理论力学2-平面汇交力系与平面力偶系1

第二章平面汇交力系和平面力偶系力系分为：平面力系(planarforcesystem)空间力系(spaceforcesystem)

①汇交力系(planarconcurrentforcesystem)平面力系②平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况)(planarparallelforcesystem)③一般力系(平面任意力系)(planargeneralforcesystem)

①汇交力系空间力系②平行力系(空间力偶系是其中的特殊情况)③一般力系(空间任意力系)〔1〕汇交力系：平面汇交力系空间汇交力系平面力偶系空间力偶系作用在物体上的一群力偶称为力偶系〔2〕力偶系：〔3〕平行力系：作用在物体上的一各力作用线互相平行，称为平行力系。平面平行力系〔4〕任意力系：人字形闸门模型及其受力图〔4〕任意力系：重力坝及断面及受力图2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系，是研究复杂力系的根底，本章开始将分别研究两种力系的合成与平衡问题。A三角形abc称为力三角形;上述作图方法称为力的三角形法那么.abc2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法2.1.1平面汇交力系合成的几何法、力多边形法那么2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法2.1.1平面汇交力系合成的几何法、力多边形法那么F3F2F1F4AF1F2F3F4FRabcdeabcdeF1F2F4F3FR各力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形。用力多边形求合力的作图规那么称为力的多边形法那么。力多边形中表示合力矢量的边称为力多边形的封闭边。2.1.1平面汇交力系合成的几何法、力多边形法那么结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各分力的矢量和(几何和)，合力的作用线通过汇交点。

用矢量式表示为：如果一力与某一力系等效，那么此力称为该力系的合力。假设力系的各力作用线相同，那么该力系为共线力系。其力的多边形实际为一直线段，合力的作用线于力系中各力的作用线相同，可将各力作为代数量

在平衡的情形下，力多边形中最后一力的终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。于是，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的力多边形自行封闭，这是平衡的几何条件。2.1.2平面汇交力系平衡的几何条件

平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力等于零。用矢量式表示为：压路机碾子重FP=20kN,R=60cm,欲拉过h=8cm的障碍物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。①选碾子为研究对象②取别离体画受力图解：

∵当碾子刚离地面时FNA=0,拉力F最大,这时拉力F和自重及支反力FNB构成一平衡力系。由平衡的几何条件，力多边形封闭，故

例2-1FPRFhBAFPFFBFAO由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。此题也可用力多边形方法用比例尺去量。F=11.5kN,FNB=23.1kN所以又由几何关系：

例2-12.2平面汇交力系合成与平衡的解析法2.2.1力在坐标轴上的投影FxyXYabO即力在某轴上的投影，等于力的大小乘以力与投影轴正向间夹角的余弦。力在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的分力的关系假设X、Y表示力F在各坐标轴上的投影，那么明显有：通常，我们将一个力分解为相互垂直的两个力，2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法※力的投影是代数量，而分力是矢量；并且在非直角坐标系中不一定成立。

※力的投影无所谓作用点，而分力必须作用在原力的作用点。力在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的分力的关系2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法2.2.3力的正交分解与力的解析表达式FFxFyxyijO2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为：合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。即：2.2.4合力投影定理2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法2.2.4合力投影定理

平面汇交力系的合力在某轴上的投影，等于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法力的解析表达式力在直角坐标轴上的投影投影力的大小和方向为在直角坐标系中此式即为力的解析表达式。2.2.5平面汇交力系合成的解析法合力的大小：方向：

作用点：为该力系的汇交点2.2.6平面汇交力系的平衡方程

平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零。上式称为平面汇交力系的平衡方程。

应用平衡方程时应注意：1.两个方程，一般只能求解两个未知量2.所选投影轴不一定正交，但不能平行3.为求解方便，未知力应尽可能与投影轴垂直或平行4.共线力系，平衡方程只有一个，只能求解一个未知量：FP=20kN，R=0.6m,h=0.08m,求：1、欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？2、F沿什么方向拉动碾子最省力，此时力F多大？

例2-2【解】FPRFhABO取碾子为研究对象，画其受力图(b)。(a)FPFFAFBO(b)利用上述平衡方程求得：1、碾子拉过障碍物，应有，如图(c)建立坐标系，列投影方程

例2-2【解】FPFFAO(c)θ2、求最小力Fmin设此时力F与水平线夹角为，建立图〔d〕所示坐标系。显然，当α=θ时，有

例2-2【解】FPFFAO(d)θxP=2kN求SCD,RA解:

1.取AB杆为研究对象2.画AB的受力图3.列平衡方程由EB=BC=0.4m，解得：4.解方程

例2-3

例2-4【解】

重物A质量m=10kg,悬挂在支架铰接点B处，A、C为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重量，求重物处于平衡时，AB、BC杆的内力。（a）y（b）x取销钉B为研究对象，画其受力图(b)。

例2-4【解】联立上述两方程，解得：=88，=71.8。取销钉B为研究对象，画其受力图(b)。列平衡方程yx（b）求图示平面刚架的支反力。解：以刚架为研究对象，受力如图，建立如图坐标。由几何关系，解得

例2-5用AB杆在轮心铰接的两均质圆轮A、B，分别放在两个相交的光滑斜面上，如下图。不计AB杆的自重，求：〔1〕设两轮重量相等，求平衡时的α角；〔2〕A轮重GA，平衡时，欲使α=00的B轮的重量。AB300600

例2-6BAGAGBFABF/ABNA300NB600xy600300x/y/300300X=0GAcos600-FABcos(α+300)=0(1)X/=0-GBcos300+F/ABsin(α+300)=0(2)先取A轮为研究对象，受力分析：取B轮为研究对象，受力分析：AB300600

例2-6【解】GAcos600-FABcos(α+300)=0(1)-GBcos300+F/ABsin(α+300)=0(2)

FAB=F/AB(3)由以上三式可得：〔1〕当GB=GA时，α=300〔2〕当α=00时，GB=GA/3

例2-6图示吊车架，P，求各杆受力大小。1、研究对象：整体或铰链AA60°2、几何法：60°FAC=P/sin600FAB=P×ctg600

例2-7【解】3、解析法：A60°∑X=0FACcos600－FAB=0∑Y=0FACsin600－P

=0解得：FAC=P/sin600FAB=FACcos600=P×ctg600xy

例2-7ABO（B）ABO（A）结构如下图，主动力F，确定铰链O、B约束力的方向〔不计构件自重〕1、研究OA杆2、研究AB杆

例2-81、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几何法〔解力三角形〕比较简便。解题技巧及说明：3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。

2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，都用解析法。5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。列平衡方程取研究对象画受力图2.3平面力对点之矩的概念及计算力对物体可以产生移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向MO(F)OhrFAB2.3.1力对点之矩〔力矩〕

力F与点O位于同一平面内，点O称为矩心，点O到力的作用线的垂直距离h称为力臂。

力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转动时为正，反之为负。力矩的单位常用N·m或kN·m。力使刚体绕固定点转动效应的度量2.3.2合力矩定理与力矩的解析表达式平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。FFxFyxyOqxyA(1)合力矩定理(2)力矩的解析表达式支架如下图，AB=AC=30cm,CD=15cm,F=100N,求对A、B、C三点之矩。解：由定义由合力矩定理

例2-9如下图，求F对A点的矩。解一：应用合力矩定理解二：由定义

例2-102.4平面力偶力偶与力偶矩2.4平面力偶

由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，称为力偶，记为(F,F')。力偶的两力之间的垂直距离d称为力臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。力偶不能合成为一个力，也不能用一个力来平衡。力和力偶是静力学的两个根本要素。力偶与力偶矩2.4.1力偶与力偶矩FF'dDABC

力偶是由两个力组成的特殊力系，它的作用只改变物体的转动状态。力偶对物体的转动效应用力偶矩来度量。平面力偶对物体的作用效应由以下两个因素决定：(1)力偶矩的大小；(2)力偶在作用面内的转向。

平面力偶可视为代数量，以M或M(F,F')表示，平面力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向：一般以逆时针转向为正，反之那么为负。力偶的单位与力矩相同。性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个根本力学量。FF/

abcdabF2.4.2平面力偶的性质

性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量力偶矩：力与力偶臂的乘积记作M〔F，F/〕简记为M2.4.2平面力偶的性质性质3：平面力偶等效定理作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，那么该两个力偶彼此等效。2.4.2平面力偶的性质推论：(1)任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。(2)只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。2.4.2平面力偶的性质力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用的唯一量度。今后常用如下图的符号表示力偶。M为力偶的矩。OFrOrM=Fr试分析图中圆轮O的受力，比较二图的异同。==2.4.3平面力偶系的合成作用面共面的力偶系称为平面力偶系。推广得：平面力偶系合成的结果还是一个力偶〔称为合力偶〕，合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代数和。2.4.4平面力偶系的平衡条件平面力偶系总可以简化为图示情形。假设FR=0，那么力偶系平衡，而力偶矩等于零。反之，假设合力偶矩等于零，那么或是FR=0或是d=0，无论哪种情况，该力偶系均平衡。因此可得结论：

平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。即：上式称为平面力偶系的平衡方程。

图示矩形板，边长分别为a、2a，各受大小相等、方向相反的力偶作用，试画出整体和两板的受力图。思考题1思考题2刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形，如在其四个顶点作用有四个力，此四力沿四个边恰好组成封闭的力多边形，如下图。此刚体是否平衡？F1F3BACDF2F4思考题3PORM从力偶理论知道，一力不能与力偶平衡。图示轮子上的力P为什么能与M平衡呢？FO长为4m

的简支梁的两端A、B

处作用有二个力偶其力偶矩分别为，。求A、B支座的约束反力。()

例2-11【解】。604m()AB梁上作用有二个力偶组成的平面力偶系，在A、B处的约束反力也必须组成一个同平面的力偶。作AB梁的受力图，如图〔b〕所示。故解得得FA

、FB为正值，说明图中所示FA

、FB的指向与实际相同。【解】由平衡方程()

例2-11铰接四连杆机构OABO1在图(a)所示。：OA=4a，O1B=6a。作用在OA上力偶的力偶M1和O1B上的力偶M2。要使系统平衡，求M1/M2的比值。

例2-12〔1〕选OA为研究对象，受力图如图〔b〕，列平衡方程〔2〕选O1B为研究对象，受力图如图〔d〕，列平衡方程由以上两式可得

M1/M2＝1/3【解】

例2-12图示结构，M=800N.m，求A、C两点的约束反力。

例2-13【解】图示杆系，m，l。求A、B处约束力。1、研究对象二力杆：AD2、研究对象：整体思考：CB杆受力情况如何？m练习：

例2-14【解】1、研究对象二力杆：BC2、研究对象：整体mAD杆

例2-14【解】不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触,它们分别受力偶矩为M1与M2的力偶作用，转向如图。问M1与M2的比值为多大，结构才能平衡?60o60oABCDM1M2

例2-15【解】取杆AB为研究对象画受力图。杆AB只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束，那么A处约束反力的方位可定。ABCM1FAFCMi=0FA=FC=F,AC=aaF-M1=0M1=aF

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