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文档简介
代数系统的一般性质嘉应1第1页,课件共19页,创作于2023年2月例6.1<Z+,+>是半群。<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群和独异点,其中+表示普通加法。幺元是0。<N,+,0>,…,<R,+,0><Mn(R),·>是半群和独异点,其中·表示矩阵乘法。矩阵乘法的幺元是n阶单位矩阵E.<Mn(R),·,E><Σ*,˚>是半群和独异点,其中Σ是有穷字母表,˚表示连接运算.连接运算的幺元是空串.<∑*,˚,><P(B),>是半群和独异点,其中表示集合的对称差运算.对称差运算的幺元是.<Zn,>是半群和独异点,其中Zn={0,1,…,n-1},表示模n加法。模n加法的幺元是0.<Zn,,0>.2第2页,课件共19页,创作于2023年2月因为半群V=<S,˚>中的运算˚是可结合的,可以定义运算的幂.对任意的x∈S,规定xn是
x1=x,
xn+1=xn˚x,n为正整数。易证x的幂遵从以下规律:
xn˚xm=xn+m,(xn)m=xnm,n为正整数.半群中运算的幂3第3页,课件共19页,创作于2023年2月在独异点V=<S,˚,e>中,如果规定x0=e(x是S中的任意元素),那么有关半群中幂的定义可以变成
x0=e
xn+1=xn˚xn为非负整数.而关于幂的两个运算公式不变,只要其中的m和n是非负整数就可以了。独异点中运算的幂4第4页,课件共19页,创作于2023年2月例5第5页,课件共19页,创作于2023年2月6第6页,课件共19页,创作于2023年2月子半群半群的子代数叫做子半群.如果V=<S,˚>是半群,<T,˚>就是V的子半群,需要满足:
T是S的非空子集,
T对V中的运算˚是封闭的,即可。7第7页,课件共19页,创作于2023年2月独异点的子代数叫做子独异点.对独异点V=<S,˚,e>,<T,˚,e>构成V的子独异点,需要满足:
T是S的非空子集,
T要对V中的运算˚封闭,
e∈T,即可。子独异点8第8页,课件共19页,创作于2023年2月9第9页,课件共19页,创作于2023年2月试证上述定理并思考:
若干个子半群的并是子半群吗?10第10页,课件共19页,创作于2023年2月积半群定义设V1=<S1,˚>,V2=<S2,*>为半群,则V1×V2=<
S1×S2,·>也是半群,且对任意<a,b>,<c,d>∈S1×S2有
<a,b>·<c,d>=<a˚c,b*d>称V1×V2为V1和V2的积半群.11第11页,课件共19页,创作于2023年2月半群同态定义设V1=<S1,˚>,V2=<S2,*>为半群,
:S1→S2,且对任意x,y∈S1有
(x˚y)=(x)*(y)则称为半群V1到V2的同态.12第12页,课件共19页,创作于2023年2月例半群V=<S,.>,其中S=.是矩阵乘法。令
:S→S,那么有
==
=这说明是半群V的自同态,但不是满自同态13第13页,课件共19页,创作于2023年2月独异点的积代数设V1=<S1,˚,e1>,V2=<S2,*,e2>是独异点,则它们的积代数是
V1×V2=<S1×S2,.,<e1,e2>>其中的·定义与积半群一样.即:对任意<a,b>,<c,d>∈S1×S2有
<a,b>·<c,d>=<a˚c,b*d>14第14页,课件共19页,创作于2023年2月V1=<S1,˚,e1>,V2=<S2,*,e2>是独异点,设
:S1→S2,如果对任意x,y∈S1都有
(x˚y)=(x)*(y)
(e1)=e2,则称为独异点V1到V2的同态˚独异点的同态15第15页,课件共19页,创作于2023年2月例独异点V=其中S=,.是矩阵乘法。令
:S→S,那么对任意x,y∈S都有
16第16页,课件共19页,创作于2023年2月但是而不是独异点V的么元,因此,不是独异点V的自同态。这就是说,如果把
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