身．(2)在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等．【例题3-1】如果x－1＋yi与i－3x是共轭复数，则实数x＝_____，y＝________.【答案】eq\f(1,4)－1【解析】由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝－3x,y＝－1))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4),y＝－1)).【变式3-1】1．（2022春·新疆阿克苏·高一校考期末）若复数z=2+i，则zA．(2,−1) B．(2,1) C．(−2,1) D．(−2,−1)【答案】A【分析】求出z，进而可得z在复平面对应的点的坐标．【详解】z=2+i，则z=2−i故选：A．【变式3-1】2．（2023·全国·高一专题练习）已知复数z的共轭复数z=1+2i（i为虚数单位），则z【答案】1,−2【分析】利用共轭复数的定义可得出复数z，利用复数的几何意义可得出结论.【详解】由共轭复数的定义可得z=1−2i，因此，z在复平面内对应的点坐标为1,−2故答案为：1,−2.【变式3-1】3.已知复数z1＝m2＋1－(m2＋m)i与z2＝2－(1－3m)i(m∈R)互为共轭复数，求m的值．【答案】m=1【解析】由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋1＝2，,m2＋m＝－1－3m，))所以m＝1，即当m＝1时，z1与z2是共轭复数．【变式3-1】4．（多选）（2022春·黑龙江绥化·高一校考期末）下列关于复数的说法，其中正确的是（

）A．复数z=aB．复数z=aC．若z1，z2互为共轭复数，则D．若z1，z【答案】AC【分析】根据复数的分类，共轭复数的定义与复数的几何意义判断．【详解】根据复数的分类，a=0,b≠0z1=a+b当z1故选：AC．【例题3-2】下列命题中：①任意两个确定的复数都不能比较大小；②z＋eq\x\to(z)＝0⇔z是纯虚数；③z＝eq\x\to(z)⇔z∈R.正确的是________．【答案】③【解析】当两个复数都是实数时，可以比较大小，故①错．当z＝0时，eq\x\to(z)＝0，此时，z＋eq\x\to(z)＝0，但z不是纯虚数，故②错．若z＝a＋bi(a，b∈R)与eq\x\to(z)＝a－bi相等，则b＝－b，所以b＝0，所以z＝a为实数，若z＝a为实数，则eq\x\to(z)＝a，所以z＝eq\x\to(z)，故③正确．故填③.【变式3-2】1.如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A．AB．BC．CD．D【答案】B【解析】表示复数z的点A在第二象限，设z＝a＋bi(a、b∈R)，且a<0，b>0，则z的共轭复数eq\x\to(z)＝a－bi，∴a<0，－b<0，故应为B点.【变式3-2】2．（2023·全国·高一专题练习）设复数z的模长为1，在复平面对应的点位于第一象限，且满足|z+zA．12+32i B．22【答案】C【分析】设z=a+bia,b∈R，且a>0,b【详解】设z=所以a>0,b>0，由z因为复数z的模长为1，所以a2+b所以z=12故选：C.题型4复数的平方根与立方根【例题4-1】（2023·全国·高一专题练习）下列命题：①i是−1的一个平方根；②−i是一个负数；③如果a+bi=3+4i(A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据复数的性质有(±i)2=−1可知①的正误，，负数是实数的概念可知②的正误，复数相等时注意参数【详解】①由(±i)2=−1，则i是②−i是一个虚部为−1的纯虚数，实数分正数、0、负数，错误；③如果a+bi=3+4i，当a,b∈R故正确命题为1个.故选：B【变式4-1】1．（2021春·福建厦门·高一厦门双十中学校考期中）2+23【答案】±(【分析】设z=a+【详解】设2+23i的平方根为z=则a2−b2=22ab故答案为：±(3【点睛】本题考查了复数的平方根，意在考查学生的计算能力和转化能力.【变式4-1】2．（2023·高一课时练习）复数2i的平方根__________．【答案】1+i或【分析】设复数2i的平方根为z=a+【详解】设复数2i的平方根为z=a+则z2所以a2根据复数相等的条件可得a2−b2=0所以z=1+i或故答案为：1+i或【点睛】本题考查了复数的开方运算和复数相等的条件，属于基础题.【变式4-1】3．（2022春·福建·高一福建