第一章·有理数·第3课时·有理数的加减乘除乘方

初中数学第一章《有理数》“有理数的加减乘除乘方”培训教程知识点精讲第一节：有理数的加法和减法小学数学中，我们学习的数的运算其实就是包括正整数、正分数和0在内的加减乘除运算，在中学数学，学习了负数之后，我们所学的数的运算范围进一步扩展到包括负整数、负分数在内的有理数的加减乘除运算。有理数的加法不仅有正数之间，还有负数之间以及正数、负数之间相加。问(1)：有理数加法法则是如何规定的？答：有理数相加法则，有以下规定：①符号相同的两数相加，取相同的符号，再把这两个数的绝对值相加；比如：+===10；(－)+(－)=－(+)=－()=－=－10。②符号不相同，绝对值不相等的两数相加，取绝对值较大的数的符号，再用较大数的绝对值减去较小数的绝对值；比如：—21+35=35—21=14；(－)＋=－＋=－(－)=－。③互为相反数的两个数相加得0；比如：－+=－+=－=0；－89+89=89－89=0。④任意一个数同0相加，仍得这个数。问(2)：有理数加法遵循什么运算规律？答：有理数加法和小学加法运算一样，有以下运算规律：①加法交换律：两个数相加，交换被加数和加数的位置，和不变。即：a+b=b+a。②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即：(a+b)+c=a+(b+c)。在学习了负数之后，有理数的减法不仅有正数之间相减，还有负数之间以及正数、负数之间相减。问(3)：有理数减法法则是如何规定的？答：有理数相减法则，有以下规定：①减去一个数，等于加上这个数的相反数，即：a－b=a＋(－b)。依据这条法则，可以把有理数减法转化为有理数加法，再运用有理数加法法则和运算规律运算。比如：(－43)－（－75）=(－43)+75=75－43=3289－(－11)=89+11=100(－)－=(－)＋(－)=－(＋)=－=－=－=－2②任意两个相等的数相减都得0。③任意一个数减去0，仍得这个数。0减去任意一个数，得数是这个数的相反数。比如：32－0=32，－－0=－，0－32=－32，0－(－)=。问(4)：有理数减法运算时，能直接运用加法的交换律和结合律吗？答：进行有理数减法运算时，不能直接运用加法的交换律和结合律，必须把有理数减法转化为有理数加法之后，再运用加法的交换律和结合律，否则，运算结果会出错。比如：两个数a、b相减，若直接运用交换律，代入任意数据可以验证：a－b≠b－a。三个数a、b、c相减，若直接运用结合律，代入任意数据可以验证：(a－b)－c≠a－(b－c)。单一的有理数的相加或相减运算之外，还有较复杂的有理数的加减混合运算。问(5)：如何进行有理数的加减混合运算？答：①直接按加减排列顺序运算。②分组结合运算。依据有理数减法法则“减去一个数，等于加上这个数的相反数”，先把运算式中的有理数减法转化为有理数加法，按加法结合律，先把其中“互为相反数”的数先相加，再正数一组和负数一组相加。最后把各组得数相加。【例1】计算：－3+－3+3－3。分析：此题可直接按数的加减排列顺序运算，也可把运算式中的有理数减法转化为有理数加法运算，再分组结合相加。两种方法都可以。解法1：按运算式中加减的排列顺序运算。原式=－2+－3+3－3=－2+1－3+3－3=－1－3+3－3=－4+3－3=－1－3=－5解法2：把运算式中的有理数减法转化为有理数加法，再分组结合相加。原式=＋(－3)+＋(－3)＋3＋(－3)=(+)+[(－3)＋(－3)]=(－3+3)+(+)+[(－)＋(－)]=0++[－]=2+(－7)=－5第二节：有理数的乘法和除法在学习了负数之后，有理数的乘法不仅有正数之间相乘，还有负数之间以及正数、负数之间相乘。问(1)：有理数乘法法则是如何规定的？答：有理数相乘法则，有以下规定：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。比如：×=，(－)×(－)=,88×7.25=638；（－1）×=－，×(－1.)=×(－1)=－，×(－198)=－26。注：－1.是无限循环小数，－1.=－1，化成分数后再相乘。②任何数同1相乘，都等于它本身。任何数同－1相乘，都等于它的相反数。③任何数同0相乘，都得0。④两数相乘，可以带“×”号，或用“·”号代替；代表数的字母相乘可以省略“×”或“·”号，直接相乘。问(2)：有理数乘法遵循什么运算规律？答：有理数乘法和小学乘法运算一样，有以下运算规律：①乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积依然相等。即：ab=ba。②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积依然相等。即：(ab)c=a(bc)。③乘法分配律：一个数同两个或两个以上数的和相乘，等于把这个数分别同这些数相乘，再把积相加，积依然相等。即：a(b+c)=ab+ac或a(b－c)=ab－ac。在学习了负数之后，不仅正数之间可以互为倒数，负数之间也可以互为倒数。问(3)：如何判断两个数互为倒数？答：乘积是1的两个数互为倒数，即：若a×b=1，则a、b互为倒数。a、b是除“0”之外的任意正数或负数。比如：×=1，则、互为倒数。×9=1，则、9互为倒数。(－)×(－)=1，则－、－互为倒数。(－)×(－9)=1，则－、－9互为倒数。问(4)：0有倒数吗？答：因为0和任意数的乘积都是0，所以0没有倒数。问(5)：如何求任意一个非0数的倒数？答：依据倒数的定义，已知任意一个非0数，用1除以这个数，得数就是这个数的倒数。即：若已知数a和b，a≠0，b≠0，则其倒数分别为和。在学习了负数之后，有理数的除法不仅有正数之间相除，还有负数之间以及正数、负数之间相除。问(6)：有理数除法法则是如何规定的？答：有理数相除法则，有以下规定：①除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，即：a÷b=a×（b≠0）。规定：两数相除，除数不能为0。依据这条法则，就可以把有理数的除法转化为有理数的乘法，再运用有理数乘法法则和运算规律运算。比如：8÷=8×=14，(－8)÷(－)=(－8)×(－)=14②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。比如：(－)÷(－3)=÷3=×=(同号相除得正)÷(－3)=－(÷3)=－(×)=－（异号相除得负）③任意两个不为0的相等的数相除都等于1。④0除以任意一个不等于0的数，都得0。⑤两数相除，可以把算式改写成分数的形式，被除数为分子，除数为分母，即：a÷b==a×（b≠0）。问(7)：有理数除法运算时，能运用交换律、结合律和分配律吗？答：进行有理数除法运算时，不能直接运用交换律、结合律和分配律，必须先把有理数除法转化为有理数乘法，再运用乘法的交换律、结合律和分配律。否则，运算结果会出错。比如：两个数相除，若直接运用交换律，代入任意数据可以验证：a÷b≠b÷a。三个数相除，若直接运用结合律，代入任意数据可以验证：(a÷b)÷c≠b÷(a÷c)。一个数同两个或两个以上数的和相除，若直接运用分配律，代入任意数据可以验证：a÷(b+c)≠a÷b+a÷c，a÷(b－c)≠a÷b－a÷c。单一的有理数的相乘或相除运算之外，还有较复杂的有理数的乘除混合运算。问(8)：如何进行有理数的乘除混合运算？答：①直接按乘除排列顺序运算。②分组结合运算。依据有理数除法法则“除以一个不等于0的数，等乘以这个数的倒数”，先把运算式中的有理数除法转化为有理数乘法，按乘法结合律，先把其中“互为倒数”的数为一组相乘，再把分子或分母相乘能约分的数为一组相乘，即分组相乘，最后把得数相乘即可。【例2】计算：3×(-)÷×(－1)÷13。分析：此题有两种解法。一是直接按运算式中数的乘除排列顺序运算；二是先把其中的有理数除法转化为有理数乘法后，再分组相乘。解法1：按运算式中乘除的排列顺序运算。原式=×(-)÷×(－)÷13=(-)÷×(－)÷13=(-)××(－)÷13=(-)×(－)÷13=÷13=×=解法2：把运算式中的有理数除法转化为有理数乘法后，分组相乘。原式=×(-)××(－)×=(-)×(－)×(×)×=1××=×=第三节：有理数的乘方如果把n个相同因数连续相乘，就得到了不同于加减乘除运算的一种新的运算形式——乘方。问(1)：什么是乘方？答：n个相同因数a的乘积运算，即a·a·…·a，叫做乘方。乘方运算的结果叫做幂，读作“a的n次方”或“a的n次幂”。a是底数。n是幂指数，n是正整数。所以，乘方用等式表示为：a·a·…·a=。注：幂中的幂指数n表示底数a的个数，所以n是正整数。单独的一个数或字母也可以写成幂的形式。比如：3=3，a=a。幂指数1可以省略不写。问(2)：乘方运算的结果是如何得出的？答：由乘方的定义可知：两个相同因数a的乘积运算，即：a·a=a，幂指数2相当于两个幂指数1相加。即：a·a=a·a===a3个相同因数a的乘积运算，即：a·a·a=a，幂指数3相当于三个幂指数1相加。即：a·a·a=a·a·a==a。依此类推，……。n个相同因数a的乘积运算，即：a·a·…·a，幂指数n相当于n个幂指数1相加。即：a·a·…·a=a·a·…·a==。乘方就是n个相同因数的乘积运算。所以，有理数的乘法法则和运算规律同样适合乘方运算。问(3)：乘方运算法则是如何规定的？答：①幂指数n是几，就把幂化成几个相同因数a的乘积形式，再运用有理数的乘法法则和运算规律运算。如：=3·3·3·3·3=243，(－2)=(－2)·(－2)·(－2)=－8，()=···=，()=()·()·()=－。②正数的任意正整数次幂都是正数。如：2=8，=243，=，。③负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。如：(－2)=－32，=，(－5)=625，。④0的任意正整数次幂都是0。即：=0。第四节：有理数的混合运算有理数的加减乘除乘方混合运算是有理数运算法则的综合运用。问(4)：如何进行有理数的加减乘除乘方混合运算？答：①运算式中若无括号，直接按“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序运算。②运算式中若有括号，通常要先去括号。去括号时，按小括号、中括号、大括号的顺序依次去括号。括号内、外的运算，都按“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序运算。【例3】计算：{[×18－]÷+[(－5)×+4]}－30。分析：此题属于有理数的加减乘除乘方混合运算。运算式中有括号，按小括号、中括号、大括号的顺序依次去括号。括号内、外的运算，都按“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序运算。解：原式={[×18－]÷+[25×+4]}－30={[2－]÷+[20+4]}－30={÷+24}－30={15+24}－30=39－30=9【例4】计算(－＋)×60的值。分析：此题有两种解法。一是依据有理数乘法的分配律，把60分别同中括号内的三个数相乘，去括号把积相加，得出运算结果。二是先进行中括号内的加减运算，再把结果同60相乘。解法1：原式=[＋(－)＋]×60=×60＋(－)×60＋×60=15＋(－12)＋20=15－12＋20=3＋20=23以上运算过程可以简化为：原式=×60－×60＋×60=15－12＋20=3＋20=23注：先要保证不违背有理数的运算法则和规律，才可以简化运算过程。省略其中的“+”号，简化了运算过程，但不违背有理数的运算法则和规律，运算结果正确。解法2：原式=(－＋)×60=(－＋)×60=(＋)×60=×60=23典型题型精编解析选择题：1.下列结论中错误的是（）A.－5－(－6)＋7不能应用加法的交换律和结合律B.－3、－7、8、12加减混合运算的最大值是24，最小值是－30C.若a和b都是c的相反数，则a＋b＋c=a=bD.4－2＋－5=4＋(－2)＋＋(－5)=4＋＋(－2)＋(－5)应用了加法的交换律和结合律【答案】D【解析】－5－(－6)－7是加减混合形式，不能直接应用加法的交换律和结合律。转换成加法形式(－5)＋6＋(－7),才能应用。故A项正确(－3)－(－7)＋8＋12=24，最大值是24，(－3)＋(－7)－8－12=－30，最小值是－30。故B项正确。互为相反数的两数之和为0，则a＋c=0，b＋c=0。代换得：a＋b＋c=a＋0=a，a＋b＋c=b＋0=b，即a＋b＋c=a=b。故C项正确。D项应用了加法的交换律，没有运用结合律。结合律应加括号分组写成：（4＋）＋[(－2)＋(－5)]。2.若|b＋3|和(2a－4)是相反数，则ab的值为（）A.8B.－8C.－6【答案】C【解析】|b+3|和(2a－4)都是非负数，即0或正数。正数和正数之间不存在相反数。0的相反数是0，满足已知条件。则：b+3=0，2a-4=0，解得a=2，b=－3，所以ab=－63.下列选项中正确的是（）A.(－12)÷(－5)得数一定是正数B.(－9)×24=(－9－)×24=(－9)×24－×24运用的是乘法分配律C.a÷b÷c=a÷(b÷c)=a÷(b×)=a÷运用的是除法结合律D.若m和n既互为倒数，又互为相反数，则m＋n－mn＋1=1【答案】B【解析】49是奇数，负数的奇次幂一定是负数。48是偶数，负数的偶次幂一定是正数。负数除以正数，得数一定是负数。故A项错误。B项运用了乘法结合律，简化了运算。故B项正确。没有除法结合律。只有把除法转化为乘法，才能运用乘法结合律。故C项错误。D项中，m和n互为倒数，则mn=1。m和n又互为相反数，则m＋n=0。所以m＋n－mn＋1=0－1＋1=0。故D项错误。4.若有理数a、b、c满足等式|a－1|＋|b＋3|＋(3c－1)=0，则(abc)÷(abc)的值等于（）A.－1B.C.1D.－【答案】D【解析】|a－1|、|b＋3|、(3c－1)都是非负数，要使已知等式成立，则|a－1|、|b＋3|、(3c－1)同时都等于0，即a－1=0，b＋3=0，3c－1=0，解得a=1，b=－3，c=。代入已知式子得：(abc)÷(abc)=[1·(－3)·]÷[1·(－3)·()]=[(－3)·]÷[1·(－27)·]=[－1]÷[(－27)·]=1÷(－3)=－。填空题：1.计算：(1)1－2＋3－4＋5－6＋…＋199－200=_________；(2)98＋94＋90＋86＋…＋2－100－96－92－88－…－4=_________。【答案】(1)1－2＋3－4＋5－6＋…＋199－200=－100；【解析】这200个数中，每两个数相减，得数都为－1，这样的两个数共有100对。∴该式=(1－2)＋(3－4)＋(5－6)＋…＋(199－200)，=(－1)＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)，=100·(－1)，=－100。(2)98＋94＋90＋86＋…＋2－100－96－92－88－…－4=－50。【解析】可把已知式中的数写成正数和负数两组相加的形式：该式=(98＋94＋90＋86＋…＋2)＋(－100－96－92－88－…－4)。其中，98＋94＋90＋86＋…＋2，从第二个数开始，每一个数减前一个数，差都等于－4。经验证：这组数的个数=＋1=＋1=25个。其中，－100－96－92－88－…－4，从第二个数开始，每一个数减前一个数，差都等于4。经验证：这组数的个数=＋1=＋1=25个。∴该式共有25＋25=50个数。观察该式，发现规律：正负每两个数一对相加，得数都为－2，共25对。∴该式=(98－100)＋(94－96)＋(90－92)＋(86－88)＋…＋(2－4)，=(－2)＋(－2)＋(－2)＋…＋(－2)，=25·(－2)，=－50。2.观察排列的数：-1 2   -3   4 -5    6   -7   8   -9 10  -11  12  -13  14  -15  16 按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9 个数是_______。【答案】90【解析】如图，以横向为行，以竖向为列。由已知发现规律：从第2行起，每行数的个数都比上一行增加两个数。即：每行数的个数分别为1,3,5,7,9,…，2n－1。则：第10行有2×10－1=19个数。第10行从左边数第9个数在中间第10个数的左侧，其对应的数列为：2，6,12，…，共9行。从中发现规律：中间的一列数，从上至下，2加4得到6，6加6得到12，不断增加，得到下一个数。依次类推，到第9行得到的数90。3.一个大长方形被分成8个小长方形，其中有5个小长方形的面积如图中的数字所示，填上表中所缺的面积数，这个大长方形的面积为_______。【答案】S大长方形=96【解析】如图，设表中所缺的小长方形面积为S、S、S，小长方形的长分别为x、x，宽分别为y、y、y、y。S长方形=长×宽。则：S=xy，S=xy，S=xy。由已知小长方形面积得：x·y=10①，x·y=18②，x·y=9③，x·y=15④，x·y=6⑤。由①得：x=，则S=xy=·y=10·。由②③得：x==，即：==。∴S=10·=5。由x=代换得：S=·y=10·。由②⑤得：x==，即：==。∴S=10·=。由②得：x=，则S=xy=·y=18·。由①④得：x==，即：==。∴S=18·=27。∴S=9，S=，S=27。S大长方形=10＋9＋15＋＋18＋9＋27＋6=96。4.已知：a=－3＋6，b=×(－5)，c=(－4)÷(－2)，d=(－1)－(－2)。则：a×b×c÷d=________。【答案】【解析】按有理数的加减乘除乘方法则，由已知分别求得：a=6－3=，b=－（×5）=－，c=(－3)÷(－2)=÷=×=，d=1－(－8)=－7。注：(－1)相当于4个－1连续相乘，(－2)相当于3个－2连续相乘。则：a×b×c÷d=×(－)×÷(－7)=×(－)××(－)=[×(－)]×[×(－)]=(－10)×(－)=。注：化成乘积的形式后，依据乘法的结合律，4个数可以两