第8章-有限脉冲响应滤波器的设计

有限脉冲响应滤波器的单位脉冲响应长度是有限的，它的差分方程或输入输出方程是其输出没有反馈。有限脉冲响应滤波器的系统函数是其系统函数的分母为1。故设计有限脉冲响应滤波器不适合采用无限脉冲响应滤波器的设计方法。第8章

有限脉冲响应滤波器的设计(8.1)(8.2)从有限脉冲响应滤波器的差分方程(8.1)和系统函数(8.2)来看，有限脉冲响应滤波器具有3个主要优点：（1）系统肯定是稳定的，（2）容易得到因果系统，（3）能获得线性相位的性能。正是由于有限脉冲响应滤波器的这些特殊性，在设计有限脉冲响应滤波器时，一般使用另一种频谱表示法。8.1系统频谱的本质单位脉冲响应代表系统的性能，也代表系统，其系统函数和系统频谱都是系统的一种描述，都代表系统，它们之间的关系是复数z和虚指数ejω的关系。

8.1.1系统频谱的含意不管是信号还是单位脉冲响应，它们的傅里叶变换都是复数，可以用实部和虚部来表示，也可以用幅度和相位来表示，极坐标方式能够直观地体现正弦成分的幅度和初始相位。从显示信号的正弦波成分方面来看，该方程表示合成序列x(n)的正弦波成分是(8.3)(8.4)(8.5)改写正弦成分的总相位，频谱相位和时间的关系就显现出来了：相位除以角频率的商具有时间的概念。如果arg[X(ω)]<0，表示这个频率ω的正弦波将沿着时序轴n向右移位，这种现象叫做延时。除了信号频谱的意义外，作为处理信号的系统频谱H(ω)还有另一层的意义，这层意义就是：系统会按照系统频谱H(ω)的幅度改变信号成分的大小，并且按照系统频谱H(ω)的相位改变信号成分的初始位置。(8.6)从系统函数来看，根据卷积定理(3.132)，它表示信号x(n)经过线性时不变系统h(n)处理后得到信号y(n)，而y(n)的频谱Y(ω)幅度按照H(ω)的幅度改变，y(n)的频谱Y(ω)初始位置按照H(ω)的相位改变。如果|H(ω)|<1，则输入的正弦波成分将被系统减弱；如果arg[H(ω)]<0，则表示输入的正弦波经过系统后相位滞后了。(8.7)(8.8)从单位脉冲响应来看，假设输入信号是幅度为A和初始相位为φ的正弦波，经过线性时不变系统h(n)处理后的信号是其频率与输入x(n)的相同。(8.9)(8.10)8.1.2系统的延时系统处理信号总是需要时间的。这是系统的延时。数学上将信号x(n)经过系统延时后得到的信号y(n)写成这种延时的信号y(n)与原来的信号x(n)的变化规律相同，不存在失真。假设线性时不变系统的|H(ω)|=r为常数，输入信号是典型正弦波，则该系统的输出它与x(n)的幅度比例r不随时序n变化，而y(n)和x(n)的(8.11)(8.12)相位存在时序差别θ/ω。这个差别就是系统对频率是ω的输入正弦波的延时。系统的相位θ与输入正弦波的频率ω有关，同理，系统的延时也与输入正弦波的频率有关。（1）如果系统函数的相位θ与角频率ω成正比，即它是一条过原点的直线，并且系统的|H(ω)|=r，r是常数，则这种系统对于典型正弦波(8.9)的输出将是它对任何输入频率的延时都是相同的，延时量τ=-a。这种相位与频率成正比的系统，对于由许多频率分量组成的输入信号来说不会产生失真。(8.13)(8.14)（2）如果系统函数的相位θ是角频率ω的普通直线方程，不一定是过原点的直线，即系统的|H(ω)|=r，r是常数，则典型正弦波(8.9)经过这种系统后将变为由于延时项τ=-(a+b/ω)与角频率ω有关，普通直线相位系统的输出y(n)对不同频率的输入将产生不同的延时。这种系统对于输入信号可能会产生失真。不过，在实际的通信系统中，在我们感兴趣的频带内的信号成分的延时相同，我们的通信就不会失真。(8.15)(8.16)下面以调幅波为例，说明普通直线相位系统对无线电信号所产生的影响。为了直观，现在把典型的正弦波(8.9)用我们熟悉的实数形式表示，它输入直线相位和常数幅度的系统得到的输出(8.16)也用实数形式表示，考虑给这种系统输入一个简单的抑制载波的双边带调幅波，即(8.17)(8.18)(8.19)根据三角函数和差积的关系，将x(n)变为两个分量，根据线性系统的叠加性质和公式(8.18)，该系统输出对比输入信号(8.19)和输出信号(8.20)，可知直线相位系统对这种窄带信号x(n)产生两种影响：一是滞后频率是ωc的载波cos(ωcn)；二是滞后调制在载波上的频率是ωs的信号cos(ωsn)，但是这种滞后并没有使传输的信号cos(ωsn)发生波形失真。(8.19)(8.20)8.2有限脉冲响应滤波器的频谱有限脉冲响应滤波器能够获得线性相位或直线相位。线性相位系统的好处是它不会改变有用信号的波形。8.2.1有限脉冲响应滤波器的频谱表示法一般线性相位也叫做直线相位，线性相位系统的相频特性是为了方便设计有限脉冲响应滤波器，可用另一种表示频谱的方法：这种表示法的A(ω)是实数，叫做幅度函数。(8.28)(8.29)实数的幅度函数可以方便我们分析和设计有限脉冲响应滤波器。我们需要的线性相位的选频滤波器有低通、带通、高通等滤波器，它们的频谱幅度在有用信号的频段内为常数或者为1，在没用信号的频段内为0。在设计这种分段常数幅度的选频滤波器时，只要能保证在有用频段的系统相位是线性的，一般来说，它们选出的有用信号就不会失真。如何让有限脉冲响应滤波器成为线性相位的呢？8.2.2实现线性相位的方法线性相位的有限脉冲响应滤波器有两种：一种是相位直线过零点的，另一种是相位直线不过零点的。（1）相位直线过零点的滤波器如果我们让有限脉冲响应系统的单位脉冲响应h(n)满足偶对称条件，即那么，该系统的相位函数将是一条过零点的直线，即这种线性相位称为第一类线性相位，它的群延时a等于该系统脉冲响应的对称点。(8.30)(8.31)让我们从离散时间的傅里叶变换来看这个问题，由于因果系统的频谱为根据有限长脉冲响应的偶对称条件(8.30)，公式(8.32)也可以写为(8.32)(8.33)合并上面两个频谱公式，或者将它写成(8.34)(8.35)这个偶对称脉冲响应的频谱说明：只要h(n)是实数的，那么，它的幅度函数也是实数的，并代表系统的幅度响应；这种系统的相位函数是一条过零点的直线，是线性相位的。（2）相位直线不过零点的滤波器如果我们让有限长脉冲响应系统的单位脉冲响应h(n)满足奇对称条件(8.36)(8.37)那么，该系统的相位函数将是一条不过零点的直线，即这种线性相位称为第二类线性相位，它的群延时a等于该系统脉冲响应的对称点。有限脉冲响应滤波器的对称关系对设计线性相位滤波器是很有用的，我们可以根据线性相位的要求来确定h(n)的对称关系，降低设计时推算脉冲响应h(n)的工作量。(8.38)(8.39)8.2.3线性相位滤波器的幅度特性线性相位滤波器的幅度函数具有某种对称性，这些特性有助于我们设计有限脉冲响应滤波器。对于因果系统的有限脉冲响应滤波器来说，它的对称位置比较特殊：由于有限长滤波器h(n)的有效时序在n=0~N-1，所以它的对称点不在n=0。如果函数A(ω)的对称中心位置是在ω=a的话，那么它的偶对称数学表达式将是同理，A(ω)关于ω=a的奇对称数学表达式将是(8.45)(8.46)根据相位函数的直线是否过零点，线性相位分为第一类线性相位和第二类线性相位，两者的幅度函数A(ω)各有特点，如表8.1所示。相位特点系统长度NA(ω)的对称性A(ω)的固定零点适用范围第一类线性相位h(n)=h(N-1-n)奇数对于ω=0和π皆偶对称无各种滤波器偶数对于ω=0偶对称，对于ω=π奇对称A(π)=0低通和带通滤波器第二类线性相位h(n)=-h(N-1-n)奇数对于ω=0和π皆奇对称A(0)=A(π)=0带通滤波器偶数对于ω=0奇对称，对于ω=π偶对称A(0)=0高通和带通滤波器表8.1幅度函数的对称性证明，只要从幅度函数(8.36)和(8.43)出发，利用余弦函数和正弦函数的特点，事情就迎刃而解了。下面举两个例子。（1）奇数长度的第一类线性相位系统从第一类线性相位的幅度函数(8.36)出发，按照对称位置在ω=π的写法，参照公式(8.45)和(8.46)，用2π-ω替换公式(8.36)中的ω，得到(8.47)将它与公式(8.45)对比就知道，第一类线性相位的幅度函数在奇数N时对于ω=π是偶对称的。（2）偶数长度的第二类线性相位系统从第二类线性相位的幅度函数(8.43)出发，按照对称位置在ω=π的写法，参照公式(8.45)和(8.46)，用2π-ω替换公式(8.43)中的ω，就可以得到将它与公式(8.45)对比你就知道，第二类线性相位的幅度函数在偶数N时是关于ω=π的偶对称。有限脉冲响应滤波器的长度N和幅度函数的对称性都很重要，如果能巧妙地运用表8.1所列的特性，就可以提高设计选频滤波器的效率，避免盲目设计。(8.48)8.3在时域设计滤波器从一个无限长序列中截取一段，就像裁剪一块布，当然，不同的“裁法”将会得到不同的频谱。8.3.1截取一段序列这种方法叫窗口设计法，其原理是：首先，求出希望得到的选频滤波器的单位脉冲响应hd(n)；然后，截取其中数值较大的一段作为我们需要的滤波器序列，并设法使它符合因果关系。例题8.3某矿山的探测设备需要一个数字FIR低通滤波器，它的截止频率ωc=0.2π，长度N=21。请用矩形窗设计这个低通滤波器，要求该滤波器的相位是线性的。解根据表8.1，奇数N的低通滤波器频谱只能是第一类线性相位的，它的幅度函数在角频率ω=0的地方呈偶对称。考虑到作为设计模型的理想滤波器相位是否是零，下面介绍两种设计方法。（1）理想滤波器的相位不为零在角频率ω的主值区间[-π,π)，理想低通模型的频率响应根据长度N=21和公式(8.31)，选择群延时a=(N-1)/2=10。其相位函数θd(ω)的直线只需在通带上定义。(8.50)根据离散时间的傅里叶反变换(3.81)和频谱(8.50)，在主值区间计算理想模型的单位脉冲响应，得到它是无限长的非因果序列，对称中心在n=10的地方。根据题目N=21的要求，截取hd(n)数值较大的n=0~20这一段作为我们需要的因果序列，(8.51)图8.7相当于hd(n)乘上矩形窗R21(n)，即相当于用剪刀从hd(n)的n=0和n=20两个地方直接剪下去。图8.7右图是用矩形窗截取hd(n)的效果，h(n)在n=10的左右偶对称，满足第一类线性相位的条件。这个滤波器h(n)的频谱H(ω)可用幅度函数A(ω)和相位函数θ(ω)描述，(8.52)幅度函数A(ω)的数值在通带内近似等于1，有些像理想的幅度函数Ad(ω)；滤波器h(n)的相位函数θ(ω)是过原点的直线。造成实际频谱H(ω)和理想频谱Hd(ω)之间差别的原因是：实际的h(n)只是理想的hd(n)的一段。图8.8（2）理想滤波器的相位为零在角频率的主值区间[-π,π)的理想频谱根据离散时间的傅里叶反变换(3.81)，零相位的理想低通模型(8.53)的单位脉冲响应它的波形如图8.9左图所示，对称中心在n=0。为了得到有限长的因果线性相位滤波器h(n)，(8.53)(8.54)可以直接剪下hd(n)的n=-10~10的最大数值部分，它的长度N=21点。减下的部分还要向右移动a=(N-1)/2=10点，使它成为因果序列。这个结果的数学表达式是它就是按题目要求设计的低通滤波器。图8.9(8.55)8.3.2截断序列的后果实际剪裁或截断序列时，为了保证h(n)满足线性相位条件，是用一个对称的有限长序列w(n)乘以被剪裁的原始序列hd(n)，这个有限长序列w(n)叫做窗序列。不同的窗函数对原始序列性能的影响是不同的。常用的窗序列是矩形窗，它表达式是汉宁窗的表达式是(8.56)(8.57)汉明窗的表达式是布莱克曼窗的表达式是图8.10(8.58)(8.59)用一个短序列代替一个长序列总是有失真的。观察加窗序列h(n)=hd(n)w(n)的频谱H(ω)时，可利用离散时间傅里叶变换的频域卷积定理，该积分显示，窗函数的频谱W(ω)对截取序列的频谱的质量有很大的影响。例题8.4

已知截止频率ωc=0.2π的理想低通滤波器的单位脉冲响应是(8.60)(8.61)如果分别用矩形窗和汉明窗对hd(n)加窗，获取长度N=21的因果线性相位低通滤波器，请分析这两种窗口对我们设计的滤波器将带来什么频谱影响？解

已知窗口法设计的系统频谱H(ω)正比于理想频谱Hd(ω)和窗函数频谱W(ω)的卷积，而且根据公式(8.51)和(8.50)知道，理想低通滤波器的频谱是那么我们就可以分析这两种窗口对设计的滤波器带来的频谱影响。(8.62)（1）矩形窗的影响根据离散时间傅里叶变换，矩形窗序列wrectangle(n)的频谱是根据频域卷积定理，用矩形窗设计的滤波器频谱(8.63)(8.64)它的相位函数是线性的，它的幅度函数A(ω)正比于图8.11矩形窗的幅度函数Arectangle(ω-φ)在通带[-ωc,ωc]上的积分，也就是矩形窗的幅度函数曲线在通带上的面积。幅度函数图显示，Arectangle(ω-φ)的波动通过积分会引起加窗序列h(n)的幅度函数A(ω)也产生波动。A(ω)的过渡带宽度正比于Arectangle(ω-φ)的主瓣宽度，因为主瓣越宽，它移出积分边界±ωc需要的过程就越长。（2）汉明窗的影响为了容易理解，下面采用幅度函数直接进行分析。已知模型序列hd(n)的幅度函数(8.65)参考偶对称序列的幅度函数(8.36)，汉明窗的幅度函数运用频域卷积定理(8.60)，对模型序列hd(n)加汉明窗得到的序列h(n)的幅度函数用计算机帮忙，计算这个幅度函数A(ω)，以及理想模型hd(n)和汉明窗wHamming(n)的频谱幅度，得到(8.66)(8.67)肥胖的汉明窗主瓣导致A(ω)的过渡带比图8.11的过渡带更宽。图8.128.4在频域设计滤波器对于频谱复杂的滤波器，从频域设计滤波器或许更直接、更方便。8.4.1设计单位脉冲响应用频率采样法来设计滤波器的单位脉冲响应时，首先要在主值区间[0,2π)对我们期望的频谱Hd(ω)等间隔采样，采样频谱然后，对H(k)作离散傅里叶逆变换，即(8.77)(8.78)这样就可以得到我们需要的有限脉冲响应滤波器。这个滤波器的频谱H(ω)接近我们希望的频谱Hd(ω)。频率采样定理指出：对频谱等间隔采样，如果采样点数大于或等于这个被采样频谱的时域序列长度，则采样的频谱才能准确地恢复被采样频谱的序列。一般来说，Hd(ω)的时域序列hd(n)是很长的，为了降低成本，实际设计的序列h(n)不能取得太长；也就是说，采样点数N可以是个较小的数，这就是导致H(ω)近似等于Hd(ω)的原因。合理选择N的数值是降低计算成本和满足技术指标的关键。判断滤波器长度N的方法是过渡带的采样点数由设计者根据具体情况来确定。(8.79)例题8.7请你利用频率采样法，设计一个线性相位的数字高通滤波器的单位脉冲响应。这个滤波器在主值区间[0,2π)的理想频率特性是工程上要求滤波器的过渡带Δω=0.06π，过渡带的采样点数Δk=1。解首先根据公式(8.79)和Δk=1，求滤波器的长度(8.80)(8.81)已知理想频谱(8.80)是第一类线性相位的，根据幅度函数的表8.1，如果第一类线性相位的N是偶数，则幅度函数在ω=π处有零点；而高通滤波器不允许在ω=π处有零点，所以，取N=35才是正确的。接下来按照公式(8.77)的方式对理想频谱Hd(ω)进行采样，即然后再按照离散傅里叶逆变换(4.69)或公式(8.78)计算H(k)的时域序列，得到(8.82)这就是高通滤波器的时域表达式。参照DTFT的公式(3.80)进行计算，得h(n)的幅度谱|H(ω)|，(8.83)图8.18幅度谱|H(ω)|在采样点ω=2πk/N处的数值H(k)与期望的频谱Hd(ω)相吻合，但在采样点之间却不相同，表现为波动。如果要求设计的频谱复杂，不是分段常数的，采样频谱H(k)的时间序列h(n)可能就没有简单的表达式。怎么办呢？用计算机计算是个好办法，只要按照离散傅里叶逆变换来计算h(n)的值就可以了，因为真实的数字滤波器需要的只是h(n)的具体数字。频率采样法得到的H(ω)在采样点与期望的频率响应Hd(ω)是吻合的，但是无法保证采样点ω=2πk/N之间的H(ω)和Hd(ω)相同。如何妥善地解决这个问题呢？增加采样数量N是个办法，减缓过渡带的变化也是一个办法。8.4.2设计系统函数用频率采样法来设计滤波器的系统函数，就是用频域采样值H(k)来表示系统函数H(z)。为了达到这个目的，让我们对N点长的脉冲响应(8.78)求z变换，即它就是用频率采样法直接得到的滤波器的系统函数。该法的优点是：如果我们希望调整滤波器的局部频率响应形状，只要修改公式(8.84)中相应的H(k)参数就可以了。(8.84)观察公式(8.84)你会发现，并联子系统的极点WN-k都在单位圆上，可能会造成系统不稳定。为了保证系统的稳定，可将单位圆上的零点半径和极点半径都缩短一些，即还有一个实际问题需要考虑：系数H(k)和WN-k一般是复数，它们会增加数字系统处理信号的计算量，必须想办法将它们转换为实数。运用分式的共轭对称性可以解决这个问题。(8.85)例题8.8海豚使用频率在200~350千赫的超声波进行回音定位。侦察这种声音信号时需要窄带数字带通滤波器。假设该滤波器的长度N=32，通带ω=0.45π~0.5π；请你用频率采样法来设计该滤波器的系统函数，要求它是第二类线性相位，并且半径r=0.999。解首先按照离散频率ωk=2πk/N，k=0~N-1，选择通带在[0,π)的采样点k=7和8，它们在[π,2π)的对称点是k=25和24。这个第二类线性相位的理想滤波器的频谱样本(8.86)然后，运用实序列h(n)的频谱样本对称性质H(k)=H*[(-k)N]=H*[(N-k)N]和旋转因子的周期性WN-k=WNN-k，准备该系统函数的并联子系统，即最后，综合已知条件和公式(8.85)~(8.87)，写出该滤波器的系统函数(8.87)(8.88)它的频谱如图8.21所示，在通带ω=0.45π~0.5π的幅值波动小于3分贝，并且相位是线性的；图8.218.5最优化设计常用的优化准则有两种：一种是最小均方误差准则，它强调希望的频谱Hd(ω)和设计的频谱H(ω)之间的误差的均方值达到最小；另一种是最小化最大误差准则，它强调Hd(ω)和H(ω)之间的误差的最大值变为最小。最小均方误差准则的典型应用是窗口设计法。窗口设计法的做法是用窗序列截取一段希望的滤波器序列hd(n)作为实际的滤波器序列h(n)，两者之间在整个时域的误差总能量在窗口长度N相同的条件下，这种误差的最小值出现(8.89)在加矩形窗的滤波器。如果衡量最优的标准是最小均方误差准则，那么，矩形窗设计的滤波器是最优的。窗口设计法的滤波器都有一个共同特点：它们的最大波动都分布在过渡带的周围。8.5.1最小化最大误差的原理最优化常用的方法是最小化最大准则，它的做法是将误差的最大值均匀地分散到整个频带上。最优化法用加权误差函数进行滤波器设计。加权误差函数是其中W(ω)是用户自己定义的正值加权函数。(8.91)应用幅度函数的概念，设计滤波器的问题就可以简化为用幅度函数A(ω)逼近理想幅度函数Ad(ω)的实数问题，即现在，让我们以长度N=奇数=2M+1的第一类线性相位滤波器为例，说明设计幅度函数A(ω)的原理。利用该系统的对称性h(n)=h(N-1-n)和cos[ω(n-M)]=cos[ω(N-1-n-M)]，将它的幅度函数(8.36)写成(8.93)(8.94)其中余弦函数的系数由于幅度函数(8.94)中的余弦函数cos(mω)可以写成从切比雪夫多项式(7.34)看，Cm(x)是x的m阶多项式；所以cos(mω)是cos(ω)的m阶多项式，A(ω)是cos(ω)的M阶多项式。这个M阶多项式在角频率ω的闭区间[0,π]最多有M+1个极值，它们直接影响误差函数的极值。考虑到通带边界ωp和阻带边界ωs的误差极值：低通滤波器的误差函数最多有M+3个极值。(8.95)(8.96)将公式(8.94)应用到加权误差函数(8.93)中，设计幅度函数A(ω)的实数问题就是设计的任务是在角频率[0,π]的通带和阻带上寻找M+1个合适的系数a(m)，让加权误差E(ω)的绝对极值一样大，使E(ω)的绝对峰值变成最小。具体的做法是：寻找误差函数E(ω)在数字角频率[0,π]通带和阻带上的M+2个极值频率，它们是ω1<ω2<…<ωM+2，它们的绝对极值相等，即(8.97)(8.99)并且毗邻的极值呈正负交替关系，然后，从这些极值的M+2元方程组确定系数a(m)和加权误差e。这种做法称为交错定理。利用交错定理得到的M+2元方程组是它们也可以写成矩阵的形式，即(8.100)(8.101)在方程(8.101)或者(8.102)中，如果知道M、ωk、W(ωk)和Ad(ωk)，就可以解这个线性方程组的a(m)和e，然后从公式(8.95)获取最佳滤波器的h(n)。这就是最小化最大误差的原理。(8.102)8.5.2最小化最大误差的设计方法首先确定多项式A(ω)的阶M和加权函数W(ω)，然后反复试探方程(8.102)的极值点频率ωk、系数a(m)和误差e，直到获得符合交错定理条件的a(m)和e。多项式A(ω)的阶M与脉冲响应的长度N有关，正确地估计长度N可以减少设计的工作量。有一种估算最短长度的方法：它仅供参考，正确的长度需要验证才能知道。(8.103)例题8.9激光唱机需要一个线性相位的低通滤波器，它的技术指标是通带截止频率ωp=0.4π、阻带截止频率ωs=0.5π、通带波动δp=0.1和阻带波动δs=0.05。请你用最小化最大误差的准则设计这个数字滤波器。解首先根据公式(8.103)估算滤波器的长度，考虑到现在的幅度函数多项式(8.94)是针对奇数长度的，所以取N=19。这样一来，多项式A(ω)的阶M=(N-1)/2=9。让我们以过渡带的中心ωc=(ωp+ωs)/2=0.45π作为加权函数和希望频谱的通带阻带分界线，设置加权函数(8.104)设置希望频谱的幅度函数接下来就是寻找符合等波纹要求的系数a(m)和误差e：（1）在角频率ω的闭区间[0,π]的通带[0,0.4π]和阻带[0.5π,π]中等间隔地选择M+2=11个极值点频率，它们是(8.105)(8.106)极值点频率包括边界频率。（2）将极值点频率代入矩阵方程(8.102)求解，得到幅度函数多项式的系数和误差（3）将得到的a(m)代入加权误差函数(8.97)，并在角频率ω的闭区间[0,π]等间隔选择20M=180个频率点，画该误差函数E(ω)的曲线，(8.107)(8.108)该曲线清楚地显示，许多极点不在预先设置的极值点频率上。（4）误差函数在通带和阻带的max|