新教材数学人教A版选择性课件5321函数的极值

第1课时函数的极值

1.极小值点与极小值若函数f(x)满足:(1)在x=a附近其他点的函数值f(x)≥f(a).(2)f′(a)=0.(3)在x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0.则a叫做函数y=f(x)的_________,f(a)叫做函数y=f(x)的_______.必备知识·素养奠基极小值点极小值【思考】(1)函数的极小值点是点吗?提示:函数的极小值点不是点,它是函数极小值对应的自变量的值.(2)函数的极小值唯一吗?提示:不一定,有的函数无极小值,有的函数有唯一一个极小值,有的函数有多个极小值.2.极大值点与极大值若函数f(x)满足:(1)在x=b附近其他点的函数值f(x)≤f(b).(2)f′(b)=0.(3)在x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0.则b叫做函数y=f(x)的_________,f(b)叫做函数y=f(x)的_______.极大值点极大值【思考】函数的极大值一定大于它的极小值吗?提示:不一定.3.极值点、极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为极值点.(2)极小值、极大值统称为极值.【思考】极值点的分布有什么规律吗?提示:有规律.如果函数y=f(x)既有极大值又有极小值,那么①函数y=f(x)在极值点处导数为0;②极大值点与极小值点交替出现,相邻两个极大值点之间一定有一个极小值点,相邻两个极小值点之间一定有一个极大值点. 4.求函数y=f(x)极值的方法解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时:(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)为函数的极大值.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)为函数的极小值.【思考】若f′(x0)=0,函数y=f(x)在x=x0处一定取得极值吗?提示:不一定.例如f(x)=x3,x=0时,f′(0)=0,但由于在x=0两侧导数同号,因此函数f(x)=x3在x=0处不取得极值.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)导数值为0的点一定是函数的极值点. ()(2)函数的极小值一定小于它的极大值. ()(3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值. ()(4)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数. ()提示:(1)×.导数值为0的点不一定是函数的极值点.(2)×.有的函数的某个极小值大于它的某个极大值.(3)×.有的函数只有一个极大值或极小值;有的函数有一个极大值和一个极小值;有的函数有多个极小值和极大值;也有的函数无极值.(4)√.若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)极值点的两侧附近其单调性一定相反,所以它在(a,b)内不是单调函数.2.函数y=1+3x-x3有 ()A.极小值-2,极大值2 B.极小值-2,极大值3C.极小值-1,极大值1 D.极小值-1,极大值3【解析】选′=3-3x2=3(1+x)(1-x).令y′=0得x1=-1,x2=1.当x<-1时,y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数;当-1<x<1时,y′>0,函数y=1+3x-x3是增函数;当x>1时,y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数.所以当x=-1时,函数y=1+3x-x3有极小值-1;当x=1时,函数y=1+3x-x3有极大值3.3.已知函数f(x)的导数为f′(x)=4x3-4x,且f(x)的图象过点(1,-6),当函数f(x)取得极大值-5时,x的值应为 ()【解析】选B.设f(x)=x4-2x2+c,又f(x)的图象过点(1,-6),所以c=-5.故f(x)=x4-2x2-5.又当f′(x)=0时,x=0或1或-1,所以当函数f(x)取得极大值-5,即f(x)=-5时,x=0.关键能力·素养形成类型一求函数的极值(点)【典例】1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是 ()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)2.设函数f(x)=xex,则 ()=1为f(x)的极大值点=1为f(x)的极小值点=-1为f(x)的极大值点=-1为f(x)的极小值点【思维·引】1.结合图象判断导数的符号,找出函数的极值点及极值.2.求导,利用极值的定义求解.【解析】1.选D.由函数的图象可知,f′(-2)=0,f′(2)=0,并且当x<-2时,f′(x)>0;当-2<x<1时,f′(x)<0,则函数f(x)有极大值f(-2).又当1<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0,则函数f(x)有极小值f(2).2.选D.因为f(x)=xex,所以f′(x)=ex+xex=ex(1+x).当f′(x)≥0,即ex(1+x)≥0时,解得x≥-1,所以当x≥-1时,函数f(x)为增函数.同理可得,当x<-1时,函数f(x)为减函数.所以当x=-1时,函数f(x)取得极小值.【内化·悟】函数的极值点满足的条件是什么?提示:(1)导数为0.(2)两侧导数异号.

【类题·通】函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域.(2)求方程f′(x)=0的根.(3)用方程f′(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格.(4)由f′(x)在方程f′(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况.提醒:当实数根较多时,要充分利用表格,使极值点的确定一目了然.

【习练·破】(2020·平顶山高二检测)函数f(x)=-x2-2lnx+5x的极大值是 ()A.6-ln2 B.6-ln4C.+ln4 D.【解析】选B.函数定义域为(0,+∞),且f′(x)=-2x-+5=令f′(x)==0,则x1=,x2=2.当x∈时,f′(x)<0;当x∈时,f′(x)>0;当x∈(2,+∞)时,f′(x)<0.所以函数f(x)=-x2-2lnx+5x的极大值为f(2)=6-2ln2=6-ln4.类型二与参数相关的极值问题【典例】1.若函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是________.

2.函数f(x)=x3+mx2+x+1在R上无极值点,则m的取值范围是________.

【思维·引】1.求出极小值点,令其在(0,1)内,求b的范围.2.f′(x)≥0恒成立.【解析】1.f′(x)=3x2-6b.当b≤0时,f′(x)≥0恒成立,函数f(x)无极值.当b>0时,令3x2-6b=0得x=±.由函数f(x)在(0,1)内有极小值,可得0<<1,解得0<b<.答案:2.因为f′(x)=3x2+2mx+1,f(x)=x3+mx2+x+1在R上无极值点,所以f′(x)≥0对x∈R恒成立,所以Δ=(2m)2-4×3×1≤0⇒-≤m≤.答案:[-,]

【内化·悟】解决与参数相关的极值问题的范围的关键是什么?提示:根据极值条件列不等式(组).

【类题·通】已知函数的极值情况求参数时的注意问题(1)待定系数法:常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组,用待定系数法求解.(2)验证:因为导数值为0不一定此点就是极值点,故利用上述方程组解出的解必须验证.

【习练·破】1.设a∈R,若函数y=x+alnx在区间上有极值点,则a的取值范围为()A.B.C.∪(e,+∞)D.(-∞,-e)∪【解析】选B.函数y=f(x)=x+alnx在区间上有极值点⇔y′=0在区间上有零点.f′(x)=1+=(x>0).所以f′·f′(e)<0,所以(e+a)<0,解得-e<a<-.所以a的取值范围为.2.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是__________.

【解析】由题意知f′(x)=3x2+2ax+a+6=0有两个不等实根,所以Δ=4a2-12(a+6)>0,解得a<-3或a>6.答案:(-∞,-3)∪(6,+∞)【加练·固】已知函数f(x)=2x3+3(a+2)x2+3ax的两个极值点为x1,x2,且x1x2=2,则a=________.

【解析】f′(x)=6x2+6(a+2)x+3a.因为x1,x2是f(x)的两个极值点,所以f′(x1)=f′(x2)=0,即x1,x2是6x2+6(a+2)x+3a=0的两个根,从而x1x2==2,解得a=4.答案:4类型三函数极值的综合问题角度1已知极值点求参数的值【典例】已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值,且f(1)=-1.(1)试求常数a,b,c的值.(2)试判断x=±1是函数的极小值点还是极大值点,并说明理由.【思维·引】(1)x=±1是导函数的零点,结合f(1)=-1列方程组,求a,b,c的值.(2)求导,确定极大值点还是极小值点.【解析】(1)f′(x)=3ax2+2bx+c,由f′(-1)=f′(1)=0,得3a+2b+c=0,3a-2b+c=0.又f(1)=-1,即a+b+c=-1.解得a=,b=0,c=-.(2)f(x)=x3-x,所以f′(x)=x2-=(x-1)(x+1);当x<-1或x>1时,f′(x)>0;当-1<x<1时,f′(x)<0.所以函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上为增函数,在(-1,1)上为减函数.所以当x=-1时,函数取得极大值f(-1)=1,x=-1是极大值点;当x=1时,函数取得极小值f(1)=-1,x=1是极小值点.角度2求含参数的函数极值【典例】已知函数f(x)=x-alnx(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程.(2)求函数f(x)的极值.【思维·引】(1)求导,点斜式求切线方程.(2)求导,对a讨论判断导数符号求极值.【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-.(1)当a=2时,f(x)=x-2lnx,f′(x)=1-(x>0),则f(1)=1,f′(1)=-1,故y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)由f′(x)=1-=,x>0可知:①当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;②当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a.当x∈(0,a)时,f′(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.

【类题·通】1.三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有极值的充要条件三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有极值⇔导函数f′(x)=3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4b2-12ac>0.2.三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)单调性与极值(设x1<x2)(1)当Δ≤0时,①若a>0,则f(x)在R上是增函数;②若a<0,则f(x)在R上是减函数.(2)当Δ>0时,①若a>0,则f(x)的增区间为(-∞,x1)和(x2,+∞),减区间为(x1,x2),f(x1)为极大值,f(x2)为极小值;②若a<0,则f(x)的减区间为(-∞,x1)和(x2,+∞),增区间为(x1,x2),f(x1)为极小值,f(x2)为极大值.(如图所示)Δ>0Δ≤0a>0

a<0

【习练·破】(2020·平谷高二检测)已知函数f(x)=,其中a∈R.(1)当a=0时,求f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)求证:f(x)的极大值恒大于0.【解析】(1)f′(x)=当a=0时,f′(1)=,f(1)=,则f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=x.(2)令f′(x)=0,解得x=2或x=-a,①当a=-2时,f′(x)≤0恒成立,此时函数f(x)在R上单调递减,所以函数f(x)无极值;②当a>-2时,令f′(x)>0,解得-a<x<2,令f′(x)<0,解得x<-a或x>2,所以函数f(x)在(-a,2)上单调递增,在(-∞,-a),(2,+∞)上单调递减,所以f(x)极大值=f(2)=>0;③当a<-2时,令f′(x)>0,解得2<x<-a,令f′(x)<0,解得x<2或x>-a,所以函数f(x)在(2,-a)上单调递增,在(-∞,2),(-a,+∞)上单调递减,所以f(x)极大值=f(-a)=>0,综上,函数f(x)的极大值恒大于0.课堂检测·素养达标1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点()个 个 个 个【解析】选A.极小值点应有先减后增的特点,即