金融经济学中文课件fe第4章之一

第4章均值——方差分析本章大纲仍然接着上一章个体的借贷和消费选择、效用最大化的问题讲。进一步了解当效用函数u是二次函数或者证券收益率（也叫回报率、利率）服从正态分布时，证券组合回报率的均值和方差就可以完全用于刻画经济主体的偏好。掌握均值－方差模型描述的证券投资组合前沿理论，它是期望利率的决定，也就是CAPM的基础。4.1

一些基本定义证券收益在时期0有N个证券在交易，它们的收益在时期1实现，证券i

在时期1的收益记为向量。其中有多种可能的状况），因此，X其实是一个矩阵。用下面的向量同时表示N个证券的随机收益

x1

x

2

X

=

N

为含有多个元素的行向量（假定时期1

x

xixi证券回报如果证券i在时期0的价格为Si

，则证券i

的总回报为Ri

=xi/Si

，回报率ri为Ri-1，用下面的向量rˆ同时表示N个证券的随机回报率

rˆ1

rˆ

2

rˆ

=

rˆ

N

字母上方有弯的符号，表示它是随机取值的数

例：假设时期1的经济有3种可能性状况，有2只证券的收益为x1=(1,1,1)，x2=(1,2,2)，则证券收益矩阵为是2行（2只证券）、3列（3种可能性状况）的矩阵。如果2只证券现在的价格分别为S1

=0.8，S2

=1.25，则证券回报率矩阵x

X

=

1

=

1

1 1

1

2

2

x2

0.6rˆ

=

rˆ1

=

0.25

0.25

0.250.6rˆ

-0.2

2

N证券组合portfolio的总回报:

Rˆp

=

wi

Rˆii=1其中

wi

表示组合中证券

i

的投资比例。若一个证券组合中证券1的数量为30，证券2的数量为70，则其价格为30∙0.8+70∙1.25=111.5,其中证券1所占的比例为30∙0.8/111.5=21.5%，证券2所占的比例为70

∙1.25/111.5=78.5%。证券组合的回报该证券组合的收益为30∙

(1,

1,

1)+

70

∙(1,

2,2)=(100,170,170)。则上例中Rˆp

=(100,170,170)/111.5

，也等于用投资比例表示的Rˆp

=

21.5%

1.25

1.25

1.25

+

79.5%

0.8

1.6

1.6维的权重向量w（列向量）wi

为证券在证券组合中所占的比例，它们形成Nˆˆ

ˆ证券组合的回报率同样有NTpi

ir=w

·

r”

w

ri=1例如，在有3只证券的经济中，投资者的rˆp

=

w1rˆ1

+

w2

rˆ2

+

w3rˆ3

w1

w

=

wN

证券及证券组合的期望回报率单个证券的期望回报率定义为：E

(rˆi

)

=

P(w

)ri

(w

)w

˛W式中：E(rˆi

)－回报率期望值；ri

(w

)

－ω状态下该证券的回报率；P(ω)－ω状态发生的概率例如，则该证券的E(r)=22%ω1ω2ω3ω4ω5P(ω)0.20.30.10.20.2r(ω)5%10%20%30%50%为N只风险证券回报率均值组成的列向rNTpi

=

1E

(

rˆ

)

=其中，量。w

i

E

(

rˆi

)

”

w

r证券组合的期望回报率：是其所含证券的期望回报率的加权平均，以各证券在组合中的比例为权重.1

E(rˆ

)

E(rˆN

)r

=

例如，证券A

、B

期望回报率分别16.2%和24.6%，在组合中的比例为0.75和0.25，则组合的期望回报率为(ˆTpE(r)

=

w

r=

0.750.25

16.2%

=18.3%)

24.6%单个证券回报率的方差一个证券的期望回报率描述了以概率为权数的平均回报率。但是这是不够的，我们还需要一个有用的风险测度，风险或者说不确定性是以某种方式估计实际结果与期望结果之间可能的偏离程度，方差就是这样一个测度，因为它估计实际回报率与期望回报率之间的可能偏离。(2

22ˆiiiiP(w

)[r

(w

)s

=

sr

=-

E(r

)]w

˛W单个证券回报率的方差一个证券回报率的方差是未来回报率可能值

对期望回报率的偏离（通常称为离差）的平

方的加权平均，权数是相应的可能值的概率。记方差为s2，即有第i个证券的例如，则该证券的σ=16.5%。这个数字有什么经济意义呢？ω1ω2ω3ω4ω5P(ω)0.20.30.10.20.2r(ω)5%10%20%30%50%两个证券形成的组合的回报率的方差s

2

=

w2

s

2

+

w2

s

2

+

2w

w

sP

1

1

2

2

1

2

12方差分别为

s1

与

s

2

的两个资产以w1与w2的权重构成一个资产组合的方差为，协方差协方差是两个随机变量相互关系的一种统计测度，即它测度两个随机变量，如证券1和2的回报率之间的互动性。s12

=

cov(rˆ1

,

rˆ2

)

=

E(rˆ1

-

E(rˆ1

))(rˆ2

-

E(rˆ2

))协方差为正值表明两个证券的回报率倾向于向同一方向变动——例如，一个证券高于期望回报率的情形很可能伴随着另一个证券的高于期望回报率的情形。一个负的协方差则表明证券与另一个证券相背变动的倾向——例如，一种证券的高于期望回报率的情形很可能伴随着另一个证券的低于期望回报率的情形。一个相对小的或者0值的协方差则表明两种证券之间只有很小的互动关系或没有任何互动关系。相关系数与协方差密切相关的另一个概念是相关系数。事实上，两个随机变量间的协方差等于这两

个随机变量之间的相关系数乘以它们各自的

标准差的积。证券1与2的相关系数为121

2rs

s=

s12r测量两种股票回报共同变动的程度:-1.0

£

r

£

+1.0完全正相关:+1.0完全负相关:-1.0完全负相关会使风险消失完全正相关不会减少风险在-1.0和+1.0之间的相关性可减少风险，但不是全部例如，证券A

、B标准差分别12.1%和29.2%，在组合中的比例为0.75和0.25，则利用s

2

=

w2

s

2

+

w2

s

2

+

2w

w

rs

sP

1

1

2

2

1

2

1

2组合的标准差，当r

=-1时为1.73%；当r

=0时为11.64%；当r

=1时为16.37%。可以将其扩展到更多的证券形成的组合。P

1

1

2

2

1

2

12也可以写成s

2

=

w2

s

2

+

w2

s

2

+

2w

w

s(21122Pss

sss

2

w

=

ww

)12

1

w2

21

2

20.2512.1%2

00

29.2%0.75比如上例中，11.64%

=

(0.750.25)

N个证券的组合的回报率的方差N

N2pi

j i

ji

=1

j

=1=

w

TV

ws

=

w

w

s2122s1,

Nssss1,

N

-1

s11

s12

s2,

N

-1

V

=

N1

s

N

-1,2

s

N

,

N

-1

s

N

,

NV为方差协方差矩阵,w为组合的权重列向量,wT表示w这个向量的转置（列向量转为行向量）。这样表示很方便。其中，4.2

二次效用函数和服从正态分布的金融资产回报率本节概要：

以前学过，所投资的证券组合的期望回报率越大越好，回报率的方差越小越好。

一般地，仅仅用证券组合的期望回报率和回报率的方差并不能包含经济行为主体投资行为所需的全部信息。但是马可维茨通过效用函数和投资回报率的分布作了相应假设之后证明，经济行为主体的期望效用能够仅仅表示为证券组合的期望回报率和回报率的方差的函数。注意：对于任意的分布和效用函数，期望效用并不能仅仅由证券组合的期望回报率和方差这两个元素来描述。所以均值－方差分析的运用是存在限制条件的。首先注意：我们的经济主体分为筹资者和投资者，现在仅研究投资者的效用最大化问题。筹资者的效用最大化类似。max

u(c0

,

c1

)为了分析的方便，我们将做两个假设：（1）投资者的效用仅取决于时期1消费的效用；（2）时期1的禀赋为0。由假设（1），U（C0，C1）=U（C1），可以推出投资者在时期0必然不消费，而会将时期0的收入w0

全部用于投资；由假设（2），时期1的消费取决于投资的收益。在时期0用w0买第i个证券，在时期1的收益为

W0

·(1+

rˆi

)

Wˆ

，一般地，用w0买证券组合p，在时期1的收益为W0

·(1+rˆp

)

Wˆ

。补充内容：泰勒公式-----高阶导数的作用泰勒公式的由来：来看函数求值的一个近似方法。根据函数的微分f¢(x0)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0)(当|x-x0|很小时)，得到求f(x)的近似公式f(x)»f(x0)+f

¢(x0)(x-x0) (当|x-x0|很小时)，其误差为f(x)-f(x0)-f

¢(x0)(x-x0)。该近似公式的不足：精确度不高。泰勒公式如果函数f(x)在含有x0

的某个开区间(a，b)内的高阶导数存在，则当x

在(a，b)内时，f(x)可以表示为：+nn!2!+

0

(x-x0) +f

(n)(x

)20f

"(x0)f

(x)

=

f

(x0)+

f

'(x0)(x-x0)+

(x-x

)称为f(x)

在x0的泰勒展开。++

+2!

n!e

=1+

x

+例 求函数f(x)＝ex在x0＝0点的泰勒展开式解：∵f'(x)＝f"(x)＝…＝f(n)(x)＝ex∴f(0)＝f'(0)＝f"(0)＝…＝f(n)(0)＝1于是，ex在x0

＝0点的泰勒展开式为：x2

xnx在上式中，令x＝1，可得求e的近似公式e

=

1

+

1

+

1

+

+

1

+

2!

n!效用函数的泰勒展开式个体的初始财富为W0

全部用于投资证券组合，时(

)231ˆˆ

ˆ2!1ˆ

ˆ

ˆn(

n)(

n)])

Wn!¥(期望的财富)周围展开可得u(Wˆ

)

=

u(E[Wˆ

])

+u¢(E[Wˆ

])(Wˆ

-

E[Wˆ

]¢+

u

(E[W-

E[W]

+

R3

(W

-E[W]),u

表示u的第n阶导数。其中R

=

u

(E[W])n=3ˆ期1的禀赋为零，他通过投资来最大化时期1的财富W带来的期望效用（字母上方有弯的符号，表示它是随机取值的数）,效用函数

u(Wˆ

)

在

Wˆ

的期望值

E(Wˆ)类似地可以计算9000的效用，自己练一下。(

)(

)2323ˆˆ

1

2!12!例如：初始财富为10000，投资带来的结果是

11000或9000，概率各为1/2，因此时期1期望的财富为10000，而11000的效用等于：u(11000)

=

u(E[Wˆ

])

+

u¢(E[Wˆ

])

11000

-

E[Wˆ

]¢+u

(E[W

])

11000

-

E[W

]+

R=

u(10000)

+

u¢(10000)

(11000

-10000)¢+

u

(10000) 11000

-10000+

R两边取数学期望，得到经济主体期望效用函数为其中，E[R3

]项表示经济行为主体的期望效用并不能仅仅由对时期1财富的均值和方差这两个元素完全刻画的部分。可见，通过泰勒展开式发现运用均值－方差有局限性。23221ˆˆ2!

1ˆ

ˆ(n)nn=3

n!E[u(Wˆ

)]

=

u(E[Wˆ

])

+

u

¢(E[W])s

(W

)

+

E[R

]s

=

E(W

-

E[W

])

,

E[R3

]

=u

(E[Wˆ

])E(Wˆ

-

E[Wˆ

])¥其中u(E[Wˆ

])为常数,u¢(E[Wˆ

])(E[Wˆ

]-E[Wˆ

])=0,我们把方差称为二阶中心矩，因为是随机变量偏离均值这个中心的二次方的期望值。而把E(Wˆ

-E[Wˆ

])n

称为n阶中心矩。

可见经济行为主体的期望效用并不能仅仅由对时期1财富的均值和方差这两个元素完全刻画，而应该包括泰勒展开式的高阶中心矩（

n阶的n>2）部分。s

2

=

E(Wˆ

-

E[Wˆ

])2均值－方差分析方法•

有时候，经济行为主体的期望效用函数可以只由时期1的财富的期望（均值）和方差来刻画。这被称为均值－方差分析方法。什么时候呢？均值－方差分析方法的使用条件和范围考察未来回报分布为任意分布的情况此时为了使经济行为主体的偏好能够为均值和方差完全刻画，我们必须假定经济行为主体的效用函数是一个二次型效用函数，即经济行为主体的效用函数可以表达。为此时u(z)

=

z

-(b

2)z

2E[R3

]

=

0易得，经济行为主体的期望效用可以由时期1的财富变量的期望和二阶中心矩来定义E[u(Wˆ

)]

=

E[Wˆ

]-

b

(E[Wˆ

])2

-

b

s

2

(Wˆ

)2

2但二次型效用函数对于经济行为主体的偏好关系的刻画也存在着以下两个主要的缺点：第一，二次型效用函数显示经济行为主体对于财富具有满足性，即个体效用存在着极大值，超过这点之后，边际效用为负。第二，递增的绝对风险厌恶与现实中经济行为主体行为存在矛盾。考察经济行为主体的效用偏好为任意偏好的情况ˆ21/

2jj

j!

[s

2

(Wˆ

)]1/

2E[Wˆ

-

E[W

]]

=

(

2)!j为偶数在任意偏好的情况下，如果三阶及三阶以上高阶矩可以表示为均值和方差的函数，则我们就可以使用均值－方差分析来考察经济行为主体的效用函数。在财富是正态分布的条件下，前面泰勒展开式的三阶及三阶以上高阶矩可以表示为一阶矩和二阶矩（均值和方差）的函数。因此，E[u(Wˆ)]

就可以完全地由均值和方差表示。因为

0

j为奇数而财富其分布情况取决于证券组合的回报率。这样，如果所有证券回报率满足正态分布（可推导出：证券组合的回报率也满足正态分布），经济行为主体的效用函数就都可以由时期1的回报率的期望和方差来刻画。Wˆ

=W0

·(1+

rˆp

)这种情况，均值和方