2021-2022学年云南省曲靖市沾益县大坡乡第三中学高三数学理联考试题含解析

2021-2022学年云南省曲靖市沾益县大坡乡第三中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.大学生甲、乙、丙为唐山世园会的两个景区提供翻译服务，每个景区安排一名或两名大学生，则甲、乙被安排到不同景区的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】大学生甲、乙、丙为唐山世园会的两个景区提供翻译服务，每个景区安排一名或两名大学生，利用列举法求出基本事件总数和甲、乙被安排到同一景区包含的基本事件个数，由此利用对立事件概率加法公式能求出甲、乙被安排到不同景区的概率．【解答】解：大学生甲、乙、丙为唐山世园会的两个景区提供翻译服务，每个景区安排一名或两名大学生，基本事件总数有（甲乙，丙），（甲丙，乙），（乙丙，甲），（丙，甲乙），（乙，甲丙），（甲，乙丙），共6个基本事件，其中，甲、乙被安排到同一景区包含的基本事件有（甲乙，丙），（丙，甲乙），包含两个基本事件，∴甲、乙被安排到不同景区的概率：p=1﹣=．故选：D．2.定积分dx的值为(

)A． B． C．π D．2π参考答案：A【考点】定积分．【专题】导数的概念及应用．【分析】根据的定积分的几何意义，所围成的几何图形的面积是的四分之一，计算即可．【解答】解：∵y=，∴（x﹣1）2+y2=1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，∴定积分dx所围成的面积就是该圆的面积的四分之一，∴定积分dx=，故选：A．【点评】本题主要考查了定积分的几何意义，根据数形结合的思想，属于基础题．3.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A．3

B．11

C．38

D．123参考答案：B4.若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（

）A．10

B．20

C．30

D．120参考答案：B5.数列满足:,则其前10项的和A.100

B.101

C.110

D.111参考答案：C略6.复数z满足（其中i为虚数单位），则复数（

）A.

B.2

C.

D.参考答案：D7.已知数列{an}为等比数列，a4+a7=2，a5?a6=﹣8，则a1+a10的值为（）A．7 B．﹣5 C．5 D．﹣7参考答案：D【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用数列的通项公式，列方程组求解a1，q的值，在求解a1+a10的值【解答】解：a4+a7=2，a5?a6=﹣8，由等比数列的性质可知a5?a6=a4?a7a4?a7=﹣8，a4+a7=2，∴a4=﹣2，a7=4或a4=4，a7=﹣2，a1=1，q3=﹣2或a1=﹣8，q3=a1+a10=﹣7故选：D8.设集合，，，则等于A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.若关于直线m,n与平面α，β，有下列四个命题：①若m∥α,n∥β,且α∥β，则m∥n;②若m⊥α,n⊥β,且α⊥β，则m⊥n;③若m⊥α,n∥β,且α∥β，则m⊥n;④若m∥α,n⊥β,且α⊥β，则m∥n;其中真命题的序号（

）A．①②

B．③④ C．②③ D．①④参考答案：C10.某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票，小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票3张，五元餐票1张，若从他口袋中随意摸出2张，则其面值之和不少于4元的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；转化思想；概率与统计．【分析】从他口袋中随意摸出2张，基本事件总数n=，再求出其面值之和不少于4元包含的基本事件个数，由此能示出从他口袋中随意摸出2张，其面值之和不少于4元的概率．【解答】解：小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票3张，五元餐票1张，从他口袋中随意摸出2张，基本事件总数n==15，其面值之和不少于4元包含的基本事件个数m==8，∴从他口袋中随意摸出2张，其面值之和不少于4元的概率：p==．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，的坐标为＿＿＿＿.参考答案：因为圆心移动的距离为2，所以劣弧，即圆心角,,则,所以，，所以，，所以.另解：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为，且，则点P的坐标为，即.

12.已知点A（1，y1），B（9，y2）是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，y2＞y1＞0，点F是它的焦点，若|BF|=5|AF|，则y12+y2的值为．参考答案：10【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的定义：|BF|=9+，|AF|=1+，根据题意可知求得p，代入椭圆方程，分别求得y1，y2的值，即可求得y12+y2的值．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）焦点在x轴上，焦点（，0），由抛物线的定义可知：|BF|=9+，|AF|=1+，由|BF|=5|AF|，即9+=1+，解得：p=2，∴抛物线y2=4x，将A，B代入，解得：y1=2，y2=6，∴y12+y2=10，故答案为：10．【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线方程的应用，属于中档题．13.已知向量a＝(2，m)，b＝(－1，2)，若a⊥b，则b在向量上的投影为________．参考答案：14.正项数列的前项和为，且（），设，则数列的前2016项的和为

．参考答案：15.在锐角的三内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若

.参考答案：略16.由曲线与直线所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是____________.参考答案：略17.若不等式对于一切恒成立，则实数的取值范围是___________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知数列满足（为常数），成等差数列.（Ⅰ）求p的值及数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，证明：.参考答案：解：（Ⅰ）由得∵成等差数列，∴即得………（2分）依题意知，当时，…相加得∴∴……………（4分）又适合上式，………（5分）故……………………（6分）（Ⅱ）证明：∵∴∵

…（8分）若则即当时，有…………………（10分）又因为………（11分）故……………………（12分）（Ⅱ）法二：要证

只要证…………（7分）下面用数学归纳法证明：①当时，左边=12，右边=9，不等式成立；

当时，左边=36，右边=36，不等式成立.…………（8分）②假设当时，成立.…（9分）则当时，左边=4×3k+1=3×4×3k≥3×9k2，要证3×9k2≥9（k+1）2，只要正3k2≥（k+1）2，即证2k2-2k-1≥0.…………（10分）而当k即且时，上述不等式成立.………………（11分）由①②可知，对任意，所证不等式成立.…………（12分）19.设是正整数，数列，其中是集合中互不相同的元素．若数列满足：只要存在使，总存在有，则称数列是“好数列”．（Ⅰ）当时，（ⅰ）若数列是一个“好数列”，试写出的值，并判断数列：是否是一个“好数列”？（ⅱ）若数列是“好数列”，且，求共有多少种不同的取值？（Ⅱ）若数列是“好数列”，且是偶数，证明：．参考答案：见解析【考点】数列综合应用（Ⅰ）（ⅰ），或；

数列：也是一个“好数列”．

（ⅱ）由（ⅰ）可知，数列必含两项，

若剩下两项从中任取，则都符合条件，有种；

若剩下两项从中任取一个，则另一项必对应中的一个，

有种；

若取，则，，“好数列”必超过项，不符合；

若取，则，另一项可从中任取一个，有种；

若取，则，，“好数列”必超过项，不符合；

若取，则，符合条件，

若取，则易知“好数列”必超过项，不符合；

综上，共有66种不同的取值．

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）易知，一个“好数列”各项任意排列后，还是一个“好数列”．

又“好数列”各项互不相同，所以，不妨设．

把数列配对：，

只要证明每一对和数都不小于即可．

用反证法，假设存在，使，

因为数列单调递增，所以，

又因为“好数列”，故存在，使得，

显然，故，所以只有个不同取值，而有个不同取值，矛盾．

所以，每一对和数都不小于，

故，即．20.设不等式的解集为.（1）求集合；（2）设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围.参考答案：略21.已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为，点在线段AB的垂直平分线上，且，求的值.参考答案：（1）由，得，再由，得，由题意可知，，即.解方程组得，，所以椭圆的方程为.（2）由（1）可知.设点的坐标为，直线的斜率为，则直线的方