2022年辽宁省鞍山市实验中学高三数学理月考试题含解析

2022年辽宁省鞍山市实验中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则(

)A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a） B．f（3）＜f（log2a）＜f（2a）C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a） D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）参考答案：C【考点】抽象函数及其应用；导数的运算．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由f（x）=f（4﹣x），可知函数f（x）关于直线x=2对称，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性，从而可得答案．【解答】解：∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），∴f（x）关于直线x=2对称；又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）?f′（x）（x﹣2）＞0，∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的单调递增；同理可得，当x＜2时，f（x）在（﹣∞，2）单调递减；∵2＜a＜4，∴1＜log2a＜2，∴2＜4﹣log2a＜3，又4＜2a＜16，f（log2a）=f（4﹣log2a），f（x）在（2，+∞）上的单调递增；∴f（log2a）＜f（3）＜f（2a）．故选C．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查导数的性质，判断f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性是关键，属于中档题．2.设，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C3.设函数的图象关于直线及直线对称，且时，，则（）A．

B．

C．D．参考答案：B略4.已知向量，，则A.

B.

C.

D.参考答案：C5.某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体的体积为

（

）A． B．C．

D．参考答案：A6.解不等式:

参考答案：略7.设集合M={x|﹣2＜x＜3}，P={x|x≤﹣1}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合集合的基本运算进行判断即可．解答：解：∵M={x|﹣2＜x＜3}，P={x|x≤﹣1}，∴M∪P={x|x＜3}，M∩P={x|﹣2＜x≤﹣1}，则M∩P?M∪P，即“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件判断，根据集合的交集和并集进行运算是解决本题的关键．8.已知函数，是奇函数，则

（

）A．在上单调递减

B．在上单调递减C．在上单调递增

D．在上单调递增参考答案：B9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=12，则a5+a6=（）A． B．12 C．6 D．参考答案：A【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列{an}的前n项和公式及其性质即可得出．【解答】解：∵等差数列{an}的前10项和为S10=12，∴=12，则a5+a6=．故选：A．【点评】本题考查了等差数列{an}的前n项和公式及其性质，属于基础题．10.已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为的偶函数参考答案：D【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】用二倍角公式把二倍角变为一倍角，然后同底数幂相乘公式逆用，变为二倍角正弦的平方，再次逆用二倍角公式，得到能求周期和判断奇偶性的表示式，得到结论．【解答】解：∵f（x）=（1+cos2x）sin2x=2cos2xsin2x=sin22x==，故选D．【点评】通过应用公式进行恒等变形，在不断提高学生恒等变形能力的同时，让学生初步认识形式和内容的辩证关系．掌握两角和、两角差、二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式，并运用这些公式以及三角函数的积化和差与和差化积等公式化简三角函数式、求某些角的三角函数值，证明三角恒等式等．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设双曲线的渐近线为，则其离心率为

.参考答案：12.已知复数z满足（1﹣i）z=2i，其中i为虚数单位，则z的模为．参考答案：

【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由（1﹣i）z=2i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1﹣i）z=2i，得=，则z的模为：．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．13.等比数列中，，函数……，则函数f（x）在点处的切线方程为

；参考答案：略14.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为

．参考答案：615.将参数方程（为参数）化为普通方程是

.参考答案：略16.如图，边长为1的菱形OABC中，AC交OB于点D，∠AOC=60°，M，N分别为对角线AC，OB上的点，满足，则?=．参考答案：考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先利用边长为1的菱形OABC中，∠AOC=60°，可得|AC|=1，|OB|=，AC⊥OB，再利用向量的加法与数量积运算，即可得到结论．解答：解：∵边长为1的菱形OABC中，∠AOC=60°，∴|AC|=1，|OB|=，AC⊥OB∴=+==+=﹣+∴?===故答案为：点评：本题考查向量的加法与数量积运算，考查学生的计算能力，正确表示向量是关键，属于中档题．17.设实数满足不等式组，则的最大值是参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，其中a，b，c∈R．（Ⅰ）若a=b=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=0，且当x≥1时，f（x）≥1总成立，求实数b的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；构造法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）通过a=b=1，函数f（x）的导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的单调区间；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≥1总成立，转化为bx+1＞0在x≥1恒成立，推出b≥0，即证明在x≥1时恒成立，设，求出导函数，函数的最值即可推出结果．【解答】解：（Ⅰ），f'（x）＞0?x＜0或x＞1；f'（x）＜0?0＜x＜1函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）单调递增，在（0，1）单调递减．（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≥1总成立，即当x≥1时恒成立，因为ex＞0，所以bx+1＞0在x≥1恒成立，所以b≥0所以只需x≥1时ex≥bx+1恒成立，需在x≥1时恒成立，设，则，x≥1时，，所以在[1，+∞）单调递增，x≥1时，g（x）≥g（1）=e﹣1，所以b≤e﹣1，综上0≤b≤e﹣1．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及构造法的应用，开心分析问题解决问题的能力．19.设|θ|＜，n为正整数，数列{an}的通项公式an=sintannθ，其前n项和为Sn（1）求证：当n为偶函数时，an=0；当n为奇函数时，an=tannθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ?[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（1）利用sin=，即可得出．（2）a2k﹣1+a2k=（﹣1）tannθ．利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】证明：（1）an=sintannθ，当n=2k（k∈N*）为偶数时，an=sinkπ?tannθ=0；当n=2k﹣1为奇函数时，an=?tannθ=（﹣1）k﹣1tannθ=（﹣1）tannθ．（2）a2k﹣1+a2k=（﹣1）tannθ．∴奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为﹣tan2θ．∴S2n==sin2θ?[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．20.如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于E点，F，G分别为AD，BC的中点，AB=2，∠DAB=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使得AC=．（1）求证：平面ABD⊥平面BCD；（2）求二面角F﹣DG﹣C的余弦值．参考答案：考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）证明AE⊥平面BCD，即可证明平面ABD⊥平面BCD；（2）建立以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，EA为z轴的空间直角坐标系E﹣xyz，求出平面CDG的法向量、平面FDG的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角F﹣DG﹣C的余弦值．解答： （1）证明；在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD，△CBD为等边三角形，∵E是BD的中点，∴AE⊥BD，AE=CE=，∵AC=，∴AE2+CE2=AC2，∴AE⊥EC，∴AE⊥平面BCD，又∵AE?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD；（2）解：由（1）可知建立以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，EA为z轴的空间直角坐标系E﹣xyz，则D（0，1，0），C（，0，0），F（0，，）G（﹣，1，），平面CDG的一个法向量=（0，0，1），设平面FDG的法向量=（x，y，z），=（0，﹣，），=（﹣，1，）∴，即，令z=1，得x=3，y=，故平面FDG的一个法向量=（3，，1），∴cos==，∴二面角F﹣DG﹣C的余弦值为﹣．点评：本题考查平面垂直，考查平面与平面所成的角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.（本小题满分12分）已知函数。（Ⅰ）讨论的单调区间；（Ⅱ）若，试证对区间上的任意，总有成立。参考答案：略22.已知在等比数列{an}中，a1=1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足bn=2n﹣1+an（n∈N*），求{bn}的前n项和Sn．参考答案：（I）设等比数列{an}的公比为q，∵a2是a1和a3﹣1的等差中项，a1=1，∴2a2=a1+（a3﹣1）=a3，..................................2∴=2，..