四章环与域课件

第五节模n剩余类环第六节理想第七节商环与环同态基本定理第八节素理想和极大理想第四章环与域第一节环的定义★环的基本概念★环的基本性质★子环的定义及其判定★矩阵环和循环环定义1

设非空集合叫做加法并用加号+表示,另一个叫做乘法并用乘号具有两个代数运算,

一个表示.如果1)作成一个加群;2)作成一个半群;3)乘法对加法满足左右分配律:一环的基本概念

则称可以记这个环为.

是一个环,在不产生混淆的前提下,

定义2

如果环的乘法满足交换律,即对中任意元素都有,则称为交换环(可为非交换环(非可换环).

换环).否则称例①中设为整数集,“+”和“·”为中通常的整数加法和乘法.易知习惯上称它为整数环,记为.

是一个环.同理还有有理数环,实数环,复数环.上述的四个环都是由数组成.故称为数环.②偶数集,对于整数通常的加法和乘法也是一个环.

例1设是一个加群，再对中任意元素规定,则显然作成一个环.这种环称为零乘环.例2设为整数集.则对以下二运算作成环:证容易验算对作成一个加群,1是零元,是元素的负元.

此外,对乘法显然满足交换律,且易验证也满足结合律.下面仅证乘法对加法也满足分配律:因为故.因此,对,作成环,且是一个交换环.

定义3

如果环中有元素,它对中每个元素都有,则称为环的一个左单位元;如果环中有元素,它对中每个元素都有,则称为环的一个右单位元.环中既是左单位元又是右单位元的元素,叫做的单位元.实际上,由于环对其乘法显然作成一个半群,故的左,右单位元或单位元也是该半群的左,右单位元或单位元.例3证明:集合的幂集对运算作成一个有单位元的交换环.这个环称为的幂集环.证显然,上述加法是的代数运算且满足交换律;又显然空集是的零元,而的负元为身.因此,欲证

自足结合律.作成加群只剩下证该代数运算满先证:(＊)任取,则;或1)若,则或若为前者,即,则得,从而若为后者,即,则得,从而也可得上式.因此2)若,则类似推理也可得(＊).因故因此,对上述加法作成此,(＊)式总成立.同理可得一个加群.

又显然乘法满足结合律和交换律.至于乘法对加法的分配律,可类似于加法满足结合律的证法知也成立.又,且显然是此的单位元.因对以上二运算作成一个有单位元的交换环.二环的基本性质设R是一个环,那么有如下性质:性质1:且;

;

性质2:性质3:性质4:性质5:;

;

;

性质6:;

性质7:性质8:

;

.

三子环的定义及其判定定义4

设是环的一个非空子集.如果对的加法与乘法也作成一个环,则称是的一个子.

环,记为例4设为任意集合.则(包括空集)作成幂集环的一个子环.

的全体有限子集定理1

环的非空子集作成子环的充要条件是:.

设是环的一个子环,应注意,当有单位元时,不一定有;当有单位元时,不一定有;即使二者都有单位元,此二单位元也未必相同.例5设为任意环,称为环上的一个矩阵.当时,称为环上的一个n阶方阵.

四矩阵环和循环环结论:环上的全体阶方阵关于方阵的加法表示,并称为环上的阶全阵环.

与乘法作成一个环.这个环用定理2

设是一个有单位元的交换环.则上n阶全阵环的方阵在中可逆的充要条的行列式在中可逆.

件是:一个环关于其加法作成一个加群,用表示,称其为环的加群.如果加群是一个循环群,则称环是一个循环环.

例如:整数环是一个无限循环环.显然循环环必是交换环,且循环环的子环也是循环环,但是循环环不一定有单位元.定理3

阶环必为循环环(是两个互异

素数).

第二节环的零因子和特征★零因子的定义及其性质★环的特征及其性质定义1

设是环的一个元素,如果在中存在元素,使,则称是的一个左零因子.

同理可定义右零因子.左或右零因子统称为零因子.

一零因子的定义及其性质不是左零因子也不是右零因子的元素,叫正则元.注1)中左零因子和右零因子这两个概念是有右零因子.

彼此依赖,彼此依托—“共存亡”:有左零因子2)若是的左零因子,一般未必同时是的右零因子.

由上可知,欲说明是左零因子,则只需证明存在,使.欲说明不是左零因子,只需证明任一个,都有(或一旦).

例1设为由一切形如的方阵作成的环,则是的一个左零因子,因为有但不是的右零因子,因为,若,只有例2数域上二阶全阵环中,上二阶全阵环中,既是左零因子又是右零因子,因为有数环以及数域上的多项式环,都无零因子.定理1

在环中,当不是左零因子时,则不是右零因子时,则.

;当证由,得.由于且不是左零因子,故同理可证另一结论.推论当环无左(或右)零因子时,则消去律中有一个消去律成立,则中无左成立;反之,若及右零因子,且另一个消去律也成立.

定义2

无零因子的交换环称为整环.对环中任意元素有,左消去律成立;,右消去律成立.定义3

若(任意)环的元素(对加法)有最大阶,则称的特征(或特征数).用表示环的特征.

二环的特征及其性质若环的元素(对加法)无最大阶,则称为无限(或零).的特征有限环的特征必有限.一阶环的特征为1.在数环中,除去外,其特征均无限.为环定理2

设是一个环.令是空集时的特征无限;当非空时,中最小的正整数就是环的特征.

,则当证若为空集,则说明中元素的阶没有是中一个最大阶元,且

最大的.因若不然,设阶为.由于对加法是交换群,则由第二章§2中任何元素的阶都是的因数,从而定理5知,中任何元素都有

对于是.这与是空集矛盾.

若非空,且是中的最小正整数,则中每个元素的阶都有限且是的因数,故最大阶元.由上知,这个最大阶就是,因此有定理3

设是一个无零因子环,且.则中所有非零元素(对加法)的阶均相同;的特征有限,则必为素数.

1)2)若证1)若已对;若中每个非零元素的阶都无限,定理中有某个元素的阶为,则在中,有任取但,零因子,故又无设,则故从而.因此,即中每个非零元素的阶都是2)设,且则在中任取中每个非零元素的阶都是故

,由于

但是这与是无零因子环矛盾,故必是素数.

定理4

若环有单位元,则单位元在加群中的阶就是的特征.

证若单位元1在中的阶无限,则的特征当然无限;若1的阶是正整数,则在中任取有.即是中非零元素的最大阶,亦即定理5

若环是交换环,特征是素数,则对中任意元素有.

证因为将展开后除去项外,其余各项的系数都是的倍数,而是的特征,其余项都是零,结论得证.定义4

设是一个阶大于1且特征是素数的环,如果对中任意元素都有,则称是一个环.定理6

环是交换环.

定义5

设是环的一个非空子集.如果中元素中任何元素,即对都有,则称是的一个左零化子,并简记为.

右零化子可类似定义.左或右零化子统称为零化子.使第三节除环和域★除环与域的概念与性质★子除环与子域的判定定义1

设是一个环,如果,又有单位元且每个非零元素都有逆元,则称是一除环与域的概念与性质一个除环.

可换的除环称为域.定理1

除环和域都没有零因子.注:除环和域的特征只能是素数或无限.例1令,并称中的元素为四元数.另规定系数为零的项可以略去不写,且

于是由第二章§1例4知,对所规定的乘法作成一的乘法现在再规定：

个群,即四元数群.根据1)当且仅当对应系数相等;2)3)法带入相应元素,即两个四元数相乘可按通常分配律先展开,再合并各项中的实系数,最后根据四元数群的乘因此,任意两个四元数的和与积仍是一个四元数.对以上规定的加法和乘法,可以验算作成一个环,1是它的单位元.又因为故当时有逆元,且因此,作成一个除环,通常称为四元数除环.必有单位元,且每个非零又非零因子的元素都是定理2

有限环若有非零元素不是零因子,则可逆元.证设是有限环的任意非零因子元素,则中必有相等的.不妨设于是有.但且不是零因子,故从而对任意,有于是同理有.即是环可知,是的可逆元.

的单位元.再由推论阶大于1的有限环则必为除环.若无零因子,定理3

设是环且,则是除环当且仅当对中任意元素,方程在中有解.

证必要性显然,下证充分性.在中任取,,由条件可设

于是从而,即无零因子.

又因为方程在中有解,设为.则有

但又无零因子,故

从而是环的全体非零元素的右单位元.再由于方程在中有解且此解显然不是零元素,即每个的乘法作成一个群,而这个群的单位元就是的单位元,从而是除环.非零元素都有右逆元.因此,的全体非零元素对二子除环与子域的判定定义2

设是域(除环)的一个子集,且.如果对的两个运算也作成一个域(除是的一个子域(子除环).

环),则称定理4

设是域的一个子集,且则作成的一个子域当且仅当

.简言之,即对“减法与除法”封闭.定义3

设是一个有单位元的环,则的可逆的单位;的全体可逆元(单位)作成的的乘群或单位群,并用或表示.

元也称为群,称为例2证明:作成一个有单位.

元的整环(这个环称为Gauss整环),并且其单位群是证作成有单位元的整环显然.又易知均为其单位.下证:没有别的单位.设是的任一单位,则有使从而于是或则只能是及因此,和是环的全部单位.故第四节环的同态与同构如果是满射(单射、双射),则称满射(环同态单射,环同构).特别是环同态满射与同态,记为～.

为环同态时,则称定义设与是两个环.如果有一个到满足,,则称是环到的一个同态映射.

映射的定理1

设与是各有两个代数运算的集合,.则当是环时,也是一个环.

且定理2

设与是两个环,且.则元的象是的零元,的元素的负元的象是象的负元;当是交换环时,也是交换环;当单位元时,也有,并且单位元的象是单位元.的零的有例1设是整数环,为4阶循环环,即其中在加群中的阶为4(从而其特征为4),且.则易知映射是环到环的一个同态满射.在这里,整数环没有零因子,但是循环环却有零因子,因为在中,即是环的零因子.例2设是整数环,又可以验算是环到的一个同态满射.又因为作成一个环,且易知对运算即环有零因子,但它的同态象却没有零因子.定理3

设与是两个环,且.则环(除环、域)当且仅当是整环(除环、域).

是整例3设是域上的阶全阵环.任取如果矩阵的加法不变,但乘法改为证明:1)上全体阶方阵对此二运算作成环,此环记为2)当且仅当为满秩方阵.证易验算作成环;又当为满秩方阵时,易知是环到的一个同构映射,故反之,设而为降秩方阵且设则由高等代数知,存在秩为的阶方阵使于是对任意都有从而环没有单位元.这与相矛盾.因此,必为满秩方阵.

定理4(挖补定理)设是环的一个子环,且与环同构,即.又若,即同在里的余集无公共元素,则存在环使.

证令,且在同构之下,的象是;又在中余集的元素用表示.于是现在作一个新的集合并规定到的一个映射:则显然这是到的一个双射.再在集合中规定二运算:其中为中任意元素,且为在之下的逆象.易知此二运算是的两个代数运算,并且是与的一个同构映射.因此,也是环且.特别,保持原同构以及环的原来的运算,因此.从而例4设是例2中所给出的环,又令则显然在之下.又,因此由定理4知且第五节模n剩余类环复习回顾:在第二章里,我们曾讨论模的剩余类加群.下面给出同余类的加法和乘法,使作成一个环.,规定可以验证关于上述两个运算作成一个环.称其为以为模的剩余类环,或简称模剩余类环.中非零元如果与互素,则为可逆互素,则为零因子.

定理1元;如果不与证设,且,则存在整数使于是即是的逆元.又当时,令是且即此时子.的一个零因定理2

如果是素数,则环是一个域,如果是合数,则环有零因子,从而不是域.

证因为的所有非零元素都同互素,于是由定理1知,每个非零元素都有逆元,故是一个域.当是合数时,设则且故有零因子,从而不是域.例1是域.又由于故

的逆元是自身,而与

互为逆元.例2是环不是域.又由于故

是的可逆元,但的零因子.是定理3

设是两个正整数,则证令,并设且为其一同态满射,则在之下单位元的象是单位元,即

,从而对任意整数有

特别有.由于有,故反之设,则易知上面的对应是剩余类环到的一个满射,而且是一个满同态,故定理4

除去零乘环外,在同构意义下,循环环有而且只有整数环及其子环以及剩余类环及其子环.证整数环及其子环以及剩余类环及其子环都循环环.是循环环,这是显然的.下证在同构意义下只有这些设为任意循环环且不是零乘环.则.如果在加群无限,则易知

中的阶(为任意整数)

是循环环到整数环的子环的一个同构映射,因此.

在加群中的阶有限,而且是以上的对应法则是阶循环环到模剩余类环的子环如果此时则.且易知的一个同构映射.因此.这就是说,阶循环环可同构嵌入到模剩余类环中.即在同构意义下是的子环.

例3的子环与的子环都是3阶循环环,但它们不同构.

的加群都是3阶循环群,当然同构.之下必有

但作为环它们不同构:因若不然,设有同构证,则与在或从而均有,矛盾.

第六节理想★理想的概念及其性质★主理想一理想的概念及其性质定义1

设是环的一个子加群,即对的一个左理想;,则称是的一个既是环的左理想又是右理想,则称的一个双边理想,或简称为理想,并用符号表示.否则记为是任意元素,差仍属于.如果又有,则称如果中右理想;如果是.例1令为域上的2阶全阵环,并设

则易知是环的一个左理想(但不是双边理想),是的一个右理想(也不是双边理想).

而另外易知又是环的一个双边理想,但它却不是全阵环的左理想也不是右理想.

例2令是多项式环为零的全体多项式作成的集合,则易知是个理想.

是一个域,中常数项的一例3令为任一域,又令

则易知,但是.因此,同正规子群情况\类似,理想的理想不一定是原环的理想,亦即理想也不具有传递性.

对任意环,如果,则至少有两个理想:,称之为的平凡理想.其它的理想如果还有的话就称为真理想.

是循环环的是的一个子加群(子环).

一个理想,当且仅当定理1定义2

只有平凡理想的非零环称为单环.证理想当然是子加群.反之,设是循环环的一个子加群,则对任意,令

其中为整数.则

又因循环环是可换环,故定理2

除环和域只有平凡理想,即它们是单环.证设是除环的任意一个理想.如果,在中任取,则,于是从而对中任意元素,有故.即只有平凡理想,因此是单环.

定理3

设是一个阶大于1的环,并且除平凡理有单位元时,为除无单位元时,是素阶零乘环.

想外无其它左或右理想.则当环;当证设除和外无其他左理想.在元素,则显然

中任取是的一个左理想.有单位元时,,从而.于是当.这表明方程在除环.

中有解,因此是无单位元时,则由§3定理3知:总存在元素.于是,而且是环的一个左理想,也是一个循环零乘环.故再由假设可知,只能是一个素阶零乘环.

当使当除和外无其他右理想时,同理可证.

推论1

阶大于1的可换单环必为域或素阶零乘环.定理4

设是一个有单位元的环,,则存在惟一的使证令为由中一切阶方阵的所有元素作成的集合.

下证:

用表示元素是1而其余元素全阶方阵.则易知

是0的(1)而且上每个阶方阵都可由这个方阵线性,则在中存在方阵使从而根据(1)和(2)以及可得

表示.任取(2)因此

再任取,则由于而,故

从而.因此,并且反之,任取,并令

再任意取定,则在中有方阵于是,由于,故.

从而由(3).于是可知设另有使.则对任意有.于是,从而理有.因此同(3)推论2

设是一个有单位元的环,且.则是单环全阵环是单环.证若是单环,则由定理4直接可知,是单是单环且,则由矩阵乘法易知:环.反之,设从而只有或.于是由定或.即是单环.

惟一性可知理4中的定理5

设是一个阶大于1的整环.如果只有有限个理想,则必为域.证在中任取元素,由§3定理3知,在中有解即可.但由于整环只有有限个理想,故必有正整数与满足只需证明方程易知从而由(4)知,在中有使

元素或即方程在中有解

(4)二主理想设是一个环,任取.易证是中包含的理想中最的由生成的主理想.

,令,则小的一个,称为结论:①当环可交换时(或者生成元在的中心内时),

;②当环中有单位元时,;③当有单位元且可交换(或有单位元在中心时).

,

定义3

设为环的的和.

并称其为子集个子集,令定理6

若是环的也是环的一个(子环)理想.个(子环)理想,则证对用数学归纳法.

当时定理显然成立.当时,作成的子加群.又设且

显然则由于是的理想,故

都属于从而,即时定理成立.假定对定理成立,则由于故易知定理对也成立.例4设是整数环,则证显然,因此,.又由于故.因此,.

例5整数环上的多项式环的理想不是主理想.证因若不然,设,则由于是有单位元的交换群,故可令

这只有.但因为显然是由常数项为偶数的所有整系数多项式作成的理想,故矛盾.定义4

设是环,又.则令有限和并称其为理想与的乘积.易证:第七节商环与环同态基本定理★商环的基本概念★环同态基本定理一商环的基本概念在前一讲中已知,当是环的理想时,仅加法,得到加法商群.

而言知今将说明商加群中可以合理地引入一个做成一环,这个乘法定义为

乘法并使或.定理1

设是环的理想,则对陪集的加法关于的商环,且.

与乘法作成一个环,称为证令则易知这是到的一个关于加法与乘法的同态满射,故,由于是环,因此,也是环.二环同态基本定理定理2

设与是两个环,且1)这个同态核,即零元的全体逆象,是的一个理想;.则2)证设是环到环的一个同态满射.1)由第三章知,核首先是环的一个子加群;其次,设,则于是在之下有故,即是的理想.2)令则由群同态基本定理知,作为加群,是到的一个同构映射.又由于,而,因此是环到环的一个同构映射,从而例1设是整数环,是任意正整数.证明:证商环而

由于商环中元素(即陪集)的加法与乘法同中元素(即同余类)的加法与乘法一致,

故显然

是环与的同构映射,因此,

例2设是Gauss整环,是由全体整系数多项式作成的环.证明:证这里是虚单位,即的一个根.易知

是环到的一个满同态,且由环同态基本定理知,

故定理3

在环到环的同态映射下,则的子环(理想)的象是的一个子环(理想);的子环(理想)的逆象是的一个子环(理想).

1)2)定理4(环的第二同构定理)设是环且,则

1);2).以下证明2).是到的自然同态,则易知在之下有且这个同态的核为.于是由定理2知证1)是显然的.令定理5(环的第三同构定理)设是环且,则

且

证令分别为到以及到同态,则易知是到的自然满同态,且有的一个.又易知,故由定理且2知第八节素理想和极大理想定义1

设是一个交换环,.如果则称为的一个素理想.

是的一个理想,那么例1设是一个素数,则有所以是的素理想.

例2设是偶数环,是奇素数,又则不是的素理想,而是的素理想.证因为,但,故偶数环的素理想.又设不是,其中是偶数.设,其中为整数.则由于是奇素数,故可知.从而或.由此可知必有或,即是的素理想.

定理1

设是交换环的一个理想,则是的素理想的充分必要条件是:商环无零因子,即为整环.

证设是的素理想,则在商环二元素中任取,且令.于是有,即.但因是素理想,故有或.亦即有或.因此,商环无零因子.又因为可换,故也可换,从而为整环.反之,设无零因子,且令.则,即.于是或,亦即或.因此是的一个素理想.定义2

设是的一个理想且,