九随机过程的功率谱密度

九随机过程的功率谱密度第1页，课件共38页，创作于2023年2月引言在许多领域的理论与实际应用中，广泛应用到傅立叶变换这一工具。一方面由于确定性信号的频谱、线性系统的频率响应等具有鲜明的物理意义。另一方面，在时域上计算确定性信号通过线性系统必须采用大量的卷积运算，转换到频域上分析时，可以变换成简单的乘积运算，从而使运算量大为减少，因而傅立叶变换是确定性信号分析的重要工具。在随机信号分析领域能否应用傅立叶变换，随机信号是否存在某种谱特征？回答是可以，不过在随机信号情况下，必须进行某种处理以后，才能应用傅立叶分析这一工具。因为一般随机信号的样本函数不满足傅立叶变换的绝对可积条件，即第2页，课件共38页，创作于2023年2月通常用信号在其定义域内的总量来表示信号的大小，称为信号的规范量。 一阶规范量，若模可积，即满足 则一阶规范量定义为 否则定义为6.1确定信号的大小、能量和功率确定信号的大小、能量和功率第3页，课件共38页，创作于2023年2月二阶规范量，若模可积定义为

否则定义为第4页，课件共38页，创作于2023年2月样本函数x(t)不满足绝对可积的条件，但功率是有限的因此，可以研究随机过程的功率谱。样本函数x(t)的截取函数随机信号的功率第5页，课件共38页，创作于2023年2月截取函数的傅立叶变换截取函数应满足帕塞瓦定理两边同除以2T可得第6页，课件共38页，创作于2023年2月取集合平均可得随机过程的平均功率功率谱密度第7页，课件共38页，创作于2023年2月两个结论1、随机过程的平均功率可以通过对过程的均方值求时间平均得到。若随机过程广义平稳2、若随机过程广义平稳第8页，课件共38页，创作于2023年2月1、功率谱密度为非负的，即2、功率谱密度是ω的实函数。3、对于实随机过程来说，功率谱密度是ω的偶函数，即功率谱密度的性质第9页，课件共38页，创作于2023年2月截取函数为t的实函数，根据傅立叶变换的性质于是4、功率谱密度可积，即第10页，课件共38页，创作于2023年2月功率谱密度的表达式为 其中功率谱密度可表示为功率谱密度与自相关函数第11页，课件共38页，创作于2023年2月由得第12页，课件共38页，创作于2023年2月对于广义平稳随机过程则维纳－辛钦定理第13页，课件共38页，创作于2023年2月

平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度的对应关系：第14页，课件共38页，创作于2023年2月例已知零均值平稳过程X(t)的第15页，课件共38页，创作于2023年2月第16页，课件共38页，创作于2023年2月第17页，课件共38页，创作于2023年2月第18页，课件共38页，创作于2023年2月第19页，课件共38页，创作于2023年2月第20页，课件共38页，创作于2023年2月互谱密度

定义两个截取函数为二者满足绝对可积的条件，则联合平稳随机过程的互谱密度第21页，课件共38页，创作于2023年2月

定义两随机过程的互功率为应用帕塞瓦定理第22页，课件共38页，创作于2023年2月下面求平均功率，得平均功率

互功率谱密度定义为第23页，课件共38页，创作于2023年2月1、对于实随机过程X(t)、Y(t)有2、若X(t),Y(t)联合平稳，有

互谱密度与互相关函数第24页，课件共38页，创作于2023年2月高斯过程定义：如果对于任意时刻，随机过程的任意n维随机变量服从高斯分布，则X(t)就是高斯过程。高斯过程的n维概率密度函数为：式中m,x为n维向量

C为协方差矩阵

6.7高斯过程与白噪声高斯过程与白噪声第25页，课件共38页，创作于2023年2月广义平稳正态过程定义：若正态随机过程X(t)的均值和方差都是与时间无关的常数，而自相关函数只取决于时间间隔，则称此正态过程为广义平稳正态过程。

第26页，课件共38页，创作于2023年2月性质1：宽平稳高斯过程一定是严平稳过程。性质2：若平稳高斯过程在任意两个不同时刻是不相关的，那么也一定是互相独立的

性质3：平稳高斯过程与确定时间信号之和仍是高斯过程。

高斯过程性质第27页，课件共38页，创作于2023年2月性质4：若正态随机过程在T上是均方可积的，则也是正态过程。性质5：若正态随机过程在T上是均方可微的，则其导数也是正态过程。高斯过程性质第28页，课件共38页，创作于2023年2月（1）从噪声与电子系统的关系来看：内部噪声：系统本身的元器件及电路产生的。外部噪声：包括电子系统之外的所有噪声。（2）根据噪声的分布：高斯噪声：具有高斯分布的噪声。均匀噪声：具有均匀分布的噪声。（3）从功率谱的角度来看：白噪声：如果一个随机过程的功率谱为常数，无论是什么分布，都称它为白噪声。色噪声：功率谱中各种频率分量的大小不同。噪声的分类

噪声的分类第29页，课件共38页，创作于2023年2月一个均值为零，功率谱密度在整个频率轴上为非零常数，即

的平稳过程N(t)，称为白噪声过程，简称为白噪声。理想白噪声

白噪声过程第30页，课件共38页，创作于2023年2月利用傅立叶反变换可求得白噪声的自相关函数为：白噪声的相关系数

若平稳过程N(t)在有限频带上的功率谱密度为常数，在频带之外为零，则称N(t)为理想带限白噪声。理想白噪声

带限白噪声第31页，课件共38页，创作于2023年2月若白噪声的功率谱在内不为零，而在其外为零，且分布均匀，其表达式为称这类白噪声为低通白噪声。自相关函数为

低通白噪声第32页，课件共38页，创作于2023年2月如果N(t)的功率谱密度集中在为中心的频带内，则称N(t)是带通限带白噪声，或称为带通白噪声，其功率谱为自相关函数为

带通白噪声

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