新版人教版九年级数学全册知识点

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Chapter21QuadraticEquations21.1QuadraticEquationsAnequationthatcontainsonlyoneunknownandthehighestpoweroftheunknownis2iscalledaquadraticequation.Aquadraticequationhasfourcharacteristics:(1)itcontainsonlyoneunknown,(2)thehighestpoweroftheunknownis2,(3)itisapolynomialequation.Todetermineifanequationisaquadraticequation,firstcheckifitisapolynomialequation.Ifitis,thenrearrangeitintotheformax+bx+c=0(a≠0).Ifitcanbearrangedinthisform,thenitisaquadraticequation.(4)Whentheequationisinthegeneralformax+bx+c=0,itshouldsatisfythecondition(a≠0).21.2SolvingQuadraticEquations1.MethodsofSolvingQuadraticEquations(1)SquareRootMethod:Accordingtothemeaningofsquareroot,thismethodcanbeusedtosolvequadraticequationsoftheformx=a(a≥0)or(x-a)=b(b≥0).Ifx=a,thenx=±a;if(x-a)=b,thenx=a+b.Forsomequadraticequationsthatarenotintheabovetwoforms,butcanbearrangedintotheformx=aor(x-a)=b,thismethodcanalsobeused.(2)FactoringMethod:Whenonesideofthequadraticequationiszero,andtheothersidecanbeeasilyfactoredintotheproductoftwolinearfactors,thismethodcanbeusedtosolvetheequation.Itisimportanttonotethattheconditionsfortheproductab=0area=0orb=0,andtheconditionsfortheequationx(x-3)=0arex=0orx-3=0.Bothvaluesofxcanmaketheequationtrue,sotheequationx(x-3)=0hastworoots,notone.(3)CompletingtheSquareMethod:Anyquadraticexpressionoftheformx+bxcanberearrangedintotheformofaperfectsquareoftwobinomialsbyaddinghalfofthecoefficientofthelineartermsquared.Thismethodcanbeusedtotransformtheequationintoaformthatcanbesolvedusingthesquarerootmethod.Forexample,tosolvex+6x+7=0,theequationcanberearrangedas2x+6x+9=(x+3)2-2=0,andthensolved.Note:(1)Thepremiseof"addinghalfofthecoefficientofthelineartermsquaredtobothsidesoftheequation"isthatthecoefficientofthequadratictermis1.(2)Generally,thismethodisnotusedtosolvequadraticequations,butitisimportanttounderstandthismethod.(3)FormulaMethod:Therootsofthequadraticequationax+bx+c=(a≠0)aredeterminedbythecoefficientsa,b,andcoftheequation.Whenb-4ac≥0,therootscanbefoundusingtheformulax=(-b±√(b2-4ac))/2a.Thegeneralstepstosolvequadraticequationsusingtheformulamethodare:(1)firstrearrangetheequationintothegeneralformax+bx+c=(a≠0);(2)correctlydeterminethevaluesofthecoefficientsa,b,andc(payattentiontotheirsigns);(3)ifb2-4ac<0,theequationhasnorealrootsanddoesnotneedtobesolved(sincethesquarerootofanegativenumberisundefined);(4)substitutethevaluesofa,b,andcintotheformulatofindthetworootsoftheequation.二次函数是一种形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，a≠0，x为自变量，y为因变量。二次函数的图像是轴对称的抛物线，对称轴为直线x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a,c-b²/4a)。根据a的正负性和零点的情况，二次函数的图像可以分为开口向上或向下的两种形式。在解一元二次方程时，可以使用公式法、直接开平方法和因式分解法等不同的方法。需要根据方程的特征来灵活选择方法。其中，根的情况由判别式Δ=b²-4ac的值来确定。当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。判别式的应用包括判定方程根的情况、确定根的范围和解与根有关的证明题等。韦达定理是解二次方程的重要工具，它指出如果方程ax²+bx+c=0的两个根是x1和x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。根据韦达定理，可以不解方程直接求出另一个根或参数系数，还可以求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数等。一元二次方程的应用包括面积问题、数字问题和平均增长率问题等。解决这类问题的关键步骤是分析题意，设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数，找出相等关系，并用它列出方程，解方程求出题中未知数的值，最后检验所求的答数是否符合题意及实际问题的意义。二次函数的图像是轴对称的抛物线，对称轴为直线x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a,c-b²/4a)。根据a的正负性和零点的情况，二次函数的图像可以分为开口向上或向下的两种形式。二次函数公式大全一、定义与定义表达式二次函数是指函数的表达式为y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数，其中x为自变量，y为因变量。二、二次函数的三种表达式1.一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）2.顶点式：y=a(x-h)²+k（a，h，k为常数，a≠0）其中顶点为P（h，k）3.交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a，x1，x2为常数，a≠0）其中交点为A（x1，0）和B（x2，0）三、二次函数的图象在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线。四、抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=-b/2a，对称轴与抛物线的顶点P交于一点。2.抛物线的顶点P坐标为（-b/2a，(4ac-b²)/4a），当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b²-4ac=0时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口，|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）。6.抛物线与x轴的交点个数取决于Δ=b²-4ac的值，当Δ＞0时，抛物线与x轴有两个交点；当Δ=0时，抛物线与x轴有一个交点；当Δ＜0时，抛物线与x轴没有交点。二次函数与一元二次方程二次函数表示为y=ax²+bx+c，当y=0时，变为一元二次方程ax²+bx+c=0。函数图像与x轴的交点对应着方程的根。例如，若二次函数配方为标准形式，则方程的根为()。从函数的角度看一元二次方程，若抛物线与x轴有公共点，那么该点的横坐标即为方程的根。二次函数与x轴交点的位置关系有三种，分别对应着方程的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。在实际问题中，一些最优化问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值，例如求使材料最省、时间最少、效率最高等问题。图形的旋转与平移性质图形的旋转是指将一个图形绕着某点O转动一个角度的变换，其中O为旋转中心，角度为旋转角。旋转后的图形与原图形全等，对应线段与O形成的角为旋转角，各旋转角相等。图形的平移是指将一个图形沿着某条直线方向平移一定距离的变换，其中该直线的方向为平移方向，距离为平移距离。平移后的图形与原图形全等，对应边的线段平行相等，各组对应线段平行且相等。中心对称是指一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与另一个图形完全重合，这两个图形关于这个点对称或中心对称。对称中心为点O，两个图形的对应点为关于中心的对称点。中心对称图形是指一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与原来的图形完全重合，该点为该图形的对称中心。以上是图形旋转、平移性质和中心对称的基本概念和性质。轴对称是指两个图形沿着某条轴对折后能够完全重合，这条轴就是对称轴。轴对称的性质有两个：一是两个图形全等，二是对应点连线被对称轴垂直平分。一个图形如果沿着某条轴对折后能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形。点的对称变换有四种：关于原点对称、关于x轴对称、关于y轴对称和关于直线y=x对称。它们的特征分别是：坐标的符号相反、x相等y的符号相反、y相等x的符号相反、横坐标和纵坐标对换、横坐标和纵坐标完全相反。其中，y=x的直线是过一三象限的角平分线，y=-x的直线是过二四象限的角平分线。圆是平面上到定点距离等于定长的所有点组成的图形，也可以是绕某一线段旋转360°留下的轨迹。圆心可以通过多种方式得到，包括定点、线段的端点、圆的对称轴交点和垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点。圆的直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，半径是连接圆心和圆上任意一点的线段。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线都是圆的对称轴。圆的周长是围成圆的曲线的长度，圆周率是圆的周长与直径的比值。圆的周长与直径之比是一个固定的数，叫做圆周率，用符号π表示。它是一个无限不循环小数，通常近似取值为π≈3.14。圆的直径所对的圆周角是直角，即90°的圆周角所对的弦是直径。圆的面积公式为πr^2，其中r表示圆的半径，S表示圆所占平面的大小。一条弧所对的圆周角是圆心角的一半。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦以及弦心距都相等。在同圆或等圆中，如果两条弧相等，则它们所对的圆心角、弦以及弦心距也相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，则它们所对的圆心角、弧以及弦心距也相等。圆的周长计算公式有三种：已知直径时为C=πd，已知半径时为C=2πr，已知周长时为D=c/π。此外，圆周长的一半为1/2周长，半圆的长为1/2周长加上直径。圆的面积计算公式有三种：已知半径时为S=πr^2，已知直径时为S=π(d/2)^2，已知周长时为S=π(c/2π)^2。点和圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上以及点在圆外。其中，点到圆心的距离小于半径时在圆内，等于半径时在圆上，大于半径时在圆外。过三点的圆不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。直线和圆的位置关系有三种：相交、相切和相离。其中，直线和圆的距离小于半径时相交，等于半径时相切，大于半径时相离。两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆的外离。两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做两个圆的外切。两个圆有两个交点，叫做两个圆的相交。1.三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示。2.三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心。钝角三角形外心在三角形外部，直角三角形的外心是斜边中点，锐角三角形外心在三角形内部，到三角形三个顶点的距离相等，通常用“O”表示。3.三角形重心是三角形三边中线的交点，到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用“G”表示。4.垂心是三角形三边高线的交点。6.切线的判定和性质：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线。圆的切线垂直于过切点的半径，经过圆心作圆的切线的垂线经过切点，经过切点作切线的垂线经过圆心。切线长是从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度。切线长定理是从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。7.圆内接四边形和外切四边形：圆的内接四边形是四个点都在圆上的四边形，对角互补，外角等于内对角。圆外切四边形是各边都和圆相切的四边形，对边之和相等。8.直线和圆的位置关系：设⊙O半径为R，点O到直线l的距离为d。直线和圆没有公共点时，直线和圆相离，d>R。直线和⊙O有唯一公共点时，直线l和⊙O相切，d＝R。直线l和⊙O有两个公共点时，直线l和⊙O相交，d<R。9.圆和圆的位置关系：设两个圆的半径分别为R和r(R>r)，圆心距为d。①d>R＋r时，两圆外离，没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部。②d=R＋r时，两圆外切，有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部。③R－r<d<R＋r时，两圆相交，有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在内部。④d=R－r时，一个圆在另一个圆内部，有唯一公共点。⑤d<R－r时，一个圆包含另一个圆，没有公共点。10.两圆的性质：两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线。相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点。11.圆的计算：圆的面积公式为πR²，周长C＝2πR。圆心角为n°、半径为R的弧长为nπR/180。An称为事件A的频率，记作fn(A)．随着试验次数的增多，频率fn(A)趋于稳定，这个稳定值称为事件A的概率，记作P(A)．(2)概率的定义设随机试验的样本空间为，对于任意事件A，若存在一个实数P(A)，使得满足以下三个条件：①非负性：对于任意事件A，有P(A)≥0；②规范性：对于样本空间，有P()=1；③可列可加性：对于任意两个互不相容的事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)，则称P(A)为事件A的概率．4．概率的性质(1)互补律：对于任意事件A，有P(A)+P(A的补)=1；(2)单调性：对于任意两个事件A和B，若A包含B，则有P(A)≥P(B)；(3)加法公式：对于任意两个事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)；(4)乘法公式：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B)=P(A)×P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率．5．独立事件若事件A和事件B的发生互不影响，即P(B|A)=P(B)，则称事件A和事件B是独立事件．对于独立事件A和B，有P(A∩B)=P(A)×P(B)．6．条件概率对于任意两个事件A和B，若P(A)>0，则在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为P(B|A)=P(A∩B)/P(A)．7．全概率公式和贝叶斯公式(1)全概率公式：设B1，B2，…，Bn为样本空间的一个划分，即它们两两互不相交，且并集为样本空间，则对于任意事件A，有P(A)=ΣP(Bi)P(A|Bi)；(2)贝叶斯公式：设B1，B2，…，Bn为样本空间的一个划分，且P(Bi)>0，对于任意事件A，有P(Bi|A)=P(Bi)P(A|Bi)/ΣP(Bj)P(A|Bj)．注：全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的重要公式，应用广泛，特别是在统计学、机器学习等领域．随着试验次数的增加，一个随机事件出现的频率应该稳定于该事件发生的概率。虽然事件发生的频率是个变数，而事件发生的概率是个常数，但它们之间有密切的联系，随着试验次数的增加，频率越来越稳定于概率。在具体操作过程中，我们可能无论做多少次试验，试验结果的频率与理论概率之间都存在一定的偏差。然而，这种偏差是正常的，经常存在的。同时，某些因素可能会影响试验得到的估计结果，导致不太理想的结果甚至极端情况的出现。因此，正确地看待这样的结果并尝试着对其进行合理的解释非常重要。理解试验结果的频率与理论概率之间的偏差也是形成随机观念的一个重要环节。在实际应用中，试验次数越大，出现极端情况的可能性就越小。因此，我们常常通过做大量重复试验来获得事件发生的频率，并用它作为概率的估计值。试验次数越多，得到的估计结果就越可靠。反比例函数是指形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数。它可以从以下几个方面来理解：x是自变量，y是x的反比例函数；自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数值的取值范围是y≠0；比例系数k≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分；反比例函数有三种表达式：y=k/x，y=kx^(-1)，x*y=k（定值）（k≠0）。反比例函数的一部分是函数y=k/x（k为常数，k≠0），当k=0时，y=0/x（x≠0）与x=0/y（y≠0）是等价的。因此，当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。由于反比例函数y=k/x（k≠0）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。通过待定系数法，我们可以求出反比例函数的解析式。反比例函数的图像通常是一个双曲线，其画法可以通过确定两个点或者一条渐近线来实现。相似多边形的对应边的比叫做相似比。当相似比为1时，相似的两个图形是全等的。性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。相似多边形的周长比等于相似比。相似多边形的面积比等于相似比的平方。27.2相似三角形判定：1.两个三角形的两个角对应相等。2.两边对应成比例，且夹角相等。3.三边对应成比例。4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。例题：由于∠A=∠A'，∠B=∠B'，所以△ABC∽△A'B'C'。性质：1.相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。2.相似三角形周长的比等于相似比。3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。27.3位似如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。性质：位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形，这两个图形分布在位似中心的两侧，并且关于位似中心对称。注意：1.位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。2.两个位似图形的位似中心只有一个。3.两个位似图形可能位于位似