运算基础二进制的运算和计算机中的四则运算

1.2运算基础二、二进制的运算和计算机中的四则运算一、各种进制数的表示和它们之间的转换三、各种数制的编码、字符编码、BCD码、

ASCII码、汉字编码四、逻辑电路和逻辑运算计算机中的各种数制在计算机内部，信息广泛采用二进制形式表示，有时还会使用十进制、八进制、十六进制。2进制，用两个阿拉伯数字：0、1；8进制，用八个阿拉伯数字：0、1、2、3、4、5、6、7；10进制，用十个阿拉伯数字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9；16进制，用十六个阿拉伯数字……等等，阿拉伯人或说是印度人，只发明了10个数字啊？16进制就是逢16进1，但我们只有0~9这十个数字，所以我们用A，B，C，D，E，F这五个字母来分别表示10，11，12，13，14，15。字母不区分大小写。对任意进位制数都可以写成按权展开的多项式的和的形式：十进制使用广泛，它主要用在计算机外部。特点：一是十进制由十个不同的数符组成：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，即基数为“10”；二是十进制遵循每相邻两位“逢十进一”的原则。二进制是用于计算机内部描述各种信息的一种数制。特点：一是二进制由“0”和“1”两个符号构成，即基数为2；二是每相邻两位遵循“逢二进一”的原则。K=Kn-1×Rn-1+Kn-2×Rn-2+……+K1×R1+K0×R0+K-1×R-1+K-2×R-2+……=Ki×Ri式中：i－－数位；m，n－－正整数；

R－－基数；Ki－－第i位数码。为什么需要八进制和十六进制?

编程中，我们常用的还是10进制……必竟C/C++是高级语言。比如：inta=100,b=99;

不过，由于数据在计算机中的表示，最终以二进制的形式存在，所以有时候使用二进制，可以更直观地解决问题。但，二进制数太长了。比如int类型占用4个字节，32位。比如100，用int类型的二进制数表达将是：000000000000000001100100面对这么长的数进行思考或操作，没有人会喜欢。用16进制或8进制可以解决这个问题。因为，进制越大，数的表达长度也就越短。不过，为什么偏偏是16或8进制，而不其它的，诸如9或20进制呢？

2、8、16，分别是2的1次方，3次方，4次方。这一点使得三种进制之间可以非常直接地互相转换。8进制或16进制缩短了二进制数，但保持了二进制数的表达特点。1）二进制数用B(Binary),八进制数用O(Octonary),O也可用Q表示,十进制数用D(decimal),十六进制数用H(Hexadecimal)表示.:101B,123Q,789,10CEH分别表示二进制、八进制、十进制和十六进制数2）给数加括号并加数字下标如(1001)2,,(2357)8,(8790)10,(1AFF)16分别表示二进制、八进制、十进制和十六进制。书写规则常用的书写方法有两种:应该还有其他写法，如c＋＋中的表示等。数制之间的转换下面是竖式：将01100100换算成十进制第0位0*20

=

0第1位0*21

=

0第2位1*22

=

4第3位0*23

=

0第4位0*24

=

0第5位1*25

=32第6位1*26

=64第7位0*27

=

0

＋---------------------------

100

2进制数转换为10进制数用横式计算为：0*20+0*21+1*22+1*23+0*24+1*25+1*26+0*27=100

0乘以多少都是0，所以我们也可以直接跳过值为0的位：1*22+1*23+

1*25+1*26=100二进制数00101010十进制数4225+23+21=42转换方法：e.g110进制数转换为2进制数给你一个十进制，比如：6，如果将它转换成二进制数呢？10进制数转换成二进制数，这是一个连续除2的过程：把要转换的数，除以2，得到商和余数，将商继续除以2，直到商为0。最后将所有余数倒序排列，得到数就是转换结果。十进制数58二进制数00111010转换方法：

2|58……02|1……12|29……12|14……02|7……12|3……102|1……1e.g2取余数对应二进制位数223……余1……K0最低位211……余1……K125……余1……K222……余0……K321……余1……K4最高位

即：23D=10111B总结：十进制整数转换成二进制数用“除2取余倒读法”转换成其它进制数就可概括为“除R取余倒读法”。例：十进制数23转换成二进制数对应二进制位数取整数K-1最高位1K-21K-30K-4最低位10.8125×

21.62500.6250×

21.25000.2500×

20.50000.5000×

21.0000即：0.8125D=0.1101B总结：十进制数转换成其它进制数方法“乘R取整顺读”例：将十进制数0.8125转换成对应的二进制数十六进制数转换成十进制数十六进制数的第0位的权值为16的0次方，第1位的权值为16的1次方，第2位的权值为16的2次方……所以，在第N（N从0开始）位上，如果是数X（X大于等于0，并且X小于等于15，即：F）表示的大小为X*16的N次方。假设有一个十六进数2AF5,那么如何换算成10进制呢？用竖式计算：2AF5换算成10进制:

第0位：

5*160=5第1位：

F*161=240第2位：

A*162=2560第3位：

2*163=8192

＋-------------------------------------

10997

直接计算就是：5*160

+F*161+A*162+2*163=10997(别忘了，在上面的计算中，A表示10，而F表示15)现在可以看出，所有进制换算成10进制，关键在于各自的权值不同假设有人问你，十进数1234为什么是一千二百三十四？你尽可以给他这么一个算式：1234=1*103+2*102+3*101+4*100三位组合法：把二进制数以小数点为中心，分别向左、右每三位分为一组，不够补零；然后，每组用等值的八进制数码表示。例：将二进制数101.1011转换成等值八进制数.(101.1011)2=101.101

100=(5.54)8分解三位法：把八进数的各位依次用对应的三位二进制数码表示。例：将八进制数12.56转换成等值二进制数(12.56)8=001010.101110=(1010.10111)2二进制数和八进制数之间的转换与二进制转换成八进制类似用“四位组合法和分解四位法”例：将二进制数101110转换成等值十六进制数。(101110)2=0010

1110=(2E)16将十六进制数5.B8转换成等值二进制数分别转换成等值(5.B8)16=0101.1011

1000=(101.10111)2二进数与十六进制数之间的转换二进制十六进制十进制BCD码00000000000001110001001022001000113300110100440100010155010101106601100111770111100088100010019910011010A101011B111100C121101D131110E141111F15数码对照表机器数：“数”以某种方式存储在计算机中，一般称为机器数。机器数的范围一个计算机的字长为8位或16位时,它的无符号整数的最大值分别是(11111111)2=(255)102=(65535)102.机器数的符号无符号数：不考虑正负的数，相反称为有符号数有符号数:计算机中有符号数的符号被数字化了；一般最高位为0表示正号，为1表示负号常用的编码方式有三种：原码、反码、补码。数据的表示

无符号数与有符号数的区别仅在于，无符号数没有符号位，全部有效位均用来表示数的大小。在计算机中，无符号数常用来表示地址。1.无符号数（1）原码符号位用0表示正，用1表示负，数值部分不变。原码和真值的关系如下式所示：2.有符号数例如：求X=+105的原码（X)原=01101001

求X=－105的原码（X)原=11101001

原码表示简单直观,但0的表示不唯一，加减运算复杂,如果两个异号数相加或两个同号数相减就要做减法。 （2）反码正数的反码与原码相同，负数的反码是符号位用1表示，数值位按位取反。原码和真值的关系如下式所示：例如：X=-4,（X)原=10000100,（X)反=11111011,

（X)反=10010100，则其原码为11101011，为－107

反码的缺点与原码类似，多用在求反逻辑运算中。（3）补码正数的补码与原码相同；

负数补码为其反码加1；

0无正负之分；

n位二进制数补码的表示范围为＋(2n-1－1)～－2n-1

补码和真值的关系如下：例如：X=-4,（X)原=10000100,（X)补=11111100

补码运算时可以将符号位参与运算，可以用加法代替减法运算，提高了运算速度。计算机中的有符号二进制数据默认为补码表示。X为正数时有：（X)原＝（X)反＝（X)补X为负数时有：（X)补＝（X)反＋1，((X)补)补＝（X)原

((X)反)反＝（X)原

补码的求法1）根据定义求：（X)补＝2n＋X如X＝－，n＝8，则（X)补＝28＋（－）＝100000000－＝，有减法运算不方便。2）利用原码求：一个负数的补码等于其原码除符号位以外的各位按位取反，再在最低位加1。如X＝－，（X)原＝，则（X)补＝＋1＝3）简便的求补：从原码的最低位起，到出现第一个1以前（包括第一个1）的数字不变，以后逐位取反，但符号位不变。如X=－1010111,（X)原＝，则（X)补＝X＝－，则（X)原＝11110000，则（X)补＝3.机器数中小数点位置（1）定点数:小数点位置固定不变。浮点数:小数点位置可以浮动。定点数的表示方法纯整数：小数点在数的最右方。纯小数：小数点在数的符号位之后。纯整数和纯小数都可以用原码、反码、补码来表示。如：87.37=0.8737×102同样(110.11)2=(0.11011×23)2

这就是浮点数表示法一个二进制数N

可表示为:N

=±2±P×S(N,P,S均为二进制数)S称为尾数，即全部的有效数字（一般数值小于1），2前面的±号是尾数的符号，P称为阶码（一般为整数）即指明小数点的实际位置，2右上方的±号是阶码的符号。浮点数在机器中的编码分成两部分,排列如下：阶符阶码P尾符尾码S（2）浮点数的表示方法Pentium将阶码以一种偏置形式存放于格式之中，即将真阶码加上一个常数偏置值才是格式阶码，以保证偏置后的格式阶码恒为正数。单精度的阶码偏置值为+127，双精度的阶码偏置值为+1023，扩展精度的阶码偏置值为+16383。一个浮点数数的真阶码要通过它的格式阶码减去偏置值而得到。Pentium微处理器支持的浮点格式现在想知道，-5在计算机中如何表示？在计算机中，负数以其正值的补码形式表达。原码：一个整数，按照绝对值大小转换成的二进制数，称为原码。比如0000000000是5的原码。反码：将二进制数按位取反，所得的新二进制数称为原二进制数的反码。取反操作指：原为1，得0；原为0，得1。（1变0;0变1）比如：将0000000000每一位取反，得11111111111111111111111111111010。称：11111111111111111111111111111010是0000000000的反码。反码是相互的，所以也可称：11111111111111111111111111111010和0000000000互为反码。现在想知道，-5在计算机中如何表示？(续）补码：反码加1称为补码。也就是说，要得到一个数的补码，先得到反码，然后将反码加上1，所得数称为补码。比如：0000000000的反码是：11111111111111111111111111111010。那么，补码为：11111111111111111111111111111010+1=11111111111111111111111111111011所以，-5在计算机中表达为：11111111111111111111111111111011。转换为十六进制：0xFFFFFFFB（在c中）或0FFFFFFFBH（在汇编中）。BCD（BinaryCodeDecimal）码：把每1位十进制数用4位二进制编码表示的数字编码。它的全名为十进制数的二进制编码（二-十进制编码）8421BCD码：每个十进制位用4位二进制数表示，而4位二进制数的位权分别为8、4、2、1，故命名之。十进制数8421BCD码十进制数8421BCD码000008100010001910012001010000100003001111000100014010012000100105010113000100116011014000101007011115000101014.数字编码8421BCD编码表例：(36.97)10=(00110110.10010111)BCD(100100110001.01000101)BCD=(931.45)10BCD码压缩型BCD码用4位二进制数表示1位十进制数非压缩型BCD码用8位二进制数表示1位十进制数1).ASCII编码：是由美国国家标准委员会制定的一种包括数字、字母、通用符号在内的字符编码集。ASCII码是一种7位二进制编码，能表示27＝128个国际上最通用的西文字符。5.字符型数据的表示ASCII编码字符集包括4类常用的字符。（1）数字0～9对应的ASCII码值分别为0110001B~0111001B用十六进制数表示为31H～39H（2）字母包括26个大写英文字母和26个小写英文字母。字母A～Z的ASCII码值为41H～5AH，字母a~z的ASCII码值为61H～7AH。可以看出：对应的大、小写字母的ASCII码值相差20H。（3）通用符号如：＋、－、＝、*、／、，等共32个。（4）控制字符包括空格SP（20H）、回车CR（0DH）等共34个。注：ASCII码是一种7位编码，但它存放时必须占全一字字节，也即占用8位，一般最高位置0，其余7位是ASCII值。ASCII码表规律：小写字母大于大写字母，字母大于数字，所有的字符都大于空格，空格大于所有的控制字符。2).汉字编码汉字与英文差别很大：象形字、数目多、形和划差异大计算机常用键盘以拼音文字为主解决录入问题：与拼音键盘兼容－－外码（音、形、划）在计算机中表示汉字需安排一个确定的编码且与ascii易于区分:GB2312-80,简国标码，再到机内码。二进制的运算和计算机中的四则运算1．算术运算 算术运算是指利用＋、－、×、÷、（）等符号连接二进制数完成的运算。（自然运算规则与十进制同）

计算机中完成二进制的四则运算 完成二进制的四则运算最终都是进行加法运算。 加法：……；乘法：部分积右移加被乘数或0

减法：加补码；除法：部分余数左移加除数补码或01)二进制的加减运算两个1位二进制数的加、减运算规则加法规则：减法规则：

0+0＝00–0＝00+1＝11–1＝1（借位1）

1+0＝11–0＝11+1＝0（进位1）1–1＝0多位二进制数加、减运算法则：逢二进一、借一作二例：求11000011B＋100101B=？求11000011B－100101B=？

11000011B11000011B+100101B－100101B11101000B10011110B参见p.7二进制的补码运算规则：[X+Y]

补=[X]补+[Y]补

[X-Y]补=[X]补-[Y]补例:[32＋25]补

=[32]补＋[25]补=00100000＋00111001=[57]补

[32－25]补

=[32]补－[25]补=00100000－=00100000+11100111=(1)00000111=[7]补2）二进制的补码运算

分析：两数相加时，只有当