2021年中考数学解答题压轴题每日一题93

2021年中考数学解答题压轴题每日一题

1.将抛物线y(x2-x向左平移2个单位，再向上平移4个单位得到一个新的抛物线.

(1)求新的抛物线的解析式.

(2)过/(2,0)作直线/,使得直线/与新的抛物线仅有一个公共点，求直线/的解析式

及相应公共点的坐标.

(3)请猜想在新的抛物线上是否有且仅有四个点P、尸2、P3、尸4使得尸I、尸2、P3、P4分

别与(2)中的所有公共点所围成的图形的面积均为S?若有，请求出S并直接写出Pl、巴、

【分析】(1)根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，根据该顶点坐标写出新抛物线解

析式即可.

(2)设直线1为：y=^-x+b-则々x+b=5x2+3只有一个解，解得：b\—2,bi--6.利

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用6的值，求得两条直线/,由直线与抛物线解析式联立方程组求得交点坐标；另外过点"

且平行于y轴的直线也与抛物线有一个交点；

(3)在新的抛物线上有且仅有四个点P、尸2、尸3、尸4使其分别与(2)中的所有公共点/、

B、C所围成的四边形面积均为S.需要分类讨论：①当尸在/C下方的抛物线上时，由于

轴，则当P为(0,3)时，Sap尤最大值得x4X1=2-

2

②当尸在8c下方的抛物线上时，设P(3-1t+3))由待定系数法得直线8c解析式为：

尸2%.根据50<；,义4(-11;2+253)=41:2+456(2<1(6)，所以根据二次函数

最值的求法知SAHC最大值=S△尸BC显大值.止匕时s=^x4X8+2=18，故此时，P\(0.3),P2

(4,7)；由于直线Z8为y=x+6,A,8两点的横坐标之差的绝对值为8,4、C两点的横

坐标之差的绝对值为4,P到AC的距离为1.所以将直线AB向上平移工个单位得

2

1：y=X(•/交抛物线于尸3和P4两点，由直线与抛物线交点的求法求得于P3和尸4两点坐

标.

【解答】解：(1)由y=]x2-x得顶点坐标为(2,-1)，

4

向左平移2个单位，向上平移4个单位后抛物线的顶点为(0,3),

2

二新抛物线的解析式为：y4x+3：

4

(2)解：设直线/的解析式为：>=履+6,将M(2,0)代入得：

：.2k+b=0,

・，b

•・k丁

，直线1为：y=-^-x+b,

又：直线y=£x+b与新抛物线只有一个公共4

々x+b=Jx2+3只有—个解，

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即/+2/»+12-46=0中4=(2b)2-4X(12-46)=0

解得：加=2,历=-6.

y=x+2

、，一、f"zfx=-2_

当6=2时，直线/为y=-x+2,由<1n得|，即点”的坐标是(-2,4),

yqx+3Iy=4

y=3x-6/

当6=6时，直线/为y=3x-6,由I1得|，即点8的坐标是(6,12),

吟x，?3ly=12

如图1,过点/(2,0)作直线Lx轴，交抛物线于点C,则直线/为：x=2,公共点C为

(2,4)

综上所述：直线y=-x+2与抛物线有唯一公共点”(-2,4)

直线夕=3x-6与抛物线有唯一公共点8(6,12)

直线x=2与抛物线有唯一公共点C(2,4)；

(3)答：在新的抛物线上有且仅有四个点Pi、尸2、为、P4使其分别与(2)中的所有公共

点工、B、C所围成的四边形面积均为S.

解：AB、BC、/C将抛物线分为三个部分，对于任意S在48上方的抛物线上必存在两个尸

点♦

①当P在ZC下方的抛物线上时，

轴，

当尸为（0,3）时，最大值4X1=2-

②当P在8c下方的抛物线上时

设尸为（39+3）由待定系数法得直线8c解析式为：产2%

作PD〃y轴交8c于。，则。为（1,2力，

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-'-DP=-4-t+2t-3-

4

,•S^PBC蒋*4（—^-t2+2t-3）=-yt2+4t-6（2<t<6）

•.•它是一个开口向下，顶点为（4,2）的抛物线，

当尸为（4,7）时，S.P8C最大值=2.

大值=Sz\PBC品大他・

•*-S-1x4X8+2=18

此时,P\(0,3),P2(4,7)；

•.78为y=x+6,A.8两点的横坐标之差的绝对值为8,4、C两点的横坐标之差的绝对值

为4,P到4c的距离为1.

.♦・将直线Z8向上平移1个单位得1：y=x*/交抛物线于P3和P4两点,

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工13^2=2-3^2

y=x+-^-Xj=2+3V2

由，、，得，