《可化为一元一次方程的分式方程》复习巩固基础提高知识点讲解及练习题解析

PAGE可化为一元一次方程的分式方程巩固练习（基础）【巩固练习】一.选择题1．下列关于的方程中，不是分式方程的是（）A． B．C． D．2．解分式方程，可得结果()．A. B. C. D.无解3．要使的值和的值互为倒数，则的值为()．A.0 B.－1 C. D.14．已知，若用含的代数式表示，则以下结果正确的是()．A. B. C. D.5．若关于的方程有增根，则的值为()．A.3 B.1 C.0 D.－16．（2014秋•汉阳区期末）一项工程需在规定日期完成，如果甲队独做，就要超规定日期1天，如果乙队单独做，要超过规定日期4天，现在由甲、乙两队共做3天，剩下工程由乙队单独做，刚好在规定日期完成，则规定日期为（） A．6天 B． 8天 C． 10天 D．7.5天二.填空题7.当＝______时，分式与的值互为相反数．8．仓库贮存水果吨，原计划每天供应市场吨，若每天多供应2吨，则要少供应______天．9．（2015•枣庄校级一模）方程：=1﹣的根是．10．当＝______时，关于的方程的根是1．11．若方程有增根，则增根是______．12．关于的方程的解是负数，则的取值范围为____________．三.解答题13.（2015•贺州）解分式方程：=﹣．14.甲、乙两地相距50，A骑自行车，B乘汽车，同时从甲城出发去乙城．已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，B中途休息了0.5小时还比A早到2小时，求自行车和汽车的速度．15.有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数．【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】C选项中分母不含有未知数，故不是分式方程.2.【答案】D；【解析】是原方程的增根.3.【答案】B；【解析】由题意，化简得：解得.4.【答案】C；【解析】由题意，化简得：，所以选C.5.【答案】A；【解析】将代入，得.6.【答案】B；【解析】解：设工作总量为1，规定日期为x天，则若单独做，甲队需x+1天，乙队需x+4天，根据题意列方程得：3（+）+=1，解方程可得x=8，经检验x=8是分式方程的解，故选B．二.填空题7.【答案】18；【解析】，解得.8.【答案】；【解析】原计划能供应天，现在能供应天，则少供应天.9.【答案】x=3；【解析】解：去分母得：3﹣x=x﹣4+1，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．故答案为：x=310.【答案】；【解析】将代入原方程，得，解得.11.【答案】；【解析】原方程化为：，解得，经检验是增根.12.【答案】a＜1且a≠0；【解析】解：方程去分母得，a=x+1，

解得，x=a-1，

∵x＜0，

∴a-1＜0即a＜1，

又a≠0则a的取值范围是a＜1且a≠0．三.解答题13.【解析】解：原方程可化为：=﹣，两边同时乘以（2x+1）（2x﹣1）得：x+1=3（2x﹣1）﹣2（2x+1），x+1=6x﹣3﹣4x﹣2，解得：x=6．经检验：x=6是原分式方程的解．∴原方程的解是x=6．14.【解析】解：设自行车的速度为，汽车的速度为，由题意，得，解方程，得经检验，是原方程的根，.所以自行车的速度为12，汽车的速度是30.答：自行车的速度为12，汽车的速度是30.15.【解析】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，得．解方程，得．经检验：是原方程的根．所以个位上的数字为：＝3＋1＝4．所以这个两位数是：3×10＋4＝34．答：这个两位数是34．

《可化为一元一次方程的分式方程》知识讲解（基础）【学习目标】1.了解分式方程的定义，根及增根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2.会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】【高清课堂405788分式方程的解法及应用知识要点】要点一、分式方程、根与增根1.分式方程分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.2.分式方程的根、增根及检验分式方程的解也叫作分式方程的根．在检验时只要把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于O，那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为O，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增根．要点诠释：（1）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．

（2）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．要点二、分式方程的解法1.解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.2.分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.要点诠释：1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这五5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．

2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．【典型例题】类型一、判别分式方程 1、下列方程中，是分式方程的是（）．A．B．C．D．，（，为非零常数）【答案】B；【解析】A、C两项中的方程尽管有分母，但分母都是常数；D项中的方程尽管含有分母，但分母中不含未知数，由定义知这三个方程都不是分式方程，只有B项中的方程符合分式方程的定义．【总结升华】要判断一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知数．类型二、解分式方程 2、解分式方程（1）；（2）．【答案与解析】解：（1），将方程两边同乘，得．解方程，得．检验：将代入，得．∴是原方程的根．（2），方程两边同乘以，得．解这个方程，得．检验：把代入最简公分母，得2×5×1＝10≠0．∴原方程的解是．【总结升华】将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项．特别提醒：解分式方程时，一定要检验方程的根．举一反三：【变式】解方程：．【答案】解：，方程两边都乘，得，解这个方程，得，检验：当时，，∴是增根，∴原方程无解．类型三、分式方程的增根【高清课堂405788分式方程的解法及应用例3（1）】3、（2015春•安岳县期中）若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值．【思路点拨】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．【答案与解析】解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得2（x+2）+mx=3（x﹣2）∵最简公分母为（x+2）（x﹣2），∴原方程增根为x=±2，∴把x=2代入整式方程，得m=﹣4．把x=﹣2代入整式方程，得m=6．综上，可知m=﹣4或6．【总结升华】增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．举一反三：【变式】如果方程有增根，那么增根是________．【答案】；提示：因为增根是使分式的分母为零的根，由分母或可得．所以增根是．类型四、分式方程的应用4、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?【思路点拨】本题的等量关系为：甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．【答案与解析】解：设甲班每小时种棵树，则乙班每小时种棵树．由题意可，得，解这个方程，得．经检验是原方程的根且符合题意．所以(棵)．答：甲班每小时种20棵树，乙班每小时种22棵树．【总结升华】解此题的关键是设出未知数后，用含的分式表示甲、乙两班种树所用的时间．举一反三：【变式】（2015•十堰）在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区900米长的污水管道改造任务．工程队在改造完360米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？【答案】解：设原来每天改造管道x米，由题意得：+=27，解得：x=30，经检验：x=30是原分式方程的解，（1+20%）x=1.2×30=36．答：引进新设备前工程队每天改造管道36米．

可化为一元一次方程的分式方程（提高）巩固练习【巩固练习】一.选择题1．下列关于的方程中，是分式方程的是（）A． B．C． D．2．若分式方程的解为则等于（）A． B．5 C． D．－53.（2015•海伦市校级模拟）若关于x的分式方程﹣1=无解，则m的值为（） A．﹣l．5 B. 1 C.﹣l．5或2 D. ﹣0.5或﹣l．54．若关于的方程有增根，则的值是（）A．3 B．2C．1 D．－15．将公式（均不为零，且）变形成求的式子，正确的是（）A． B．C． D．6．若关于的方程有正数解，则()．A.＞0且≠3 B.＜6且≠3C.＜0 D.＞6二.填空题7．当＝______时，方程的解为1．8．（2015春•抚州期末）已知关于x的方式方程=2﹣会产生增根，则m=．9．关于的方程的解为______．10．一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它在江水中航行时，江水的流速为千米/时，则它以最大航速顺流航行千米所需的时间是______．11．某人上山，下山的路程都是，上山速度，下山速度，则这个人上山和下山的平均速度是______．12．若一个分数的分子、分母同时加1，得；若分子、分母同时减2，则得，这个分数是______．三.解答题13.已知关于的方程有一个正数解，求的取值范围．14.甲工人工作效率是乙工人工作效率的倍，他们同时加工1500个零件，甲比乙提前18个小时完工，问他们每人每小时各加工多少个零件?15.（2015•沈阳）高速铁路列车已成为中国人出行的重要交通工具，其平均速度是普通铁路列车平均速度的3倍，同样行驶690km，高速铁路列车比普通铁路列车少运行了4.6h，求高速铁路列车的平均速度．【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.2.【答案】B；【解析】原式化简为，将代入解得.3.【答案】D；【解析】解：方程两边同乘x（x﹣3），得x（2m+x）﹣（x﹣3）x=2（x﹣3）（2m+1）x=﹣6x=﹣=0或x=3，x=3时，m=﹣，或2m+1=0，解得m=﹣．故m的值为：﹣或﹣．故选D.4.【答案】B；【解析】将代入，解得.5.【答案】A；【解析】，所以.6.【答案】B【解析】原方程化简为，，，解得＜6且≠3.二.填空题7.【答案】；【解析】将代入，解得.8.【答案】-1；【解析】解：去分母得：x﹣3=2x﹣4+m，由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，把x=2代入整式方程得：m=﹣1，故答案为：﹣1．9.【答案】；【解析】原方程化简为，所以.10.【答案】；11.【答案】；【解析】由题意上山和下山的平均速度为：.12.【答案】；【解析】设这个分数为，，，解之得：，所以这个分数是.三.解答题13.【解析】解：方程两边同乘约去分母，得．整理，得．∵∴解得且，∴当且时，原方程有一个正数解．14.【解析】解：设乙工人每小时加工个零件，甲工人每小时加工个零件，由题意，得：整理得，，解得.经检验，是原方程的根..答：甲工人每小时加工125个零件，乙工人每小时加工50个零件.15【解析】解：设高速铁路列车的平均速度为xkm/h，根据题意，得：，去分母，得：690×3=690+4.6x，解这个方程，得：x=300，经检验，x=300是原分式方程的解，答：高速铁路列车的平均速度为300km/h．

可化为一元一次方程的分式方程（提高）【学习目标】1.了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2.会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.【典型例题】类型一、判别分式方程 1、（2014春•北湖区校级月考）下列关于x的方程，是分式方程的是（） A．B． C． D．=1﹣【答案】D．【解析】解：A、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；B、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；C、方程分母中不含表示未知数的字母，π是常数；D、方程分母中含未知数x，故是分式方程．故选D．【总结升华】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．类型二、解复杂分式方程的技巧 2、解方程：．【答案与解析】解：方程的左右两边分别通分，得，∴，∴，∴，或，由，解得，由，解得．经检验：，是原方程的根.【总结升华】若用常规方法，方程两边同乘，去分母后的整式方程的解很难求出来．注意方程左右两边的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右两边分别通分的方法来解．举一反三：【变式】解方程．【答案】解：移项得，两边同时通分得，即，因为两个分式分子相同，分式值相等，则分式分母相等．所以，，，，∴．检验：当时，．∴是原方程的根．类型三、分式方程的增根3、（1）若分式方程有增根，求值；（2）若分式方程有增根，求的值．【答案与解析】解：（1）方程两边同乘，得．∴．∴．由题意知增根为或，∴或．∴或．（2）方程两边同乘，得．∴．∴．∵增根为，∴．∴．【总结升华】(1)在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根．在分式方程中，使最简公分母为零的根是原方程的增根；(2)这类问题的解法都是首先把它