函数的单调性与最值-完整课件

宣威市第二中学函数的基本性质：单调性与最值2020年11月16教学目标：知识教学目标：1.理解函数的单调性概念及求函数的最大（小）值；2.会判定函数的单调性和会求一些简单函数的最值。能力训练目标：1.培养学生利用数学概念进行判断、推理、灵活应用的能力.2.加强化归转化能力的训练.情感渗透目标：1.通过新概念的引进过程培养学生探索问题、发现规律、归纳概括的能力.2.培养学生辨证思维、求异思维等能力.重点：1.函数的单调性及其几何意义；2.函数的最大（小）值及其几何意义

。难点

：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性及求最值.过程与方法

：启发引导，充分发挥学生的主体作用

.观察下列函数图象,体会它们的特点:引入新课②③①xoy②

在上面的四幅函数图象中,有的图象由左至右是上升的;有的图象是下降的;还有的图象有的部分是下降的,有的部分是上升的.函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性.如何描述函数图象的“上升”“下降”呢?以二次函数f(x)=x2

为例,列出x,y的对应值表:x…-4-3-2-101234…f(x)=x2…16941014916…对比左图和上表,可以发现什么规律?图象在y轴左侧“下降”,也就是,在区间(-∞,0]上随着x的增大,相应的f(x)反而随着减小;图象在y轴右侧“上升”,也就是,在区间(0,+∞)上随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.思考

如何利用函数解析式f(x)=x2描述“随着x的增大,相应的f(x)反而随着减小.”“随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.”?有同学认为可以这样描述:

在区间(0,+∞)上,x1＜x2时,有f(x1)＜f(x2).他并且画出了如下示意图,你认为他的说法对吗?

对于二次函数f(x)=x2,我们可以这样来描述“在区间(0,+∞)上随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.”:

你能仿照这样的描述,说明函数f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数吗?试一试:一、函数单调性的定义:如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＜f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数).区间D叫做函数的单调递增区间。如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＞f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是（减函数）区间D叫做函数的单调递减区间。注意比较这两句话的不同之处和共同之处.想一想为了说明一个函数在某个区间上是增函数还是减函数,我们应该重点说明哪些要素?1．如图所示，函数y＝f(x)的单调递增区间有________，递减区间有________．解析：结合图象可知，函数y＝f(x)在区间(－∞，－2]，[0,1]上是减函数，在[－2,0]及[1，＋∞)上是增函数．答案：

[－2,0]，[1，＋∞)

(－∞，－2]，[0,1]引例：2．函数y＝－x2的单调增区间为(

)A．(－∞，0]

B．[0，＋∞)C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：

画出y＝－x2的图象，可知函数在(－∞，0]上单调递增．答案：

A用定义证明函数的单调性例3、证明：函数

在(0，+∞)上是减函数。第一步：取值第二步：作差变形第三步：定号第四步：判断下结论证明:

设x1,x2是(0+∞)上任意两个实数，且x1<x2则f(x1)-f(x2)=由于x1,x2,得x1x2>0,又由x1<x2,得x2-x1>0,所以f(x1)-f(x2)>0,

即f(x1)>f(x2).

因此f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数.例2证明函数在R上是增函数.证明：设是R上的任意两个实数,且

则:在R上是增函数.

1.任取x1，x2∈A，且x1<x2；2.作差f(x1)－f(x2)；3.变形（通常是因式分解和配方）；4.定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5.下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

4、如图为函数y＝f(x)，x∈[－3,8]的图象，指出它的单调区间．

练习：解析：结合图象可知，函数y＝f(x)

的单调增区间为[－1,2]，[5,7]．

单调减区间为[－3，－1]，[2,5]，[7,8]．[解题过程]

观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(2,3)，最低的点是(－1，－3)，所以函数y＝f(x)当x＝2时，取得最大值，最大值是3，当x＝－1.5时，取得最小值，最小值是－3.．探究新知

1、指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？问题：

2、你能根据以上问题给出最大值、最小值的概念吗？赶快开动脑筋，想一想！二、函数最值的定义：一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M.那么，我们称M是函数y=f（x）的最大值同样的可以给出最小值的定义：一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M.那么，我们称M是函数y=f（x）的最小值二、函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有

②存在x0∈I，使得

①对于任意x∈I，都有②存在x0∈I，使得

结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M1．从函数f(x)＝x2的图象上还可看出，当x＝0时，y＝0是所有函数_______．而对于f(x)＝－x2来说，x＝0时，y＝0是所有函数值中_______．最小值最大值引例：C引例：答案：C1．函数f(x)(－2≤x≤2)的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为(

)

A．f(2)，f(－2)

B．f(12)，f(－1)

C．f(12)，f(－32)

D．f(12)，f(0)

练一练·当堂检测、目标达成落实处练习：对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝1x21－1x22＝x22－x21x21x22＝(x2－x1)(x2＋x1)x21x22.

∵x1＜x2＜0，

∴x2－x1＞0，x1＋x2＜0，x21x22＞0.

∴f(x1)－f(x2)＜0，

即f(x1)＜f(x2)．

∴函数f(x)＝1x2在(－∞，0)上是增函数．

2、判断函数

f(x)＝1x2在(－∞，0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论是增函数，证明如下：上解：

f(x)＝1x2在(－∞，0)练习：1.利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点．2.利用函数的单调性求最值，及利用它们求参数取值范围问题是重点，也是难点．3.题型以选择题和填空题为主，与导数交汇命题则会以解答题的形式出现.怎么考?走向高考赛场:

对于给定区间D上的函数f(x)，若对于D上的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<(>)f(x2),则称f(x)是D上的增（减）函数，区间D称为f(x)的增（减）区间。1、函数单调性的定义是什么？小结：1、函数单调性的定义是什么？2、证明函数单调性的步骤是什么？

证明函数单调性应该按下列步骤进行：第一步：取值第二步：作差变形第三步：定号第四步：判断下结论小结：1、函数单调性的定义是什么？2、证明函数单调性的步骤是什么？

小结：一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）