元微积分数学函数题库.试卷有答案全集

PAGEPAGE52一元微积分学数学（1）函数填空题：函数y=arcsin定义域是:2.设y=(x)的定义域是[0，1]，则复合函数(sinx)的定义域是:.3．函数的值域是0y+.4．函数的反函数是:.5．函数在区间内是单调增加的.在区间内是单调减少.6．设，（x>o）,则=.7．设,则=,=x.8．函数的反函数y=.二．选择题：在同一直角坐标系中，函数与它的反函数说代表的曲线具有的性质是（D）关于y轴对称;(B)关于x轴对称;(C)重合；(D)关于直线y=x对称.2.下列几对函数中，与相同的是（C）.（A）与（B）与（C）与（D）与3．已知的定义域为则的定义域是（C）（A）[-a,3a](B)[a,3a](C){a}(D){-a}4．如果，那么的表达式是（B）(A)x-1(B)1-x(C)(D)都不是三．设函数是线性函数，已知求此函数.解：设f(x)=ax+b,则有0+b=1,a+b=-3,解得a=-4,b=1.四．证明函数在它的整个定义域内是有界.证明：f(x)的定义域为R.因为所以：函数在它的整个定义域内是有界五．试讨论函数的奇偶性.解：所以偶函数.一元微积分学题库（2）数列的极限一．判断题：1．如果数列{}以A为极限，那么在数列｛｝增加或去掉有限项之后，说形成的新数列｛｝仍以阿A为极限．(T)2．如果，则有或(F)3．如果，且存在自然数N，当n>N时恒有＜０，则必有a<０．(F)4．如果，均不存在，则有必不存在．(F)一元微积分学题库（3）函数的极限，无穷大，无穷小选择题：下列题中其条件对其结论来说是（Ａ）充分但非必要条件；（Ｂ）必要但非充分条件；（Ｃ）充分必要条件：（Ｄ）既非充分又非必要条件；１．条件，.结论（A）２．条件和都存在.结论存在（B）３．条件和都存在.结论存在.（A）４．条件f(x)在a的某个邻域内单调有界．结论存在．（D）三．求时的左右极限，并说明它们在x0时的极限是否存在？解：=1，所以.所以，显然，故不存在.五．证明：函数在区间（０，１］上无界，但当x＋０时，这函数不是无穷大．证明：1.取时，=所以在区间（０，１］上无界.2.取，==0即在0的任何邻域都不可能有（M>0）成立.所以当x＋０时，这函数不是无穷大．一元微积分学题库（4）极限的求法判断题：下列运算是否正确：(F)(F)（F）二．计算下列极限：１．解：==２．解：==2３．解：设，则因为=0，所以即：４．解：====５．解：因为所以arctgx为有界函数.而=0，由有界函数与无穷小的乘积是无穷小知.=0６．解：=====７．解：===三．已知解：==0，==3+a,存在，即：=所以..一元微积分学题库（5）极限存在准则两个重要极限无穷小的比较判断题：因为时，tgx~x,sinx~x,所以（F）(T)(F)二、计算下列极限解：===解：====1解：====2解：===1.解：===解：=====.证明：当x0时，下列各对无穷小量是等价的1.证明：设A=arctgx,则x=tgA,当时，.==12.1-cosx~证明：====1.四、证明：用两边夹法则：（解法一）设F(n)=>0则设

g(n)=0,h(n)=,则g(n)=0<F(n)<h(n).显然，；由极限存在准则I知：.证毕.（解法二）：设F(n)=>0因为（n为自然数），所以有F(n)<=设

g(n)=0,h(n)=,则g(n)=0<F(n)<h(n).显然，；由极限存在准则I知：.证毕.另解：设F(n)=(0<F(n)<1)，则F(n+1)=，有F(n+1)<F(n).所以F(n)为单调有界数列，由极限存在准则II知F(n)有极限.设.则有==A=A,A=0.即.证毕.五、设，证明数列的极限存在，并求其极限.证明：=因为所以因为所以>0即：所以为单调有界数列，由极限存在准则II知有极限.，则有，A=2A--，解得：A=1或A=0（舍去，因为为递增数列且.）所以一元微积分学题库（6）函数的连续性判断题1． （T）2.设在点连续，则 （T）3．如果函数在上有定义，在上连续，且0，则在内至少存在一点，使得=0（T）4．若连续，则必连续.（T）5．若函数在上连续且恒为正，则在上必连续.（T）6．若,且，则在的某一邻域内恒有.（F）7．是函数的振荡间断点. （F）填空题：1．()2.(0)3.()4.是的第（二）类间断点.求解：=求函数在内的间断点，并判断其类型.解：在内的间断点有：，，，因为不存在，所以，是的第一类（可去）间断点;，是的第二类间断点.设，（1）求；（2）当连续时，求的值.解：(1)(2)连续.一元微积分学题库（7）连续函数的性质一．计算下列极限：1．解：原式===2．解：原式===3．解：原式==4．解：原式===5．解：原式===6．解：令，得，当原式====二．证明方程至少有一个不超过的正根（其中）.证明：设，则在上连续.又，.若，则结论成立.若，则由零点定理.三．设在上连续，且，证明：至少存在一点，使得.证明：设，则在上连续.又,若，则结论成立.若，则由零点定理.四．设在上连续，且，又存在使.证明在上有最大值.证明：取,当时,.即当时，.,当时,.即当时，.若,为最大值.若,在上连续,必有最大值.,.在上取得最大值.一元微积分学题库（8）导数的概念选择题：设f′(x)存在，a为常数，则等于（C）.(A)f′(x);(B)0;(C);(D).2.在抛物线上，与抛物线上横坐标和的两点连线平行的切线方程是（B）.(A)12x-4y+3=0;(B)12x+4y+3=0;(C)4x+12x+3=0;(D)12x+4y+1=0.3.将一个物体铅直上抛，设经过时间t秒后，物体上升的高度为，则物体在3秒时的瞬时速度为（B）.(A);(B)40-3g;(C)0;(D).4.若函数在x=0处(B).(A)连续且可导；（B）连续，不可导；（C）不连续；（D）都不是.二．设函数在处x=1可导，求a和b.解：在x=1处可导在x=1处连续，可得即(1)又在x=1处可导,可得即(2)由(1),(2)得,.三．设，求.解:,由幂函数的导数公式可得.四．已知，求.（提示：分段点x=0处的导数用导数的定义求）解:当x=0时,令,;.所以五．设f(x)在上有连续导函数.证明f(x)为偶函数的充要条件是：为奇函数（充分性的证明用到不定积分的概念，只证必要性）.证明:对于则有依题意令有;;为偶函数一元微积分学题库（9）求导法与复合函数求导填空题：曲线与x轴交点的切线方程是.曲线在横坐标x=0点处的切线方程是,法线方程是.设，则.设，则.设，则.求下列函数的导数..解:..解:..解:..解:..解:.三.求导数:,求.解:.,求.解:.,求.解:.四.已知,,求.解:令,则.一元微积分学题库(10)复合函数求导(二)高阶导数求下列函数的导数:.解：.2．.解：.3．.解：.4．.解：.5．.解：.求下列函数的二阶导数:.解：,..解：,..解：,.求函数的n阶导数.解：，，，，一般地，可得.设,其中在点a的邻域内连续,求.解：.在点a的邻域内连续..一元微积分学题库(11)隐函数求导法求由下列方程所确定的隐函数y的导数..解：,即其中y是由方程所确定的隐函数..解：,即.其中y是由方程所确定的隐函数..解：,即.其中y是由方程所确定的隐函数.用对数函数求导法求下列函数的导数:.解：先两边取对数(假定.)得.则..当时,用同样的方法可得与上面相同的结果..解：先两边取对数(假定)得.对上式两边对求导，得.即.当时,用同样的方法可得与上面相同的结果.求下列函数的二阶导数..解：,.已知这里存在且不为零.解：存在且不为零,.设,证明y=y(x)在t=0时存在,并求其值.证明：原方程可化为.当时,一元微积分学题库(12)微分选择题:已知,则dy等于(C).(A)2tgxdx;(B);(C);(D).一元函数连续是可导的（A）；一元函数可导是可微的（C）.（A）必要条件；（B）充分条件；（C）充要条件；（D）既非充分条件又非必要条件.函数不可微点的个数是（B）.（A）3;(B)2;(C)1;(D)0.二．填空题：已知函数在点x处的自变量的增量，对应的函数增量的线性主部是，那末自变量的始值为.，则.3.;;;.利用微分求近似值：.解：.这里较小应用(p150)(2)式,得.已知测量球的直径D时有1%的相对误差，问用公式计算球的体积时，相对误差有多少？解：我们把测量D时所产生的误差当作自变量D的增量，那么，利用公式来计算V时所产生的误差就是函数V的对应增量.当很小时，可以利用微分近似地代替增量，即.其相对误差.求由方程所确定的隐函数s在t=0处的微分.解：对方程两边关于t求导，得.当t=0时,得.又对原方程,当t=0时,得即s=1.一元微积分学题库（13）中值定理一．选择题：1．下列函数中，满足罗尔定理条件的是（B）.(A)(B)(C)(D)2.对于函数，在区间上满足拉格朗日中值定理的点是(A).(A);(B);(C);(D)1.二.应用导数证明恒等式：.（注意：对处的讨论）证：令当时，（C为常数）.特别地，取,则求得当时，当时， 当时，三.设，证明：.证：设，在上利用拉格朗日中值定理，有：.四.证明：不论b取何值，方程在区间上至多有一个实根.证：反证法.设，且在区间上有两个以上实根，其中两个分别记为，不妨设，则，由罗尔定理，在内至少有一点，使.而在内恒小于0，矛盾.命题成立.五.构造辅助函数，证明不等式.证：设，则在区间上，，根据拉格朗日中值定理，在内至少存在一点使即又即六.设函数和在上存在二阶导数，且，证明在(a,b)内；在(a,b)内至少存在一点，使.证：（1）反证法.设（a,b）内存在一点使，则在上有g(a)=g(x1)=0,由罗尔定理知在(a,x1)内至少存在一点ξ1使(ξ1)=0.同理在(x1,b)内也至少存在一点ξ2使(ξ2)=0.∵(ξ1)=(ξ2)=0∴由罗尔定理，在(ξ1,ξ2)内至少存在一点使,这与矛盾，故在内.令由题设条件可知，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0,由罗尔定理可知，存在使得即由于，故.一元微积分学题库（14）罗必塔法则一.求下列极限：1.解：原式=2.解：原式===3．解：原式==14．解：令，则∴y=e0=15．解：原式=一元微积分学题库（15）函数的单调性一．填空题：1．函数y=(x-1)(x+1)3在区间内单调减少，在区间内单调增加.2．函数（a>0）在区间内单调增加，在区间内单调减少.3．函数在区间内单调增加，在区间（-1，3）内单调减少.4.函数在区间（0.5，1）内单调增加，在区间内单调减少.二.证明下列不等式：1.当时，.证：令，则.，，显然，当时，在区间内单调增加.又在区间内恒大于零.又在区间内大于零.即当时，即.2.当时，.证：令显然，当时，在内单调增加.又=0在内大于零.在内单调增加.而=0在内恒大于零.即当时，即3.当时，证：令，则.令，则.在此区间内单调减少.在此区间内也单调减少.而在内小于0.在内单调减少.∴在区间的两端取得极大极小值.即三.证明方程sinx=x只有一个根.证：令，则.在内单调减少.∴f(x)=sinx-1=0至多有一个根.而f(0)=0,有且只有一个根.即方程sinx=x只有一个根.一元微积分学题库（16）函数的极值一.填空题：1.函数在处取得极小值.2.已知函数当-1或5时，y=0为极小值；当x=0.5时，y=为极大值.3．已知在x=1处有极值-2，则a=0,b=-3,y=f(x)的极大值为2；极小值为-2.二.求下列函数的极值：1.解：令得三驻点：.当时，，当时，.处为非极值点.当时，取得极大值，其值为0.当时，，取得极小值，其值为-13.5.2.解：，令，得驻点（k为整数）.∴当时，x在该处取得极大值，其值为当时，x在该处取得极小值，其值为三.试问a为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求出此极值.解：，令，则即时取得极值.在处取得极大值，其值为.四.设，为实数，且(1)求函数的极值.(2)求方程有三个实根的条件.解：(1)，令得，而处取得极小值，其值为处取得极大值，其值为(2)由上述的讨论我们可以看出，仅有三个单调区间，由介值定理及区间单调性知：方程要有三个实根，必须满足在这三个单调区间上各有一个实根，也就是说，极小值应小于或等于0同时极大值应大于或等于0（等于0时含重根）.即即当时，方程有三个实根.五.一个无盖的圆柱形大桶，已规定体积为V,要使其表面积为最小，问圆柱的底半径及高应是多少？解：设圆柱的底半径为R,高为h，则,则六.设在上二阶可微，，且.证明存在，使得.证：将在x取得极大值处展开一阶泰勒公式（设此时），，，两式相加得：令，则一元微积分学题库(17)最大值最小值凹凸性拐点一、求下列函数的最大值和最小值：1.函数在所给区间内可导，因此可令解得而所以函数在区间上的最大值、最小值分别为104和-5.2.函数在所给区间内可导，因此可令解得而所以函数在区间上的最大值、最小值分别为-47和-15.二、某车间靠墙壁盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解：设宽为米，则长为米，因此，面积为显然，当时，面积取最大值50.三、求数项中的最大项.解：令则解得唯一驻点，，并且在区间上单调递增，在区间上单调递减，而所以数项中的最大项为.四、求下列函数的凹凸区间与拐点：1.解：函数在定义域内阶导数存在，并且因此，当时，，曲线为凸的，当时，，曲线为凹的，点是曲线的拐点.2.解：函数在定义域内阶导数存在，并且因此，当时，，曲线为凸的，当时，，曲线为凹的，当时，，曲线为凸的，点是曲线的拐点.五、证明有三个拐点位于同一直线上.证明：函数在定义域内二阶导数存在，并且令，解得，因此，当时，，曲线为凸的，当时，，曲线为凹的，当时，，曲线为凸的，当时，，曲线为凹的，所以曲线有三个拐点.并且所以三个拐点在同一条直线上.一元微积分学题库(18)函数图形的描绘一、作下列函数的图形（要求列表之后再画图）：1.解：函数在定义域内二阶导数存在，并且令，解得，010+++00+++00+图形↘拐点极大拐点↗极小↘拐点2.解：函数在定义域内二阶导数存在，并且令，解得，1-0+++0++++0-0+图形极小拐点↗拐点，不是极值点四、求曲线的一条切线，使该曲线与切线及直线所围成的平面图形的面积最小.解：设切点的坐标为，则切线的斜率为，所以切线方程为当时，当时，，所以，三角形的面积为令解得即当时，三角形的面积最小，从而该曲线与切线及直线所围成的平面图形的面积最小，此时切线方程为：一元微积分学题库（19）不定积分一.是非题：1．(F)2.(F)3.已知则(F)4.是同一个函数的原函数(T).二.填空：1..2..3..4.5..6.设，则.7.已知曲线通过点(e,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，则曲线方程为.三.求下列不定积分1.解:2..解：.3..解：4．.解：5．解：．四．已知且f(0)=0求f(x).解：又由于在x=0可导,则f(x)在x=0连续，所以f(-0)=f(+0)=f(0)=0得：一元微积分学题库（20）换元积分一.填空:1.2.3.4.5.6.7.8.二.计算不定积分:1..解：.2.解：6．解：.7.解:8.解:.一元微积分学题库（21）分部积分法一.填空题：1．设则.2．.3．若的原函数为，则.二．求下列不定积分：1．解：=]=.所以，原式=.2．.解：=.3．.解：===.4．.解：====5．.解：===.6．.解：===.一元微积分学题库(22)几种特殊类型函数的积分求下列有理函数的不定积分：1．.解：==.2．.解：,比较系数得：====.二.求下列三角有理式的不定积分：1．.解：令则==.2．.解：====.3．.解：======所以，2==即：=三.求下列无理函数的不定积分：1．.解：=令，则；.于是=故===.2．.解：令则：==四.计算积分.解法一：=====.解法二：=====注：解法二中积分亦可用万能代换法（令：求取.五．计算积分.解：=+====或：==所以：=一元微积分学题库（23）定积分判断题：若在上可积，则在上必连续.（F）若在连续，则必定存在.（F）若包含于，则必有≥（F）二．填空：（用≥号或≤号）1.≥.2．≤.3．≤.4．≤.三．估计下列定积分的值：1．解：≤≤≤≤.2．解：设显然在单调减，≤≤，因此≤≤.四．利用定积分的几何意义及其性质，求定积分的值（要说明理由）.解：上述定积分表示曲线，两直线，与轴所围曲边梯形的面积,而曲边梯形的以原点为圆心，半径为2的圆在第一象限的部分，其面积故定积分的值等于五．已知求].解：≤≤由于同理六．已知在[上连续，且.求解：设由条件知存在所以原式一元微积分学题库（24）广义积分填空题：1．02．3．4．已知>，则5．6．7．计算题：求解：原式设求解：求解：时≥0，0≤≤≤≤由于故注：利用介值定理或定积分中值定理也可求得结果.设在上连续，且单调增加，证明≥证：令由于单调增，当<<时，>>0，在单调增，故>即≥一元微积分学题库（25）定积分的换元法一．下列定积分所使用的变量代换是否正确？1．（no）2．（no）3．（yes）二．下列等式是否正确？1．（yes）2．（yes）3．（yes）三．计算下列定积分：1．.解：原式=()令2．.解：令则且当时当时于是3．.4．解：设且当时当时于是四．证明：设是以为周期的连续函数，则的值与无关五．设)连续.求一元微积分学题库（26）定积分的分部积分法一．填空题：1．设则2．已知则二．计算下列定积分：1．解：设则由分部积分公式，得2．解：设则由分部积分公式，得3．解：设则由分部积分公式，得4．解：原式=5.三．设在上连续，且对一切有求解：由题设：则又目录TOC\o"1-2"\p""\h\z\u第一章总论 11.1项目概况 11.2研究依据及范围 21.3结论 31.4建议 4第二章项目建设的背景和必要性 52.1项目建设的背景 62.2项目建设的必要性 7第三章项目服务需求分析 9第四章项目选址与建设条件 114.1选址原则 114.2项目选址 114.3建设条件 12第五章建设方案与设计 125.1建设规模与内容 125.2总体规划设计 135.3结构方案 185.4主要配套设备 195.5给水工程 205.6排水工程 PAGEREF_To