2022年湖南省常德市江南实验中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2022年湖南省常德市江南实验中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知奇函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调递增函数，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，） B．[，） C．（，） D．[，）参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由奇函数的性质可知，f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，从而可求得f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围．【解答】解：令x1＜x2＜0，则﹣x1＞﹣x2＞0，∵奇函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调递增函数，∴f（﹣x1）＞f（﹣x2）＞f（0）=0，∵f（x）为奇函数，∴﹣f（x1）＞﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＜f（x2）＜0，∴f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调递增函数；∵f（2x﹣1）＜f（），∴2x﹣1＜，∴x＜．∴满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（﹣∞，）．故选A．【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，分析得到f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调递增函数是关键，属于中档题．2.下列不等式中一定成立的是（

）A．

B．C．

D．参考答案：CA项中；B项中只有在时才成立；C项中由不等式可知成立；D项中3.若的二项展开式各项系数和为256，i为虚数单位，则复数的运算结果为（

）A.－16 B.16 C.－4 D.4参考答案：C【详解】分析：利用赋值法求得，再按复数的乘方法则计算．详解：令，得，，∴．故选C．点睛：在二项式的展开式中，求系数和问题，一般用赋值法，如各项系数为，二项式系数和为，两者不能混淆．4.直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=（）A．1 B．2 C． D．4参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°，由此求得a2+b2的值．【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°=，∴a2+b2=2，故选：B．5.直线y＝x＋1被椭圆所截得的弦的中点坐标是()参考答案：C6.已知+++…+=729，则++的值等于（）A．64 B．32 C．63 D．31参考答案：B【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意利用二项式定理可得（1+2）n=729=36，求得n=6，可得++=++的值．【解答】解：∵已知+++…+=729，∴（1+2）n=729=36，∴n=6．则++=++=6+20+6=32，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，组合数的计算公式，属于基础题．7.””是”方程表示焦点在y轴上的椭圆”的高(

).考.资.源.网

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件高.考.资.源.网参考答案：C略8.曲线在点（e,e）处的切线与直线垂直，则实数的值为()A.－2

B.2

C.

D.－参考答案：B9.设斜率为2的直线l过双曲线的右焦点，且与双曲线的左、右两支分别相交，则双曲线离心率e的取值范围是（

）

A．e＞

B．e＞

C．1＜e＜

D．1＜e＜参考答案：A略10.函数y=sin2x+cos2x的值域是．A．[-1，1]

B．[-2，2]

C．[-1，]

D．[-，]参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.用绳子围成一块矩形场地，若绳长为20米，则围成最大矩形的面积是__________平方米.参考答案：2512.的单调递减区间是

．参考答案：13.对于实数和，定义运算“”：，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是___________。参考答案：14.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是

．参考答案：1和3【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和3．故答案为：1和3．15.已知△ABC中的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=1，C﹣B=，则c﹣b的取值范围是．参考答案：（，1）【考点】三角函数的最值．【分析】用B表示出A，C，根据正弦定理得出b，c，得到c﹣b关于B的函数，利用B的范围和正弦函数的性质求出c﹣b的范围．【解答】解：∵C﹣B=，∴C=B+，A=π﹣B﹣C=﹣2B，∴sinA=cos2B，sinC=cosB，由A=﹣2B＞0得0＜B＜．由正弦定理得，∴b==，c==，∴c﹣b===．∵0＜B＜，∴＜B+＜．∴1＜sin（B+）．∴．股答案为（，1）．16.某工厂生产甲、乙、丙3类产品共600件．已知甲、乙、丙3类产品数量之比为1：2：3．现要用分层抽样的方法从中抽取120件进行质量检测，则甲类产品抽取的件数为

．参考答案：20【考点】分层抽样方法．【分析】根据甲乙丙的数量之比，利用分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：∵甲、乙、丙三类产品，其数量之比为1：2：3，∴从中抽取120件产品进行质量检测，则乙类产品应抽取的件数为120×=20，故答案为：20．17.圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x－4y－11＝0的距离为1的点的个数为________．参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xoy中，设抛物线C：y2=4x（1）求抛物线C上到焦点距离等于5的点的横坐标；（2）设命题p：过抛物线C上一点M（1，2）作两条不同的直线，分别交抛物线C于点A，B，设直线MA，MB，AB的斜率均存在且分别记为kMA，kMB，kAB若为定值，则kAB为定值．判断命题p的真假，并证明；（3）写出（2）中命题p的逆命题，并判断真假（不要求证明）．参考答案：解：（1）设抛物线C上一点的横坐标为x，由题意，根据抛物线定义，得x+1=5，解得x=4，∴抛物线C上到焦点距离等于5的点的横坐标为4．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，则，，∵点A，B在抛物线C上，∴，即，代入上式，化简得：===，kAB==，∴+为定值时，y1+y2为定值，∴kAB为定值．（3）命题p的逆命题：过抛物线C上一点M（1，2）作两条不同的直线，分别交抛物线C于A，B，设直线MA，MB，AB的斜率均存在且分别记为kMA，kMB，kAB，若kAB为定值，则+为定值．命题p的逆命题是真命题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设抛物线C上一点的横坐标为x，由题意，根据抛物线定义，得x+1=5，由此能求出抛物线C上到焦点距离等于5的点的横坐标．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，则，，由此能证明当+为定值时，kAB为定值．（3）把命题p的题设和结论互换，能求出逆命题，命题p的逆命题是真命题．解答：解：（1）设抛物线C上一点的横坐标为x，由题意，根据抛物线定义，得x+1=5，解得x=4，∴抛物线C上到焦点距离等于5的点的横坐标为4．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，则，，∵点A，B在抛物线C上，∴，即，代入上式，化简得：===，kAB==，∴+为定值时，y1+y2为定值，∴kAB为定值．（3）命题p的逆命题：过抛物线C上一点M（1，2）作两条不同的直线，分别交抛物线C于A，B，设直线MA，MB，AB的斜率均存在且分别记为kMA，kMB，kAB，若kAB为定值，则+为定值．命题p的逆命题是真命题．点评：本题考查抛物线上点的横坐标的求法，考查直线的斜率为定值的证明，考查命题的逆命题的求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．19.如图，四棱锥中，底面是菱形，，若，平面平面.（1）求证：；

（2）若为的中点，能否在棱上找到一点，使得平面平面，并证明你的结论.参考答案：略20.如图，在塔底B测得山顶C的仰角为600，在山顶C测得塔顶A的俯角为450，已知塔高为AB=20m，求山高CD.

参考答案：解析：在中，AB=20，B=300，C=150，由正弦定理得：

，

6分在中，故山高为m.

10分21.数列{an}满足：an+1=2an+1，a1=1．（Ⅰ）证明：数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=，n∈N*，求证：b1?b2+b2?b3+…+bn?bn+1＜1．参考答案：【考点】8K：数列与不等式的综合；8D：等比关系的确定．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义即可证明，并求出通项公式，（Ⅱ）根据对数的运算性质可得，再根据裂项求和和放缩法即可证明．【解答】证明：（Ⅰ）由an+1=2an+1，得an+1+1=2（an+1），即