公共基础数学第一章

1.4勒级数展开，函数的系数与级数 数项级数的定义。如果级数

u1u2u3L snu1u2Lun为级数的前n项和（部分和）lim

s，则称级 n n

un

s

lim

unnrnssn称为级数的余项。lim slimrn 设常数k0，则级数un kunk

vns(2)收敛级数的基本性质 （级数收敛的必要条件）若级数un收敛，则lim 0逆否命题：若lim

0

0n1,2,3L，则称un 正项级数收敛的充要条件：正项级数un收敛n列{s}有界 n正项级数的审敛 比较审敛法。对于正项级数un和vn，如果从某一项开始有u v，则： vn收敛unvn (2)正项级数的审敛 审敛法的极限形式。对于正项级数un和vn a n1 n

，则这两个级数同时比值审敛法 审敛法）。设un为正项级数，limun1

n1n1u，其中n

审敛法：如果交错级数1n1

{u单调递减，即un>un+1(n=1,2,

lim

n0n1n1

收敛，且其和s<例（2014）级数

1n

np1 A.当1<p≤2时条件收 B.当p>2时条件收C.当p<1时条件收 D.当p>1时条件收

plim

任意项 若级数

收敛，则称级数un绝对收敛；若un

发散，则称级数

收敛un

1qq

np-级数n

调和级数）

n1n级数（条件收敛）1n例（2011）若级数un收敛，则下列级数不收敛的是 A.kun

C.

2n12

n1

un收敛limun0lim n n1例（2011）若级数un收敛，则下列级数不收敛的是 A.kun

C.

12n

un 1发

n1

nn

n1 A.

B.

nn 1 1

D. n2

1

p级数p1sin3nsin3n

2

n1 n1

n2式

x

un

特别的，定义在区间,aaxax2Laxn 叫作幂级数，记作a aaxxaxx2Laxxn

对于幂级数an

不缺项情形。对于幂级数anx，若

①当0<ρ<+∞时，幂级数的收敛半径为②当ρ=0时，幂级数的收敛半径为③当ρ=+∞时，幂级数的收敛半径为 2xnn

的收敛域是 A.(-1, B.[-1, C.[-1, D.(-1,t答案：C，令2x+1=t

R

n1

nn n

nn

tn的收敛域是t1,1x1,0n缺项情形。根 审敛法求收敛半径，如an令 a

nan

x2①当0<ρ<+∞时，ρx2<1

x 时，收敛半径为R11②当ρ=011③当ρ=+∞时，幂级数收敛半径的为

xn在x

2的和函数是 22

n0 2

11

11

Sx xk

xk

2

1x x2 例（2011）设幂级数axn的收敛半径为2，则幂级数 nn的收敛区间是

A.(-2, B.(-2, C.(0, D.(-4,

nanx

R

n2n1

n

an2nant

的收敛区间是tx2n对于幂级数axn

sx，设其收敛半径为R（R>0）（和函数的连续性）s(x)（逐项求积）s(x)在(-R,R

xR,R x n

0stdt0antdt0antdt

（逐项求导）s(x)在(-R,R)内可积，则对一切x

n a

s

anx

nan

n(1)级数：若函数f(x)在x0的某领域内具有任意阶导数，nlim

fxfxfxx 1fxxx2 1f

xxnfxf0f0x1f0x2L1fn0xnL ex1x

2x2L xn 1xnx

n0n！ln1xxx2x3L xnL

x2n1x

nn0n

sinxx1x3

1x5L

x2n+1

x2n1x

1 x2 x4L

x2n 2n 2n

x2n

x11

1xx2x3L xnL

xn1x例（2009）函数13x展开成x-1 B. B. 2

n

n0

nC.

x

D.

1

1

x1 x

1 n0 2

1.4.3级的乘积在[-π,π][0,2π]上的积分为零，即对于n=1,2,3…时，cosnxdx0,sinnxdx0。而对于k，n=1,2,3，…kn sinkxcosnxdx

sinkxsinnxdx

coskxcosnxdx12dx2,

cos2nxdxdx,

sin2nxdxn1,2,3L 1.4.3级fx是以2π为周期的函数，且在[-π,π] fxcosnxdxn0,1,2L fxsinnxdxn1,2,3L 称为函数fx 1.4.3级（1）fx为一般函数，以an和bna fxcosnxdxn0,1,2L 1bn11

fxsinnxdxn1,2,3L2 a02

cosnxbnsinnxf的级数1.4.3级 雷收敛准则）设函数fx是以2π为周期的函数，如果它满足：i)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；ii)在一个周期内至多有有限个极值点，则f(x)的级数在(-∞，+∞)内收敛。且i)当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x)；ii)当x是f(x)的间断点时，1

2 1.4.3级（2）fx若f(x)是以2π为周期的奇函数，则 数0,1,2L，b fxsinnxdxn1,2,3L 若f(x)是以2π为周期的偶函数，则其级数是余弦级数，其a fxcosnxdxn0,1,2L

0n1,2,3L 1.4.3级设f(x)是以2l为周期的函数，则

2

ncos bnsinl n1 a

dxn0,1,2L l b

dxn1,2,3L l 1.4.3级若f(x)是奇函数，则

0n0,1,2L，b fx

dxn1,2,3L l 若f(x)是偶函数，则其级数是余弦级数，其系数a lfxcosnxdxn0,1,2L

0n1,2,3L l 1.4.3级

x,0x 例（2005）设fx,2x，Sx

其中

fxsinnxdx，则S