2020年高考数学全国Ⅱ卷(理科)

2020年高考数学全国Ⅱ卷(理科)

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.考生答题前务必在答题卡上填写自己的姓名、考生号以及座位号。本试卷总分为150分。2.答案需填写在答题卡上，本试卷上的答案无效。3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。每小题有四个选项，只有一项是正确的。1.已知集合U={-2,-1,0,1,2,3}，A={-1,0,1}，B={1,2}，则(AB)的补集是()A.{-2,3}B.{-2,2,3}C.{-2,-1,0,3}D.{-2,-1,0,2,3}2.若α为第四象限角，则cos2α的符号为()A.正数B.负数C.正号D.负号3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货。由于订单量大幅增加，导致订单积压。为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货。为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要多少名志愿者？A.10名B.18名C.24名D.32名4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层。上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块。下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块。已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）多少块？A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块5.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为()A.5/√2B.25/√2C.35/√2D.45/√26.数列{an}中，a1=2，anm=am×an，若ak+1+ak+2+...+ak+10=215-25，则k=()A.2B.3C.4D.57.下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为()A.EB.FC.GD.H8.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x^2/4-y^2/9=1相交于点P和Q，且OP=OQ，则a^2的值为()A.8B.9C.10D.111.在第一段中，需要将“ab”改为“AB”，并将“()”改为“（）”。改写后的第一段话为：“在（a>0，b>0）的条件下，两条渐近线AB分别于点D、E相交。若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）。”2.第二段中没有明显的问题，只需要将“|”改为“||”，改写后的第二段话为：“设函数f(x)=ln||2x+1||-ln||2x-1||，则f(x)（）。”3.在第三段中，需要将“93”改为“27√3”，并将“()”改为“（）”。改写后的第三段话为：“已知△ABC是面积为27√3的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上。若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）。”4.在第四段中，需要将“ln”改为“ln||”，并将“()”改为“（）”。改写后的第四段话为：“若2x-2y<3-x-3-y，则（）。”5.在第五段中，需要将“1m”改为“1≤i≤m”。改写后的第五段话为：“对于周期为m的-1序列a1,a2,...,am，C(k)=∑ai×ai+k（1≤i≤m-k）是描述其性质的重要指标，下列周期为5的-1序列中，满足C(k)≤k（1≤k≤4）的序列是（）。”6.第13题的答案为1。7.第14题的答案为27。8.第15题的答案为2。9.第16题的答案为p1、p2、p4。第一部分：格式错误、删除明显有问题的段落无明显格式错误和问题段落。第二部分：改写每段话17.在三角形ABC中，已知sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC，求角A和当BC=3时，△ABC周长的最大值。18.某沙漠地区的生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加。为了调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，并从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区。调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得到一些数据。求该地区这种野生动物数量的估计值、样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数以及更合理的抽样方法和理由。19.已知椭圆C1：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合。过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=(4/3)|AB|。求C1的离心率和C1与C2的标准方程，并已知M是C1与C2的公共点，且|MF|=5。20.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1和AA1C1的交点为点D，AA1和BB1的交点为点E。求证：DE平分∠AECC是一个矩形，M和N分别是BC和B1C1的中点，P是AM上的一点。过B1C1和P的平面分别与AB和AC相交于E和F。（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心。若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值。已知函数f(x)=sin2xsin2x。（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；（2）证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤3n/n4。选修题：22.已知曲线C1，C2的参数方程分别为：C1：x=t+2，y=4sinθ（θ为参数）；C2：x=4cosφ，y=t-1（t为参数）。（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程。23.已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|。（1）当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；（2）若f(x)≥4，求a的取值范围。18.解：(1)样本平均数为$y=\frac{1}{20}\sum\limits_{i=1}^{20}y_i=60$，因此该地区野生动物数量的估计值为$60\times200=12000$。(2)样本$(x_i,y_i)$的相关系数为$r=\frac{\sum\limits_{i=1}^{20}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{20}(x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{20}(y_i-\bar{y})^2}}\approx0.94$。(3)采用分层抽样的方法，根据植物覆盖面积的大小对地块分层，对200个地块进行抽样。由于各地块间植物覆盖面积差异很大，因此采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区野生动物数量更准确的估计。219.解：(1)设$C_2$的方程为$y=4cx$，其中$c=a^2-b^2$。设$A$，$C$在第一象限，由题设得$A$，$B$的纵坐标分别为$-b/a$，$b/a$；$C$，$D$的纵坐标分别为$2c$，$-2c$，故$|AB|=a/\sqrt{b^2+a^2}$，$|CD|=4c/\sqrt{b^2+9a^2}$。由$|CD|=|AB|$得$4c=a(3\sqrt{3}-\sqrt{10})$，解得$a^2=27c^2/(3\sqrt{3}+\sqrt{10})$，$b^2=a^2-4c^2=3c^2(\sqrt{3}-1/2\sqrt{10})$。所以$C_1$的离心率为$1/2\sqrt{3/11}$。(2)由(1)知$a=2c$，$b=3c$，故$C_1:C_2=4c^2/(4c^2+9c^2)=4:13$。20.解：(1)因为$M$，$N$分别为$BC$，$B_1C_1$的中点，所以$MN\parallelCC_1$。又因为$AA_1\parallelCC_1$，所以$AA_1\parallelMN$。因为$\triangleA_1B_1C_1$是正三角形，所以$B_1C_1\perpA_1N$。又$B_1C_1\perpMN$，故$B_1C_1\perp$平面$A_1AMN$。因此平面$A_1AMN\perp$平面$EB_1C_1F$。由已知得，点M在直线BC上，且AM垂直于BC。以M为坐标原点，取MA的方向为x轴正方向，MB为单位向量，建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz。则根据勾股定理，有AB=2，AM=3。连接NP，则四边形AONP为平行四边形，因此PM=ON=23。设点E的坐标为E(x,y,0)，则根据勾股定理，有BE=√(x^2+(y-1)^2+(4-(-x)^2))=√(2x^2+y^2+2y+17)。由于n=(0,-1,0)是平面AMN的法向量，因此有BE·n=|BE|·|n|·sinθ=|BE|，其中θ为直线BE与平面AMN所成角的正弦值。因此，sinθ=BE/2|BE|=1/2，即直线BE与平面AMN所成角的正弦值为1/2。1.解：(1)f'(x)=cosx(sinxsin2x)+sinx(sinxsin2x)'=2sinxcosxsin2x+2sin2xcos2x=2sinxsin3x.当x∈(0,π/3)时，f'(x)>0；当x∈(π/3,π)时，f'(x)<0。因此，f(x)在区间(0,π/3)单调递增，在区间(π/3,π)单调递减。(2)因为f(0)=f(π)=3/8，由(1)知，f(x)在区间[0,π]的最大值为f(π/3)=3/2，最小值为f(2π/3)=-3/2。而f(x)是周期为π的周期函数，因此|f(x)|≤3/2。(3)由于(sin2xsin22xsin3x)^(2n)=|sin3xsin32xsin3(2n-1)x|/(sin32n-1xsin2nx|sin22nx|)≤|sinx||sin2xsin32x|^(2n-1)≤(sin2x)^(2n)/(2n)，因此sinxsin2x的和的上界为∑(n=1,∞)(sin2x)^(2n)/(2n)=ln(1-sin^2(2x))/2。因此，sinxsin2x的和收敛，且其和的上界为ln(1-sin^2(2x))/2。2.解：(1)C1的普通方程为x+y=4(0≤x≤4)。由C2的参数方程得x=t+1/2，y=t-1/2，因此x^2-y^2=4，即C2的普通方程为x^2-y^2=4。(2)由x=5和x+y=4，得到点(5,-1)。得到的直角坐标为P(23,2)。设所求圆的圆心的直角坐标为(x,0)，则有x=(23+x)/2解得x=17/10。因