数字信号处理原理实现及应用第4版高西全课后参考答案

·PAGE226·第1章时域离散信号和系统1.31.1用单位脉冲序列及其加权和表示图P1.1所示的序列。解：1.2给定信号(1)画出x(n)的波形，标上各序列值；(2)试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；(3)令，画出的波形；(4)令，画出的波形。解：(1)画出x(n)的波形，如图S1.2.1所示。图P1.1图S1.2.1(2)。(3)画出的波形，如图S1.2.2所示。(4)画出的波形，如图S1.2.3所示。1.3判断下列信号中哪一个是周期信号，如果是周期信号，求出它的周期。图S1.2.2图S1.2.3(a) (b) (c)(d) (e) (f)解：(a)是非周期信号。(b)是周期信号，，取M=97，周期为20。(c)是周期信号，，取M=4，周期为5。(d)是周期信号，，周期为14。(e)是周期信号，周期为14。(f)是非周期信号。总结以上，如果数字频率不是的函数，则一定是非周期序列。1.4对图P1.1给出的x(n)，要求：(1)画出x(n)的波形；(2)计算，并画出的波形；(3)计算，并画出的波形；(4)令，将和x(n)进行比较，你能得出什么结论？解：(1)画出x(n)的波形如图S1.4.1所示。(2)将图P1.1所示波形和图S1.4.1所示波形相加再除以2，得到的波形，如图S1.4.2所示。图S1.4.1图S1.4.2(3)将图P1.1所示波形和图S1.4.1所示波形相减，再除以2，得到的波形，如图S1.4.3所示。图S1.4.3到是x(n)的偶对称序列，x(n)的奇对称序列。这是一个具体例子，但可以推广到一般情况，结论是对于一般实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列，即，式中，。1.5以下序列是系统的单位脉冲响应h(n)，试说明系统是否是因果的和稳定的。(1) (2) (3) (4)(5) (6) (7)解：(1)，系统是因果、不稳定。 (2)，系统是因果、稳定的。(3)，系统是因果的，但不稳定。 (4)，系统是非因果、稳定的。(5)，系统是因果、稳定的。 (6)，系统是非因果的，不稳定。1.6假设系统的输入和输出之间的关系分别如下式所示，试分别分析系统是否是线性时不变系统。(1) (2)(3) (4)解：(1)将上式中的n用代替，得到。令，因此，系统是时不变系统。令系统的输入信号为两个信号的线性组合，则输出为，因为，因此该系统不服从线性叠加原理，是非线性系统。(2)分析方法同上，该系统是时不变非线性系统。(3)由上式有因此，该系统是时不变系统。令系统的输入信号为两个信号的线性组合，则输出为因为，因此该系统服从线性叠加原理，是线性系统。(4)由上式得到这样，该系统不是时不变系统。按照差分方程，可把系统看成是一个放大器，放大器的放大量是n，因为该放大量随n改变，从物理概念上讲，该系统也是一个时变系统。令系统的输入信号为两个信号的线性组合，则输出为，因为，因此该系统服从线性叠加原理，是线性系统。1.7按照图P1.7完成下面各题。图P1.7(1)根据串并联系统的原理直接写出总的系统单位脉冲响应h(n)；(2)设，，，试求总的系统单位脉冲响应h(n)，并推出y(n)和输入x(n)之间的关系。解：(1)。(2)在下面的推导中，用一些常用的公式，会使推导简便，它们是，；，在(1)式中，或者1.8由三个因果线性时不变系统串联而成的系统如图P1.8(a)所示，已知分系统整个系统的单位脉冲响应如图P1.8(b)所示。(1)求分系统单位脉冲响应；(2)如果输入，求该系统的输出y(n)。图P1.8解：(1)按照图P1.8(a)写出系统的单位脉冲响应如下：式中，。已知h(n)，求。上式是一个递推公式，用递推法求解。求解时注意系统是一个因果系统。； ；；；； ；； 。最后得到当n=0,1,2,3,4,5,6,7,…时，(2)将已求出的代入上式，得到当n=0,1,2,3,4,5,6,7,…时,。1.9计算并画出图P1.9所示信号的卷积。图P1.9(a)，原点在6处，波形如图S1.9.1(a)所示。(b)，原点在18处，波形如图S1.9.1(b)所示。(c)，原点在第一个2处，波形如图S1.9.1(c)所示。(d)，原点在第一个1处，波形如图S1.9.1(d)所示。图S1.9.11.10证明线性卷积服从交换率、结合率和分配率，即证明如下等式成立：(1) (2)(3)解：证明如下：(1)因为令(2)利用上面已证明的结果，得到交换求和号的次序，得到(3)1.11已知系统的输入x(n)和单位脉冲响应h(n)，试求系统的输出y(n)。(1) (2)(3) (4)(5) (6) 解：(1)，原点在第一个1处。(3)。(4)该题解的方法和主教材中的例题1.3.3相同，；，，n＜0，y(n)=0，非零值范围为，因此，非零区间为，因此结果为(5)。为了计算方便，将上式写成采用列表法，计算过程如表S1.11.1所示。表S1.11.1m432101234563x(m)0123456h(m)11111h(m)111113y(0)=3h(1m)111113y(1)=6h(2m)111113y(2)=10h(3m)111113y(3)=15h(4m)111113y(4)=21………………h(1m)111113y(1)=1h(2m)111113y(2)=0，原点在3处。(6)，由得到。由得到。；，；，；，；最后得到1.12如果线性时不变系统的输入和输出分别为(1) (2) 试求出相应的系统单位脉冲响应。解：这是一个简单的解线性卷积的题目，可用递推法求解。(1)； ；； 得到(2)1.13已知因果系统的差分方程为求系统的单位脉冲响应h(n)。解：用递推法求解，令，y(1)=0，y(n)=h(n)，；；；归纳起来，结果为。1.14设系统的差分方程为，y(1)=0。分析系统是否是线性、时不变系统。解：分析的方法是让系统输入分别为，，时，求它的输出，再检查是否满足线性叠加原理和非时变性。(1)，系统的输出用表示：该情况在主教材例题1.5.2中已求出，系统的输出为。(2)，系统的输出用表示： 最后得到 。(3)，系统的输出用表示： 最后得到 。由(1)和(2)得到 因此，可断言这是一个时不变系统。情况(3)的输入信号是情况(1)和情况(2)的输入信号的相加信号，因此。观察，得到，因此该系统是线性系统。最后得到结论：用差分方程描述的系统，当初始条件为零时，是一个线性时不变系统。1.15习题1.6和习题1.14都是由差分方程分析系统的线性时不变性质，为什么习题1.6没给初始条件，而习题1.14给了初始条件？解：系统用差分方程描述时，分析其线性时不变性质，需要给定输入信号求输出，因此需要已知差分方程的初始条件，是几阶差分方程就需要几个初始条件，习题1.6的差分方程是零阶的，因此不需要初始条件，而习题1.14是一阶的，因此需要一个初始条件。1.16设系统的单位脉冲响应为，系统的输入x(n)是一些观察数据，设，试用递推法求系统的输出y(n)。递推时设系统的初始状态为零。解： 最后得到。1.17如果线性时不变系统的单位脉冲响应为求系统的单位阶跃响应。解：单位阶跃响应是系统输入单位阶跃序列时系统的零状态响应，因此该题即是求系统对单位阶跃序列的响应。系统的单位阶跃响应用y(n)表示，即非零值区间为，，最后得到。1.18已知系统的单位脉冲响应h(n)和输入信号x(n)分别为求系统的响应。解：利用习题1.17的结果，得到1.19已知系统用下面的差分方程描述：(1)求系统的单位脉冲响应；(2)求系统的单位阶跃响应。解：(1)令n=0，n=1，n=2，n=3，n=4，或者(2)该题可以直接由差分方程求单位阶跃序列的响应，因为上题已求出系统的单位脉冲响应，因此可以直接用线性卷积求解。令，系统的单位阶跃响应用表示，则利用习题1.17的结果得到从而有1.20*已知两个系统的差分方程分别为(1)(2)分别求两个系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应（只求前30个序列值即可）。解：(1)系统差分方程的系数向量为B1=1;A1=[1,0.6,0.08]。(2)系统差分方程的系数向量为B2=[2,0,1];A2=[1,0.7,0.1]。调用MATLAB函数filter计算两个系统的系统单位脉冲响应和单位阶跃响应的程序ex120.m如下：％程序ex120.mB1=1;A1=[1,0.6,0.08]; ％设差分方程(1)系数向量B2=[2,0,1];A2=[1,0.7,0.1]; ％设差分方程(2)系数向量％============================================================％系统1xn=[1,zeros(1,30)]; ％x(n)=单位脉冲序列，长度N=31hn1=filter(B1,A1,xn); ％调用filter解差分方程，求系统输出信号h(n)n=0:length(hn1)1;subplot(3,2,1);stem(n,hn1,'.')title('(a)系统1的系统单位脉冲响应');xlabel('n');ylabel('h(n)')xn=ones(1,30); ％x(n)=单位阶跃序列，长度N=31sn1=filter(B1,A1,xn); ％调用filter解差分方程，求系统输出信号h(n)n=0:length(sn1)1;subplot(3,2,2);stem(n,sn1,'.')title('(b)系统1的单位阶跃响应');xlabel('n');ylabel('s(n)')％===============================================================％系统2xn=[1,zeros(1,30)]; ％x(n)=单位脉冲序列，长度N=31hn2=filter(B2,A2,xn); ％调用filter解差分方程，求系统输出信号h(n)n=0:length(hn2)1;subplot(3,2,5);stem(n,hn2,'.')title('(a)系统2的系统单位脉冲响应');xlabel('n');ylabel('h(n)')xn=ones(1,30); ％x(n)=单位阶跃序列，长度N=31sn2=filter(B2,A2,xn); ％调用filter解差分方程，求系统输出信号s2(n)n=0:length(sn2)1;subplot(3,2,6);stem(n,sn2,'.')title('(b)系统2的单位阶跃响应');xlabel('n');ylabel('s_2(n)')程序运行结果如图S1.20.1所示。图S1.20.11.21*已知系统的差分方程和输入信号分别为，用递推法计算系统的零状态响应。解：调用MATLAB函数filter计算该系统的系统响应的程序ex121.m如下：％调用filter解差分方程，求系统响应序列B=[1,0,2];A=[1,0.5]; ％设差分方程系数向量xn=[1,2,3,4,2,1,zeros(1,24)]; ％x(n)长度N=30yn=filter(B,A,xn); ％调用filter解差分方程，求系统输出信号y(n)图S1.21.1n=0:length(yn)1;图S1.21.1subplot(3,2,1);stem(n,yn,'.')title('(a)系统1的系统单位脉冲响应');xlabel('n');ylabel('y(n)')程序运行结果如图S1.21.1所示。1.22*如系统的差分方程为式中，。(1)编写求解系统单位脉冲响应的程序，并画出；(2)编写求解系统零状态单位阶跃响应的程序，并画出；(3)利用(1)中的的一段形成一个新的系统，该系统的单位脉冲响应为编写求解这个新系统的单位阶跃响应的程序；(4)比较(2)和(3)中求得的单位阶跃响应的特点。解：调用MATLAB函数filter计算该系统的系统响应的程序ex122.m如下：％《数字信号处理—原理、实现及应用》第1章上机题1.22程序ex122.m％电子工业出版社出版高西全丁玉美阔永红编著2006年8月％调用filter解差分方程，求系统单位脉冲响应和单位阶跃响应B=0.866;A=[1,0.8,0.64]; ％差分方程系数向量％================================================================％(1)求解系统单位脉冲响应，并画出h(n)xn=[1,zeros(1,48)]; ％x(n)=单位脉冲序列，长度N=31hn=filter(B1,A1,xn); ％调用filter解差分方程，求系统输出信号h(n)n=0:length(hn)1;subplot(3,2,1);stem(n,hn,'.')title('(a)系统的单位脉冲响应');xlabel('n');ylabel('h(n)')％==================================================================％(2)求解系统单位阶跃响应，并画出h(n)xn=ones(1,100); ％x(n)=单位阶跃序列，长度N=100sn=filter(B,A,xn); ％调用filter解差分方程，求系统单位阶跃响应s(n)n=0:length(sn)1;subplot(3,2,2);stem(n,sn,'.');axis([0,30,0,2])title('(b)系统的单位阶跃响应');xlabel('n');ylabel('s(n)')％==================================================================％(3)求解截取15点的FIR系统单位阶跃响应，并画出s(n)form=1,15,hnfir(m)=hn(m);endsn=filter(B,A,xn); ％调用filter解差分方程，求系统单位阶跃响应s(n)n=0:length(sn)1;subplot(3,2,6);stem(n,sn,'.');axis([0,30,0,2])title('(c)FIR系统的单位阶跃响应');xlabel('n');ylabel('s(n)')程序运行结果如图S1.22.1所示。图S1.22.1图P1.22.1(b)和(c)的波形基本相同，由此可见，有些IIR数字滤波器可以用FIR数字滤波器逼近，FIR数字滤波器的单位脉冲响应可以通过截取IIR数字滤波器的单位脉冲响应的一段得到，截取长度足够长时，逼近误差很小。1.23*在图P1.23中，有四个分系统，分别用下面的单位脉冲响应或者差分方程描述： 编写程序计算整个系统的单位脉冲响应。图P1.23解：由图P1.23可知，可以采用以下步骤计算整个系统的单位脉冲响应。设，，该式调用conv函数计算。，该式调用filter函数计算。调用MATLAB函数conv和filter计算该系统响应的程序ex123.m如下：％《数字信号处理—原理、实现及应用》第1章上机题1.23程序ex123.m％电子工业出版社出版高西全丁玉美阔永红编著2006年8月％调用conv和filter求总系统单位脉冲响应序列h1n=[1,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32];％对h1(n)赋值h2n=ones(1,6);h3n=[1/4,1/2,1/4,zeros(1,97)];％计算v(n)=h1(n)*h2(n)+h3(n)h12n=conv(h1n,h2n);h12n=[h12n,zeros(1,89)];vn=h12n++h3n;％调用filer计算h(n)等于T4对v(n)响应B4=[1,1];A4=[1,0.9,0.81];hn=filter(B4,A4,vn);％以下为绘图部分n=0:length(hn)1;subplot(2,1,1);stem(n,hn,'.')xlabel('n');ylabel('h(n)')程序运行结果如图S1.23.1所示。图S1.23.11.24(a)写出3项滑动平均滤波器的差分方程和单位脉冲响应。(b)*设3项滑动平均滤波器的输入信号为，画出该滤波器的输入和输出的前15个序列值。解：(a)3项滑动平均滤波器的差分方程和单位脉冲响应分别为(b)x(n)=滤波程序ex124.m如下：%《数字信号处理—原理、实现及应用》习题1.24程序ex124.mB=[1,1,1]/3;A=1; %设置系统函数系数向量B和An=0:30;xn=sin(n*pi/6); %产生x(n)的20个样值yn=filter(B,A,xn); %对x(n)平滑滤波subplot(3,2,1);stem(n,xn,'.');xlabel('n');ylabel('x(n)');subplot(3,2,3);stem(n,yn,'.');xlabel('n');ylabel('y(n)');程序运行结果如图S1.24.1所示。1.25*假设5项滑动平均滤波器的输入信号用图P1.25表示，画出该滤波器输出的前16个序列值的波形，并说明该滤波器对输入信号起什么作用。图S1.24.1图P1.25解：5项滑动平均滤波器的差分方程为调用MATLAB函数filter计算该系统响应的程序ex125.m如下：%《数字信号处理—原理、实现及应用》第1章上机题1.25程序ex125.m%电子工业出版社出版高西全丁玉美阔永红编著2016年7月%调用conv实现5项滑动平均滤波xn=0.5*ones(1,15);xn(4)=1;xn(8)=1;xn(11)=1;hn=ones(1,5);yn=conv(hn,xn);n=0:length(yn)-1;subplot(2,1,1);stem(n,yn,'.')xlabel('n');ylabel('y(n)')程序运行结果如图S1.25.1所示。图S1.25.1第2章时域离散信号和系统的频域分析2.1引言数字信号处理中有三个重要的数学变换工具，即傅里叶变换、Z变换和离散傅里叶变换，利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换，这大大方便了对信号和系统的分析和处理。三种变换互有联系，但又不同。表征一个信号和系统的频域特性用傅里叶变换；变换是傅里叶变换的一种扩展，在Z域对系统进行分析与设计更加既灵活方便。单位圆上的Z变换就是傅里叶变换，因此用Z变换分析频域特性也很方便。离散傅里叶变换是离散化的傅里叶变换，因此用计算机分析和处理信号时，全用离散傅里叶变换进行。离散傅里叶变换具有快速算法FFT，使离散傅里叶变换在应用中更加重要。但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z变换，其优点是将信号的时域和频域都进行了离散化，便于计算机处理。但实际使用中，一定要注意它的特点，例如对模拟信号进行频域分析，只能是近似的，如果使用不当，会引起较大的误差。因此掌握好这三种变换是学习好数字信号处理的关键。本章只学习前两种变换，离散傅里叶变换及其FFT在下一章中讲述。2.2本章学习要点(1)求序列的傅里叶变换—序列频率特性。(2)求周期序列的傅里叶级数和傅里叶变换—周期序列频率特性。(3)，和的傅里叶变换，为有理数。(4)傅里叶变换的性质和定理：傅里叶变换的周期性、移位与频移性质、时域卷积定理、巴塞伐尔定理、频域卷积定理、频域微分性质、实序列和一般序列的傅里叶变换的共轭对称性。(5)求序列的Z变换及其收敛域。(6)序列Z变换收敛域与序列特性之间的关系。(7)求逆Z变换：部分分式法和围线积分法。(8)Z变换的定理和性质：移位、反转、Z域微分、共轭序列的Z变换、时域卷积定理、初值定理、终值定理、巴塞伐尔定理。(9)如何求系统的传输函数和系统函数。(10)如何用极点分布判断系统的因果性和稳定性。(11)何谓零状态响应、零输入响应、稳态响应以及暂态响应；如何求稳态响应及系统稳定时间；如何用单位阶跃函数测试系统的稳定性。(12)如何用零极点分布定性画出系统的幅频特性。2.72.1试求以下序列的傅里叶变换。(1) (2)(3) (4)解：(1)(2)(3)(4)(1) (2) (3)(4) (5) (6)n为偶数nn为偶数n为奇数解：(1)。(2)。(3)。(4)，令取偶数取偶数或者。(5)因为对该式两边对求导，得到因此，。(6)。(7)。令2.3假设信号它的傅里叶变换用表示，不具体计算，计算下面各式的值：(1) (2)∠ (3)(4) (5)解：(1)(2)∠=0(3)，令n=0，(4)(5)2.4证明：若是的傅里叶变换为整数为整数则整数解：整数令，是整数2.5设图P2.5所示的序列的FT用表示，不直接求出，完成下列运算(1) (2) (3)(4)确定并画出傅里叶变换为的时间序列(5) (6)解：(1) (2)(3)(4)因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分，即按照上式画出的波形，如图S2.5.1所示。图P2.5图S2.5.1(5)(6)因为所以，2.6设，证明x(n)的FT为。解：不服从绝对可和的条件，只有引入函数才能表示出它的FT令 (a) (b)将(a)、(b)两式相减，得 (c)再将(c)进行FT，得再对(a)式进行FT，得2.7线性时不变系统的传输函数为，如果单位脉冲响应为实数序列，试证明输入时，系统的稳态响应为解：假设输入信号，系统单位脉冲相应为，系统输出为上式说明当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。=上式中是的偶函数，相位函数是的奇函数，=，2.8设将以为周期进行周期延拓，形成周期序列，画出和的波形，求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换表示式。解：画出和的波形如图S2.8.1所示。以8为周期以8为周期图S2.8.1或者，以8为周期2.9证明：(1)是实、偶函数，则对应的傅里叶变换是实、偶函数。(2)是实、奇函数，则对应的傅里叶变换是纯虚数，且是的奇函数。解：(1)是实、偶函数，下面证明其傅里叶变换是实、偶函数。两边取共轭，得到对上式两边取共轭，得到，说明是实序列，具有共轭对称性质。由于是偶函数，是奇函数，那么，因此，该式说明是实函数，且是的偶函数。归纳起来，证明是实、偶函数时，对应的傅里叶变换是实、偶函数。(2)是实、奇函数，下面证明其傅里叶变换是纯虚数，且是的奇函数。上面已推出，是实序列，具有共轭对称性质，即。由于是奇函数，上式中是奇函数，那么，因此证明了是纯虚数，且是的奇函数。2.10设，试求的共轭对称序列和共轭反对称序列，并分别用图表示。解：，和的波形如图S2.10.1所示图S2.10.12.11设，分别求出其偶对称序列和奇对称序列的傅里叶变换。解：，因为的傅里叶变换对应的实部，的傅里叶变换对应的虚部乘以，因此2.12若序列是因果序列，已知傅里叶变换的实部为，求序列及其傅里叶变换。解：2.13若序列是实因果序列，=1，其傅里叶变换的虚部为，求序列及其傅里叶变换。解：2.14如果h(n)是实序列，证明。解：在第2.9题中已证明实序列的FT具有共轭对称性，即，两边取共轭，即得到。实际上要证明的公式就是共轭对称性的一种表示方法。试求序列y(n)。解：即2.16已知，证明：(1)(2)解：(1)将式进行FT，得到 (a)令=0，得到(2)将(a)式中的用()代替，得到令=0得到该题中，将用()代替的意思是将频谱移动弧度。2.17假设序列分别如图P2.17所示，其中的傅里叶变换用表示，试用表示其他三个序列的傅里叶变换。图P2.17解：(1)的前4个序列值的波形和一样，后4个序列值的波形是移位4形成的波形，因此得到。将上式进行FT，得到。(2)的前4个序列值的波形是翻转以后，再移位3形成的波形，后4个序列值的波形仍是移位4形成的波形，因此。将上式进行FT，得到。(3)的前4个序列值的波形和一样，后4个序列值的波形是翻转以后，再移位7形成的波形，因此。将上式进行FT，得到。2.18求出下面系统的频率响应，并画出它们的幅频特性。(1) (2)(3) (4)(5)解：(1)，，幅频特性如图S2.18(a)所示。(2)，，幅频特性如图S2.18(b)所示。(3)，，幅频特性如图S2.18(c)所示。(4)，，幅频特性如图S2.18(d)所示。(5)，，幅频特性如图S2.18(e)所示。(a)(b)(c)(d)(e)图S2.182.19若系统的差分方程为(1)计算并画出它的幅频特性；(2)计算系统对输入x(n)的响应，；(3)利用(1)的幅频特性解释得到的结论。解：(1)由系统的差分方程求出系统的传输函数为，，，画出其幅频特性，如图S2.19.1所示。(2)图S2.19.1图S2.19.1查表2.2.1得到x(n)的傅里叶变换。因此，(3)观察图S2.19.1中的幅频特性，刚好在处，，系统将分量滤除，而在处，幅度为2，即将分量反相后，再放大两倍。2.20如果滤波器的差分方程为，(1)确定b，使； (2)确定频率，使；(3)该滤波器是低通、带通还是高通？(4)如果差分方程为，重复(2)和(3)。解：(1)，，b=0.1。(2)，，，，。(3)观察平方幅度函数，在=0处最大，随增大，幅度下降，故该滤波器是低通。(4)，，，，。观察平方幅度函数，在=0处最小，随增大，幅度上升，故该滤波器是高通。2.21求以下各序列的Z变换和相应的收敛域，并画出相应的零极点分布图。(1) (2)(3)是常数， (4)(5) (6)(7) (8)，式中(9)解：(1)，，极点为z=0（是二阶极点）；零点为z=1/3,3/2。零极点分布如图S2.21.1所示。(2)，由分母多项式求得极点为z=0（4阶极点），z=1/2。极零点分布如图S2.21.2所示。(3)，极点为z=0，极零点分布如图S2.21.3所示。图S2.21.1图S2.21.2图S2.21.3(4)零点为z=0，极点为z=0.5。极零点分布如图S2.21.4所示。(5)零点为z=0，极点z=0.5，极零点分布如图S2.21.4所示。该题的Z变换和(4)题一样，但由于收敛域不同，对应的原序列也不同。(6)由，得到零点为，k=0,1,2,…,9。由，得到极点为z=0（9阶极点），z=0.5。上面的极零点中z=0.5处的零极点相互对消。零极点分布如图S2.21.5所示。(7)，由，得到零点为由极点为，（其中z=0是3阶极点）。零极点图如图S2.21.6所示，图中处的零极点相互对消。图S2.21.4图S2.21.5图S2.21.6(8)零点为，极点为。假设r=0.9，，，极零点分布如图S2.21.7所示。(9)，式中，令，那么，将该式进行ZT，得到，。因为，所以。极点为（7阶极点），（2阶极点）。零点为（均为2阶零点）。在z=1处的极零点相互对消，收敛域为，极零点分布如图S2.21.8。图S2.21.7图S2.21.82.22假设x(n)的Z变换用X(z)表示，试用X(z)表示序列的Z变换。解：，。2.23已知如式，(1)根据零极点分布，可以选择哪几种收敛域？(2)求出对应各种收敛域的序列表达式。解：有两个极点为，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有三种情况：(1)，(2)，(3)。下面分别求三种收敛域对应的原序列。(1)收敛域，这是一个左序列。式中，。令，，因为c内无极点，；，c内有极点0，但是一个阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有，那么(2)收敛域，这是一个双边序列，令，，c内有极点0.5，，c内有极点0.5,0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一个，即2最后得到。(3)收敛域，这是一个因果右序列，令，，c内有极点0.5,2，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此；或者这样分析，c内有极点0.5,2,0，但0是一个n阶极点，改求c外极点留数，c外无极点，所以。最后得到。2.24已知Z变换为，求所有可能对应的原序列。解：极点有z=1,z=0.5，可以选取三种收敛域，因此可以有三种不同的原序列。(1)收敛域，这是一个因果的右序列。令，，c内有极点0.5,1，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此；或者这样分析，c内有极点0.5,1,0，但0是一个n阶极点，改求c外极点留数，c外无极点，所以。最后得到。(2)收敛域，因为是环状域，原序列是双边序列，，c内有极点0.5，n＜1，c内有极点0.5,0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一个，即1，最后得到。(3)收敛域，这是左序列，，因为c内无极点，，c内有极点0，但是一个多阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有，那么。2.25用部分分式法求以下函数的逆Z变换。(1) (2)解：(1)， ， (2)， 2.26求下面各Z函数对应的因果序列。(1) (2)(3) (4) (5)解：因果序列Z变换的收敛域特点是收敛域一定包含点。(1)极点为1,2。取收敛域，因为是因果序列，因此n＜0时，x(n)=0。最后结果为。(2)式中，，取收敛域，因为是因果序列，因此n＜0时，x(n)=0。最后结果为。(3)，取收敛域，因为所以得到(4)，取收敛域，令，得到最后得到。(5)，收敛域，，，最后得到。2.27求以下函数的逆Z变换。(1) (2)(3) (4)解：(1)，(2)用留数法解题过程同第2章例题2.3.7一样，对比该例题，可得到a=0.75，因此。(3)，由收敛域可知，原序列是一个因果序列。最后得到。(4)，由收敛域可知，这是一个左序列。当时，收敛域内无极点，因此x(n)=0；当n＜0时，z=0，是一个n阶极点，改求c外的极点留数之和，。最后，将x(n)表示为。解：。(1)。(2)利用Z变换的性质求解。，(3)令，因为是左序列，因此收敛域，或者由，得到收敛域。2.29系统分别用下面的差分方程描述，试求系统的稳态输出。(1)(2)n＜1解：(1)，0.5。(2)n＜1前一题的解是零状态解，下面利用递推法求零输入解。，，系统的完全解为。稳态输出为。2.30设系统由下面差分方程描述：(1)求系统的系统函数，并画出极零点分布图；(2)限定系统是因果的，写出的收敛域，并求出其单位脉冲响应；(3)限定系统是稳定的，写出的收敛域，并求出其单位脉冲响应。解：(1)图S2.30.1由，得到极点，极零点分布如图S2.30.1所示。图S2.30.1(2)，收敛域为，，最后得到。2.31利用复卷积定理证明下式（巴塞伐尔定理）成立：式中，，，，解：由复卷积定理可知，若，则 (a)令，式中由式(a)得到令z=1，代入上式，得到。2.32利用复卷积定理证明下式（巴塞伐尔定理）成立：式中，。解：在2.31题中已证明了公式成立。x(n)和y(n)在z平面单位圆上收敛。令，得到；令x(n)=y(n)，得到。2.33已知线性因果网络用下面的差分方程描述：(1)求网络的系统函数及其单位脉冲响应；(2)写出网络传输函数的表达式，并定性画出其幅频特性曲线；(3)设输入，求稳态输出。解：(1)，令，c内有极点0.9，c内有极点0.9,0，最后得到。(2)极点为，零点为极零点图如图S2.33.1(a)所示。按照极零点图定性画出的幅度特性，如图S2.33.1(b)所示。(3)(a)(b)图S2.33.12.34已知网络的输入和单位脉冲响应分别为，，试求网络的全响应输出，以及稳态输出。解：设系统处于零状态，下面分别用卷积法和Z变换法求解。(1)用卷积法求解：最后得到=(2)用ZT法求：，，令，c内有极点为因为系统是因果系统，，最后得到=2.35已知系统输入信号，系统函数为，(1)求系统的全响应输出； (2)求稳定时间及稳态响应。解：(1)系统的全响应输出为。(2)，或者，距单位圆最近的极点是，查表2.4.1得到，因此系统的稳定时间为43个采样单位。2.36设因果稳定系统的输入信号，求系统的稳态输出。解：为了求正弦序列的稳态输出，先求复正弦序列的稳态输出。在例题2.4.4中已推导出，如果输入为x(n)=，，其稳态输出为，因为正弦序列是复指数序列的虚部，因此得到因果系统对于正弦序列的稳态输出为2.37*假设系统函数为试用MATLAB语言判断系统是否稳定。解：调用MATLAB函数roots判断系统的稳定性的程序ex237.m如下：％《数字信号处理—原理、实现及应用》第2章上机题2.37程序ex237.m％电子工业出版社出版高西全丁玉美阔永红编著2016年7月％调用roots函数求极点，并判断系统的稳定性A=[3,3.98,1.17,2.3418,1.5147]; ％H(z)的分母多项式系数p=roots(A) ％求H(z)的极点pm=abs(p) ％求H(z)的极点的模ifmax(pm)＜1disp('系统因果稳定'),else,disp('系统不因果稳定'),end程序运行结果如下：极点：p=[0.74860.69960.7129i0.6996+0.7129i0.6760]极点模：pm=[0.7486,0.9988,0.9988,0.6760]系统因果稳定。2.38*假设系统函数为(1)用极点分布判断系统是否稳定；(2)用输入单位阶跃序列u(n)检查系统是否稳定；(3)如果系统稳定，求出系统对于u(n)的稳态输出和稳定时间。解：(1)求解程序ex238.m如下：%《数字信号处理—原理、实现及应用》第2章上机题2.38程序ex238.m%电子工业出版社出版高西全丁玉美阔永红编著2016年7月%判断系统的稳定性和稳定时间A=[2,-2.98,0.17,2.3418,-1.5147];%H(z)的分母多项式系数B=[0,0,1,5,-50]; %H(z)的分子多项式系数%用极点分布判断系统是否稳定subplot(2,1,1);zplane(B,A); %绘制H(z)的零极点图p=roots(A); %求H(z)的极点pm=abs(p); %求H(z)的极点的模ifmax(pm)<1disp('系统因果稳定'),else,disp('系统不因果稳定'),end%画出系统的单位阶跃响应波形判断系统稳定性un=ones(1,700);sn=filter(B,A,un);n=0:length(sn)-1;subplot(2,1,2);plot(n,sn)xlabel('n');ylabel('s(n)')程序运行结果如下：系统因果稳定。系统的零极点图如图S2.38.1所示。图S2.38.1(2)系统对于单位阶跃序列的响应s(n)如图S2.38.1所示，它趋于稳态值，因此系统稳定。(3)系统的稳态输出约为2500，稳态时间约为500个采样单位时间。2.39四个稳定系统的系统函数分别为(a) (b)(c) (d)试分别求出各系统对于单位阶跃序列的稳态输出。解：在2.4.3节中已推导出稳定系统H(z)对于输入x(n)=Au(n)的稳定输出为AH(1)，下面均应用此结论。(a) (b)(c) (d)2.40*假设滤波器的系统函数为(1)判定系统是否稳定；(2)求出系统对于单位阶跃序列的全响应输出，并画出波形。解：求解程序为ex240.m.％《数字信号处理—原理、实现及应用》第2章上机题2.40程序ex240.m％电子工业出版社出版高西全丁玉美阔永红编著2016年7月％判断系统的稳定性A=[1,0.5,03]; ％H(z)的分母多项式系数B=[0,0,0.8]; ％H(z)的分子多项式系数％用极点分布判断系统是否稳定subplot(2,1,1);zplane(B,A); ％绘制H(z)的零极点图p=roots(A); ％求H(z)的极点pm=abs(p); ％求H(z)的极点的模ifmax(pm)＜1disp('系统因果稳定'),else,disp('系统不因果稳定'),end％计算并画出系统对u(n)的响应un=ones(1,100);sn=filter(B,A,un);n=0:length(sn)1;subplot(2,1,2);stem(n,sn,'.')xlabel('n');ylabel('s(n)');程序运行结果如图S2.40.1所示。因极点在单位圆外，系统不因果稳定。由单位阶跃序列的输出响应看到，输出并不是趋近稳态值，因此也验证了系统的不稳定性。图S2.40.12.41*下面四个二阶网络的系统函数具有一样的极点分布：试用MATLAB语言，研究零点分布对于单位脉冲响应的影响。要求：(1)分别画出各系统的零极点分布图；(2)分别求出各系统的单位脉冲响应，并画出其波形；(3)分析零点分布对于单位脉冲响应的影响。解：求解程序为ex241.m.％《数字信号处理—原理、实现及应用》第2章上机题2.41程序ex241.m％电子工业出版社出版高西全丁玉美阔永红编著2016年7月A=[1,1.6,0.9425]; ％H(z)的分母多项式系数B1=1;B2=[1,0.3];B3=[1,0.8];B4=[1,1.6,0.8];％H(z)的分子多项式系数[h1n,n]=impz(B1,A,100); ％计算单位脉冲响应h1(n)的100个样值[h2n,n]=impz(B2,A,100); ％计算单位脉冲响应h1(n)的100个样值[h3n,n]=impz(B3,A,100); ％计算单位脉冲响应h1(n)的100个样值[h4n,n]=impz(B4,A,100); ％计算单位脉冲响应h1(n)的100个样值％======================================================％以下是绘图部分subplot(2,2,1);zplane(B1,A); ％绘制H1(z)的零极点图subplot(2,2,2);stem(n,h1n,'.'); ％绘制h1(n)的波形图line([0,100],[0,0])xlabel('n');ylabel('h1(n)')subplot(2,2,3);zplane(B2,A); ％绘制H2(z)的零极点图subplot(2,2,4);stem(n,h2n,'.'); ％绘制h2(n)的波形图line([0,100],[0,0])xlabel('n');ylabel('h2(n)')figure(2);subplot(2,2,1);zplane(B3,A); ％绘制H3(z)的零极点图subplot(2,2,2);stem(n,h3n,'.'); ％绘制h3(n)的波形图line([0,100],[0,0])xlabel('n');ylabel('h3(n)')subplot(2,2,3);zplane(B4,A); ％绘制H4(z)的零极点图subplot(2,2,4);stem(n,h4n,'.'); ％绘制h4(n)的波形图line([0,100],[0,0])xlabel('n');ylabel('h4(n)')程序运行结果如图S2.41.1所示。S2.41.1四种系统函数的极点分布一样，只是零点不同。第一种零点在原点，不影响系统的频率特性，也不影响单位取样响应，第二种的零点在实轴上，但离极点较远，第三种的零点靠近极点，第四种的零点非常靠近极点。比较它们的单位取样响应，会发现零点越靠近极点，则单位取样响应的变化越缓慢，因此零点对极点起抵消作用。另外，第四种有两个零点，对消作用更明显。2.42设线性时不变系统的系统函数为为实数(1)在Z平面上用几何法证明该系统是全通网络，即常数；(2)参数如何取值才能使系统因果稳定，并画出极零点分布及收敛域。解：(1)，极点为，零点为。设，极零点分布图如图S2.42.1(a)所示。我们知道等于极点矢量的长度除以零点矢量的长度，按照图S2.42.1(a)得到。因为角公用，且～，故。，故是一个全通网络。或者按照余弦定理证明，，(2)只有选择才能使系统因果稳定。设，极零点分布图及收敛域如图S2.42.1(b)所示。图S2.42.12.43若序列是因果序列，其傅里叶变换的实部为，求序列及其傅里叶变换。解：傅里叶变换的实部对应的偶对称序列，，求上式的Z的反变换，得到序列的共轭对称序列，，因为是因果序列，必定是双边序列，收敛域取，，c内有极点为a，，，c内有极点为a,0因为，2.44若序列是实因果序列，=1，其傅里叶变换的虚部为求序列及其傅里叶变换。解：令对应的共轭反对称序列，因此的反变换就是，因为是因果序列，是双边序列，收敛域取，，c内有极点为a，内有极点为a,0，，因为，所以2.45证明：对应图P5.9零极点分布的系统是全通滤波器。解：按照图P5.9(a)零极点分布写出系统函数为，a为实数图P5.9，即证明了图P5.9(a)对应的系统是一个全通函数。按照图P5.9(b)零极点分布写出系统函数为，即证明了图P5.9(b)对应的系统是一个全通函数。图P5.112.46在图P5.11中，当系统是：(1)低通滤波器，截止频率为；(2)高通滤波器，截止频率为，问系统分别是什么滤波器，并确定它的单位脉冲响应。图P5.11解：(1)是低通滤波器，截止频率为。，系统是高通滤波器。单位脉冲响应为。(2)是高通滤波器，，系统是低通滤波器。单位脉冲响应为。该题可以这样解释，当输入时，输出为。因为是低通滤波器，是x(n)的低频分量，因此输出y(n)是x(n)的高频部分。对于(2)也有类似的解释。2.47某系统用下面的差分方程描述：(1)画出系统的零极点分布图； (2)通过零极点分布定性画出幅度特性曲线；(3)确定它的因果可逆系统的系统函数； (4)通过零极点分布定性画出可逆系统的幅度特性曲线。解：(1)由差分方程得到系统函数为零点为极点为z=0，零极点分布如图S5.17.1(a)所示。(2)幅度特性如图S5.17.1(c)所示。(3)可逆系统为。(4)可逆系统的零点为z=0，极点为可逆系统的零极点分布如图S5.17.1(b)所示，其幅度特性如图S5.17.1(d)所示。图S5.17.12.48证明下面结论的正确性。(1)两个最小相位序列的卷积总是最小相位序列；(2)两个最小相位序列的和总是最小相位序列。解：(1)假设分别是两个不同的最小相位系统的系统函数和单位脉冲响应。，显然，H(z)是最小相位系统，其逆Z变换h(n)一定是最小相位序列。(2)假设，因为最小相位系统的零极点均在单位圆中，因此h(n)一定是最小相位序列。2.49设有限长最小相位序列用表示，令，，证明是最大相位序列。解：，令的零点，那么按照，就是的零点。因为圆外，因此说明是最大相位系统，是最大相位序列。2.50如果是最小相位序列，序列h(n)是因果序列。假设h(n)和具有相等的幅度特性，即，试利用初值定理证明：。解：令，则按照初值定理，因此。因为，所以。2.51图P5.22表示了一种用查表法产生正弦信号的方框图，方法是将正弦信号的一个周期的样本，即，预先进行存储，再按照采样周期，顺序将N个样本取出，送到理想D/A转换器，得到一个周期的连续正弦信号，如果按照周期N重复上面的过程，便得到周期性连续正弦信号。(1)说明通过改变，可以调节连续正弦信号的频率。(2)如果取出样本的间隔不变，能否改变连续正弦信号的频率图P5.22解：(1)按照采样周期T()，顺序将N个样本取出，并不断重复，经过D/A转换器得到原来的周期性连续正弦信号；如果将取出序列值的间隔缩小，经过D/A转换器的时间波形会进行时间压缩，相当于提高了连续正弦信号的频率。反过来，则会降低连续正弦信号的频率。(2)如果取出样本的间隔不变，但不是顺序取样本，假设N等于偶数，顺序的两个样本只取一个样本，会将连续正弦信号的频率提高一倍；如果N是3的倍数，顺序的3个样本取一个样本，则会将连续正弦信号的频率提高3倍，依次类推。但是如果一个周期中包含的样本数太少，会使连续正弦信号波形失真。因此当要求提高的倍数较大时，要注意波形的失真。第3章离散傅里叶变换（DFT）及其快速算法（FFT）3.2说明：下面各题中的DFT和IDFT计算均可以调用MATLAB函数fft和ifft计算。3.1在变换区间0≤n≤N1内，计算以下序列的N点DFT。(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)为偶数为奇数(11)为偶数为奇数解：(1)X(k)====(2)X(k)===1，k=0,1,…,N1(3)X(k)===，k=0,1,…,N1(4)X(k)===，k=0,1,…,N1(5)X(k)====(6)X(k)====，k=0,1,…,N1或X(k)=，k=0,1,…,N1(7)X(k)===+==，(8)(9)解法①直接计算(n)=cos()RN(n)=RN(n)X(k)===，k=0,1,…,N1解法②由DFT共轭对称性可得同样的结果。为了叙述方便，令。因为，前面(6)中已经求出，所以X(k)=DFT[(n)]=X6e(k)==，k=0,1,…,N1(10)解法①X(k)=，k=0,1,…,N1上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。因为(n)=，所以。等式两边进行DFT得到，故X(k)=，k=1,2,…,N1。当k=0时，可直接计算得出X(0)===这样，X(k)可写成如下形式：X(k)解法②k=0时，X(k)==k0时，X(k)=X(k)=所以，时，X(k)=，即X(k)(11)偶数奇数偶数奇数3.2已知下列X(k)，求。(1) (2) (3)(4) (5)其中，m为整数，。解：(1)(2)(3)(4)(n)=IDFT[X(k)]====，n=0,1,…,N1(5)(n)===，n=0,1,…,N13.3证明DFT的频域循环卷积定理。证：DFT的频域循环卷积定理重写如下：设h(n)和x(n)长度分别为N和M，，则其中，L≥max[N,M]。根据DFT的唯一性，只要证明，就证明了DFT的频域循环卷积定理。3.4*已知序列向量。(1)求出x(n)的傅里叶变换，画出幅频特性和相频特性曲线；(2)计算x(n)的N（N≥6）点离散傅里叶变换X(k)，画出幅频特性和相频特性曲线；(3)将和X(k)的幅频特性和相频特性曲线分别画在同一幅图中，验证X(k)是的等间隔采样，采样间隔为2/N；(4)计算X(k)的N点IDFT，验证DFT和IDFT的唯一性。解：该题求解程序为ex304.m，程序运行结果如图S3.4.1所示。第(1)小题用1024点DFT近似x(n)的傅里叶变换；第(2)小题用32点DFT。图(e)和(f)可以验证，X(k)是的N点等间隔采样，采样间隔为2/N。图S3.4.1％《数字信号处理—原理、实现及应用》第3章上机题3.4程序ex304.m％DFT与FT的关系验证clearall;closeall;xn=[123321]; ％输入时域序列向量x(n)N=32;M=1024;Xjw=fft(xn,M); ％计算xn的1024点DFT,近似表示序列的傅里叶变换Xk32=fft(xn,N); ％计算xn的32点DFTxn32=ifft(Xk32,N); ％计算Xk32的32点IDFT％以下为绘图(a)和(b)的部分k=0:M1;wk=2*k/M; ％产生M点DFT对应的采样点频率(关于归一化值)subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xjw)); ％绘制M点DFT的幅频特性图title('(a)FT[x(n)]的幅频特性图');xlabel('/');ylabel('幅度')subplot(3,2,5);plot(wk,angle(Xjw)); ％绘制x(n)的相频特性图line([0,2],[0,0]) ％画横坐标轴线title('(b)FT[x(n)]的相频特性图');xlabel('/');ylabel('相位');％axis([0,2,3.5,3.5])％以下为绘图(c)--(g)的部分(省略)3.5设，用表示下面两个序列的N点DFT。解：同样的推导，可得3.6已知实序列x(n)的8点DFT的前5个值为0.25,0.125j0.3018,0,0.125j0.0518,0。(1)求X(k)的其余3点的值；(2)，求；(3)，求。解：(1)因为x(n)为实序列，所以，X(k)满足共轭对称性：X*(Nk)=X(k)。由此可得，X(k)的其余3点的值为0.125+j0.0518,0,0.125+j0.3018。(2)因为。由DFT的循环卷积性质得到(3)= 3.7试利用DFT和IDFT的定义证明离散巴塞伐尔定理：其中，。证明：=====3.8*给定两个序列向量：x1(n)=[2,1,1,2],x2(n)=[1,1,1,1]。(1)直接在时域计算x1(n)与x2(n)的卷积；(2)用DFT计算x1(n)与x2(n)的卷积，验证DFT的时域卷积定理。解：设x1(n)和x2(n)的长度分别为M1和M2，所谓DFT的时域卷积定理，就是当时，。本题中，M1=M2=4，所以，程序中取N=7。本题的求解程序为ex308.m。％《数字信号处理—原理、实现及应用》第3章上机题3.8程序：ex308.m％DFT时域卷积定理验证clearall;closeall;x1n=[2112];x2n=[1111];％时域直接计算卷积yn：yn=conv(x1n,x2n);％用DFT计算卷积ycn：M1=length(x1n);M2=length(x2n);N=M1+M21;X1k=fft(x1n,N); ％计算x1n的N点DFTX2k=fft(x2n,N); ％计算x2n的N点DFTYck=X1k.*X2k;ycn=ifft(Yck,N);％以下为绘图部分n=0:N1;subplot(2,2,1);stem(n,yn,'.');axis([0,9,3,3])line([0,10],[0,0])title('(a)直接在时域计算卷积');xlabel('n');ylabel('y(n)')subplot(2,2,2);stem(n,yn,'.');axis([0,9,3,3])line([0,10],[0,0])title('(b)用DFT计算卷积');xlabel('n');ylabel('yc(n)')程序运行结果如图S3.8.1所示。由图可见，两种方法计算结果相同，从而验证了DFT时域卷积定理。图S3.8.13.9证明频域循环移位性质。设，证明：。证明：y(n)=DFT[Y(k)]===令,y(n)===3.10已知长度为N，，并定义，m为正整数，确定与的关系。解：Y(k)====,整数时,3.11假设，和是长度为N的实序列，。(1)如果已知，请求出用和表示序列和的N点DFT的表示式。(2)已知，试用表示和的N点DFT。解：(1)根据DFT的共轭对称性可知：(2)同理，得到3.12已知，，对在单位圆上采样N点，得到求。解：我们知道，是以为周期的周函数，所以必然以N为周期，将看成是一个周期序列的DFS系数，则又因为，所以，由于所以，由题意知，，所以，根据有关和的周期延拓序列的DFS系数的关系有=由于，所以因此，3.13设，并定义求证与的关系式，并说明这一过程对产生什么影响。解：由题意可知所以，其中，h(n)计算如下：kc]的求和。这一过程相当于对的周期延拓序列进行低通滤波，滤除频段[2(kc+1)/N，]上的高次谐波频率成分。3.14*已知序列。(1)计算④； (2)计算⑧和。解：本题的求解程序为ex314.m。程序运行结果如图S3.14.1所示。由图(b)和(c)可见，④，由图(b)和(c)可见，⑧=请读者确定图(a)和(c)的关系式。图S3.14.1程序ex314.m如下：％《数字信号处理—原理、实现及应用》第3章上机题3.14程序ex314.m％循环卷积与线性卷积的关系验证clearall;closeall;hn=[1111];xn=[0123];％用DFT计算4点循环卷积yc4n：H4k=fft(hn,4); ％计算h(n)的4点DFTX4k=fft(xn,4); ％计算x(n)的4点DFTYc4k=H4k.*X4k;yc4n=ifft(Yc4k,4);％用DFT计算8点循环卷积yc8n：H8k=fft(hn,8); ％计算h(n)的8点DFTX8k=fft(xn,8); ％计算x(n)的8点DFTYc8k=H8k.*X8k;yc8n=ifft(Yc8k,8);％时域计算线性卷积yn：yn=conv(hn,xn);％以下为绘图部分（省略）3.15、和分别如图P3.15(a)、(b)和(c)所示，已知。求和。[注：用X(k)表示X1(k)和X2(k)]图P3.15解：由图P3.15可知，。所以，由DFT的时域循环移位性质有X(k)，并根据上式求出X1(k)和X2(k)的具体表达式。3.16已知有限长序列，。(1)设，求序列；(2)设，求序列；(3)设，求序列。解：(1)由DFT的时域循环移位性质有；(2)由DFT的共轭对称性质有；(3)由DFT的共轭对称性质有。3.17已知有限长序列，，，分别为的5点DFT。(1)确定序列，使；(2)判断是否存在满足的序列？如果存在，请给出求的方法。解：(1)由DFT的时域循环卷积定理有⑤，即中，。故先求出，然后求s(n)=IDFT[S(k)]5。也可以按如下方法求s(n)：由DFT的时域循环卷积定理有⑤，写成矩阵形式如下：代入和的值，得到关于s(n)的5元一次方程组解方程组得到s(n)=[0.180.220.020.020.02]。3.18(1)设序列，求的傅里叶变换；(2)设序列，求；(3)请解释与之间的关系。解：(1)。(2)。(3)对比(1)、(2)的结果，得到与之间的关系。解释：由DFT与DFS的关系可知，v((n))6的DFS系数为V((k))6，因为题中v((n))6=x((n))6，所以x((n))6的DFS系数也为V((k))6。为了叙述简洁，分别用表示v((n))6、x((n))6的DFS系数，则又因为，所以。3.19设是长度为N的因果序列，且，，试确定与的关系式。解：因为y(n)是x(n)的周期延拓序列的主值区序列，周期为M，所以，由频域采样理论及主教材中式(3.3.3)和式(3.3.4)可知，。3.20*验证频域采样定理。设时域离散信号为其中，a=0.9，L=10。(1)计算并绘制信号的波形；(2)证明：；(3)按照N=30对采样得到；(4)计算并图示周期序列，试根据频域采样定理解释序列与的关系；(5)计算并图示周期序列，比较与，验证(4)中的解释；(6)对N=15，重复(3)～(5)。解：求解本题(1)、(3)、(4)、(5)、(6)的程序为ex320.m。下面证明(2)。N=30和N=15时，对频域采样Ck进行离散傅里叶级数展开得到的序列分别如图S3.20.1(b)和(d)所示。由图显而易见，如果Ck表示对在[0，2]上的N点等间隔采样，则言述之：是x(n)以N为周期的周期延拓序列的主值序列。程序ex320.m如下：％《数字信号处理—原理、实现及应用》第3章上机题3.20程序ex320.m％频域采样理论验证clearall;closeall;a=0.9;L=10;n=L:L;％===N=30===============================N=30;xn=a.^abs(n);subplot(3,2,1);stem(n,xn,'.');axis([15,15,0,1.2]);％(1)显示序列x(n)title('(a)x(n)的波形');xlabel('n');ylabel('x(n)')％(2)对X(jw)采样30点：fork=0:N1,Ck(k+1)=1;form=1:L,Ck(k+1)=Ck(k+1)+2*xn(m+L+1)*cos(2*pi*k*m/N);％(3)计算30点采样Ckendendx30n=ifft(Ck,N);％(4)30点IDFT得到所要求的周期序列的主值序列％以下为绘图部分n=0:N1;subplot(3,2,2);stem(n,x30n,'.');axis([0,30,0,1.2])title('(b)N=30由Ck展开的的周期序列的主值序列');xlabel('n');ylabel('x30(n)')％==N=15===============================N=15;n=L:L;subp