数值算法及在建模中应用

y，t（时间或其他变量）的关系，yt的关系可以（分为六步）应的”（经济学中）；ty，而与变化率有关的量即第五步：依据第二、第三、第四步建立微分y的导数的值）就是求解微分方程所需 考虑⼀阶常微分⽅程的Initial-ValueProblemdy=f(x,y) x˛[a,b]dx只要f(x,y)在[a,b]·R1上连续，且关于y满⾜Lipschitz条件，即存在与x,y⽆关的常数L使 对任意定义在[a,b]上的y1(x)和y2(x)都成立，则上述IVP存y(xax0x1xn处的近似值yi»y(xi (i=1,...,n)hixi+1hih(常数)

y(/Euler’spolygonalarc y1yi+1=yi+hf(xi,yi(i=0,...,n-欧拉⽅法/ d向h1 hyx0y0hfx0欧拉⽅法/ d向h1 hyx0y0hfx0y0)某算 误差为 x某算 误差为 xi+1)-i+1=[y(xi)+y(xi)+ (xiRi=

Ri的/*leadingterm

)+O(h3)]-[y+hf(x,y =h2 y(x)+O(h3

1 的改进隐式法/*implicitEulermethod

§1Euler

y(x1)

h

y(x1)»y0+hf(x1,y(x1yyi+1=yi+hf(xi+1,yi+1(i=0,...,n-由于未知数yi+1同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式/*implicit*/，⽽前者称为显式/*explicit。R=y(

)-

=-h2y(x)+O(h3 i

i 即隐式具有1阶精度梯形/*trapezoidformula =y+h[f(x,y)+f(

§1Euler,yi+1(i=0,,yi+1i /* y(x)»y(x2)-y(x0 )»y( +2hf(x1,y(x1

i， 需要2个初值y0和y1来启动递

迭代method*/，⽽前⾯的三种算法都是/*single-stepmethod*/y(x2yi+1=yi-1+2hf(xi,yi i=1,...,n-假设yi-1y(xi-1),yiy(xi)，则可以导出Riy(xi+1)即中点具有2阶精度§1Euler⽅法精度提⾼ OK,make

改进法/*modifiedEuler’smethod yi+1=

§1Euler+hf(xi,yiStep2:再将yi+1代入隐式梯形的右边作校正，得 =y

h[f(x,y)

f( , i

i iyyi=y+hf(x,y)+fi2iii,y+hf(x,y](i=0,...,n-iii/*predictor-correctormethod*/§2龙格-/*Runge-KuttaMethod单步递推法的基本思想是从(xi,yi)点出发，以某⼀斜率沿直线达到(xi+1,yi+1)点。 = +h1 +1

⼀定取K1

K K

f(xi,yif(xi+h,yi+hK1

§2Runge-Kutta

=yi+h[l1=f(xi,yi

+l2K2 =f(xi+ph,

(x) yi=y(xi)

y=f(x,y)+f(xylRi =y(xi+1)l

Step1K2在xiyiK2=f(xi+ph,yi

=fx(x,y)+fy(x,y)f(x,=f(x,y)+phf(x,y)+phKf(x,y)+O(h2ii)2y( phy(i ) O(h ii)2Step2K2代入第1yi+1=yi+hl1y(xi)+l2[y(xi)

phy(x)+O(h2)]i=y+(l+l)hy(x)+lph2y(x)+O(h3i §2Runge-KuttaStep3yi+1yxi+1xi =y+(l+l)hy(x)+

ph2

y(x)+O(h3i

2y(xi+1)

y(

)+hy(

)+2

y(x)+O(h3i要求i

这⾥有32 l=l=1就是改进 K1=f(xi,yi)

§2Runge-Kutta其中lii1,m)，ai2,m)biji2mj1,i-1K=f(x+ah,y+bhK+bhK

=====yi+h(K1+2K2+2K3+K46f(xi,yif(xi+h,yi+hK122f(+,h2i+hi22)f(xi+h,yi+hK3§2Runge-Kutta -法的主要运算在于计算Ki的值，即计算f的值。Butcher于1965年给出了计算量与可达到的最⾼精234567n‡O(h4由于-法的导出基于展开，故精度主要受采⽤低阶