六年级数学思维阶梯讲义

第一周定义新运算

知识要点5

定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的

一种运算。

解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义

的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，

如：*、等，这是与四则运算中的“△、#、*、•”不同的。

新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于

各种运算定律的。

______________________________________________________________________

思维

思维①阶

假设a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*(5*4)。

【思维导航】

13*5=(13+5)+(13-5)=18+8=26

5*4=(5+4)+(5-4)=10

13*(5*4)=13*10=(13+10)+(13-10)=26

【思维发散1】

L.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)X(a-b).求27*9。

2.设a*b=a2+2b,那么求10*6和5*(2*8)。

3.设a*b=3a—；Xb,求(25*12)*(10*5)。

乙

思维②阶

设P、q是两个数，规定：pAq=4Xq-(p+q)-?2求3/\(4z^6).

【思维导航】

3A(4A6).

=3A[4X6-(4+6)4-2]

=3A19

=4X19—(3+19)4-2

=76-11

=65

【思维发散2】

1、设p、q是两个数，规定pz^q=4Xq—(p+q)4-2,求54(6A4)O

2、设p、q是两个数，规定pZ\q=p''+(p—q)X20求30A(5A3)O

、几口力人w,miMN41

3、设M、N是两个数,规定|3二N+k求10*20-

思维③阶

如果1*5=1+11+111+1111+11111,2*4=2+22+222+2222,3*3=3+33+333,

4*2=4+44o那么7*4=?,210*2=?

【思维导航】

7*4=7+77+777+7777=8638

210*2=210+210210=210420

【思维发散3】

1、如果1*5=1+11+111+1111+11111,2*4=2+22+222+2222,3*3=3+33+333,….

那么，4*4=?,18*3=?

2

2、规定a*b=a+aa+aaa+aaa+aaaa.....a,刃口么8*5=?(b-l)个a

3、如果2*1=；,3*2=与，4*3=£,那么(6*3)+(2*6)=?。

乙OO444

思维④阶

规定②=1X2X3,③=2X3X4,④=3X4X5,⑤=4X5X6,

能得XA,那么A是几？

【思维导航】

11、111、…⑦6X7X83

A=（z⑥飞）F（z⑥-豆）*⑦遹7H诟-1=5

【思维发散4】

1、规定：②=1X2X3,③=2X3X4,④=3X4X5,⑤=4X5X6,....

如果看一看得义人，那么A=?。

2、规定：③=2X3X4,④=3X4X5,⑤=4X5X6,⑥=5X6X7,….

如果看+一皿那么口=?。

3、如果1派2=1+2,2派3=2+3+4,….5X6=5+6+7+8+9+10,那么xX3=

54中，x=?

3

思维⑤阶

设a0b=4a-2b+Tab,求X。(401)=34中的未知数x。

【思维导航】

401=4X4-2X14X4X1=16

乙

1

XO16=4x-2X16+-XxX16

=12x-32

X=5.5

【思维发散5】

1、设aG)b=3a-2b,已知x。(401)=7求X。

2、对两个整数a和b定义新运算“▽"：aVb=———,求6V4+9

(a+b)X(a-b)

▽8°

3、对任意两个整数x和y定于新运算，“*"：x*y=/*(其中m是一个

mx+3y

确定的整数)。如果1*2=1,那么3*12=?

4

第二周简便运算(一)

知识要点〉

根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以

把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。

思维II阶梯

思维①阶

计算：4.75-9.63+(8.25-1.37)

【思维导航】

原式=4.75+8.25-9.63-1.37

=13-(9.63+1.37)

=13-11

=2

【思维发散1】

计算下面各题。

89、

1.6.73-2—+(3.27-1—)

717

3.14.15-(7--6—)-2.125

o20

思维②阶

计算：333387；X79+790X66661；

Lt4

【思维导航】

原式=333387.5X79+790X66661.25

=(33338.75+66661.25)X790

5

=100000X790

=79000000

【思维发散2】

计算下面各题：

114、椁

1、3.5X1-+125%+1-4--2975X0.25+X76-9.75

425

、

39~X425+4.254-^r4、0.9999X0.7+0.1111X2.7

560

思维③阶

计算：36X1.09+1.2X67.3

【思维导航】

原式=1.2X30X1.09+1.2X67.3

=1.2X(32.7+67.3)

=1.2X100

=120

【思维发散3】

计算：

1、45X2.08+1.5X37.62、52X11.1+2.6X778

3、48X1.08+1.2X56.84、72X2.09-1.8X73.6

思维④阶

计算：3|X25|+37.9X6|

6

【思维导航】

32

325

5-5-(25.4+12.5)X6.4

+25.4X6.4+12.5X6.4

=(3.6+6.4)X25.4+12.5X8X0.8

=254+80

=334

【思维发散4】

计算下面各题：

1371

U6.8X16.8+19.3X3.22、139X—+137X—

looloo

3、4.4X57.8+45.3X5.6

思维⑤阶

计算81.5X15.8+81.5X51.8+67.6X18.5

【思维导航】

原式=81.5X(15.8+51.8)+67.6X18.5

=81.5X67.6+67.6X18.5

=(81.5+18.5)X67.6

=100X67.6

=6760

【思维发散5】

1、53.5X35.3+53.5X43.2+78.5X46.5

2、235X12.1+235X42.2-135X54.3

3

3、3.75X735--X5730+16.2X62.5

O

第三周简便运算(二)

知识要点/〉

计算过程中，我们先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运

用乘法分配律来简算，这种思考方法在四则运算中用处很大。

思维①阶

计算：1234+2341+3412+4123

【思维导航】

注意到题中共有4个四位数，每个四位数中都包含有1、2、3、4这几个

数字，而且它们都分别在千位、百位、十位、个位上出现了一次，根据位值计数

的原则，可作如下解答：

原式=1X1111+2X1111+3X1111+4X1111

=(1+2+3+4)X1111

=10X1111

=11110

【思维发散1】

1、23456+34562+45623+56234+62345

2、45678+56784+67845+78456+84567

3、124.68+324.68+524.68+724.68+924.68

思维②阶

4

计算：2-X23.4+11.1X57.6+6.54X28

8

【思维导航】

原式=2.8X23.4+2.8X65.4+11.1X8X7.2

=2.8X(23.4+65.4)+88.8X7.2

=2.8X88.8+88.8X7.2

=88.8X(2.8+7.2)

=88.8X10

=888

【思维发散2】

1、99999X77778+33333X66666

2、34.5X76.5-345X6.42-123X1.45

3、77X13+255X999+510

思维③阶

g1993X1994-1

0^1993+1992X1994

【思维导航】

(1992+1)X1994—1

原式―1993+1992X1994

1992X1994+1994-1

1993+1992X1994

=1

【思维发散3】

计算下面各题:

362+548X361

,362X548-186

9

1988+1989X1987

1988X1989—1

204+584X1991

1992X584-380

思维④阶

有一串数1,4,9,16,25,36…….它们是按一定的规律排列的,那么其

中第2000个数与2001个数相差多少？

【思维导航】

20012-20002=2001X2000-2000^+2001

=2000X(2001-2000)+2001

=2000+2001

=4001

【思维发散4】

计算：

1.19912-199022.99992+199993.999X274+6274

思维⑤阶

255

l\-lz+

计算：（9y+79-z-x7-9-

【思维导航】

55

6-5lz-+-

原式=（y+9x79

=[65X（"+；）]・[5X（X）〕

10

=654-5

=13

【思维发散5】

计算下面各题:

1、（9+17）+哈444)

79

7195+妆）

2、(3n+1n)+(由

13

3、畸+36^)4-(32薨+联)

(oZo/ozb

11

第四周简便运算（三）

知识要点;〉

在进行分数运算时，除了牢记运算定律、性质外，还要仔细审题，仔细观察运算

符号和数字特点，合理地把参加运算的数拆开或者合并进行重新组合，使其变成符合

运算定律的模式，以便于口算，从而简化运算。

思维①阶

4415

计算：（1）—X37（2）27X—

【思维导航】

15

(1)原式=(1—77)X37(2)原式=(26+1)X

4b26

=26Xi15

X37H--

-1X37--47526

3715

=15^—

=37-石26

=36A15

45=15诟

【思维发散口

用简便方法计算下面各题:

14八211

1.­X82.X1263.35X

102536

&73Xm5,—X1999

12

思维②阶

计算：73mX-

【思维导航】

1

X

原式=(72+H)8-

1

116X-

=72X8*西8

八2

=9+一

15

【思维发散2】

计算下面各题:

1

-

11222X-

64x2

Ln920

111314

3.7X57-4.41-X-+51-X-

思维③阶

13

计算：-X27+-X41

55

【思维导航】

33

原式=]X9+|X41

55

3

=二X(9+41)

5

13

=二X50

5

=30

【思维发散3】

计算下面各题：

1.7X39+?X2715

2.~X35+TX17

4466

151

工XO

8-8-8-

思维④阶

55256

*I臬X-X-

+一+

VT6一9-

131813

【思维导航】

152565

原式X+X+-X-

-6一9-

13131813

1265

/++-XX-

-X(6_9-ZJ

1813

_135

X13

18

5

18

【思维发散4】

计算下面各题:

451133161

X+-X1X+X1+X

-__--一-

992>74767

17112

14

c5c16cli553171cl

xX3

3、-X79-+50X-+-X-4、n8+访X证+所2

思维⑤阶

计算：(1)166g4-411998

(2)1998・1998再

【思维导航】

解：⑴原式=(164+2*)4-411998X1999+1998

(2)原式=1998-

1999

41=1998^1998X2000

=1644-41+—4-41

.1999

1998X19"

=4+-=

201998X2000

11999

=4­

202000

【思维发散5】

计算下面各题:

223811

1、54-4-172、2384-238—3、163—4-41—

01o<5y

15

第五周简便运算（四）

知识要点:

前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面

再向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算。

运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。一

般地，形如XJ+1、的分数可以拆成1-4?；形如xJ+、的分数可以拆成工

x（i-4-），形如R的分数可以拆成14等等。同学们可以结合例题思考其

aa+naxbab

中的规律。

思维①阶

“歼1X22X33X499X100

【思维导航】

1111111

X+/\+zX+z)

一

一

-J|--7(-一I(

2Z\23x34Z+•\1

99X00

1111111

-1------H--------------H--------------+♦••+-----------------

2233499100

1

—1-------

100

99

-100

【思维发散口

计算下面各题：

1111

1.------4------4--------+・・・.+----------

4X55X66X739X40

16

11111

H-------------H---------------++

10X1111X1212X1313X1414X15

111111

工+++++

2-6-

11221031042

425672

1

人1+++

1-61

思维②阶

计算：-■-H-—+…..+

2X44X66X848X50

【思维导航】

1

一,2222X

原式=(----+-----+----+…+------21

方3'2X44X66X8-48X50

111

+z-1X

\(-12-

4850

=——]X-

zoUZ

6

=25

【思维发散2】

计算下面各题：

1111

1.------------H--------.+----------------

3X55X77X997X99

17

-I----------H---------------.+

1X44X77X1097X100

---H-----H------+•••,.+-------

1X55X99X1333X37

1111

生++++

4-2-O8-

2870

思维③阶

7315

计算:4

1220304256

【思维导航】

原式=1；11

+-)-(7+8)

67

11111111111

==1-----+-+---+-+

33445566778

=14

7

8

【思维发散3】

计算下面各题:

1579119111315

1、1-+-----------2、_|------------H---------------

2612203020304256

18

199819981998199819989cli

3、---------4~-----------++H----------4、6义访—X6+—X6

1X22X33X44X55X62030

思维④阶

11111

巢

计++++

2--4-8

3264

【思维导航】

原式=(-+-+-+—+—+—+—)---

回八'2481632646464

_63

-64

【思维发散4】

11

L+11

-2-4—+.....+---

8256

22

N-+-222

39H-----4-------4----------

2781243

3.9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6

思维⑤阶

11111111

计算：(1+―+—+-)X(~+—+~+-)—(1+-+-+-)x(-+-

导23423452345234)

19

【思维导航】

1

+Xb

a5-

=ab+=a—ab-Tb

55

=：(a—b)

5

【思维发散5】

1111111111

++++++

2-3-5-2-3-4-5-6_4-5-

1

一

一

3X1十++-X++-++

、2999222

20000020000000

11111

+++X++

2-2-922-

20000020)09900000

20

第六周转化单位"1"（一）

知识要电

把不同的数量当作单位“1”，得到的分率可以在一定的条件下转化。

如果甲是乙的;，乙是丙的三，则甲是丙的甥；如果甲是乙的［，则乙是甲的2；

bababa

如果甲林等于乙纥，则甲是乙的公*=前，乙是甲的LEF。

__________________________________________________________________________A

思维师帝

思维①阶

乙数是甲数的2鼻，丙数是乙数的4尚，丙数是甲数的儿分之儿？

35

【思维导航】

2v4__8_

3X5-15

【思维发散1】

1、乙数是甲数的一，丙数是乙数的三，丙数是甲数的儿分之儿？

45

2、一根管子，第一次截去全长的;，第二次截去余下的g,两次共截去全

长的几分之几？

3、一个旅客从甲城坐火车到乙城，火车行了全程的一半时旅客睡着了。他

醒来时，发现剩下的路程是他睡着前所行路程的;o想一想，剩下的路程是全程

的儿分之儿？他睡着时火车行了全程的儿分之儿？

21

思维②阶

14

修一条8000米的水渠，第一周修了全长的彳，第二周修的相当于第一周的£,

45

第二周修了多少米？

【思维导航】

14

解一：8000X-X-=1600（米）

14

解二：8000X（-X-）=1600（米）

答：第二周修了1600米。

【思维发散2】

用两种方法解答下面各题：

1、一堆黄沙30吨，第一次用去总数的:，第二次用去的是第一次的17倍、

54

第二次用去黄沙多少吨？

17

2、大象可活80年，马的寿命是大象的弓，长颈鹿的寿命是马的£,长颈鹿

No

可活多少年？

3、仓库里有化肥30吨，第一次取出总数的!，第二次取出余下的J,第二

53

次取出多少吨？

思维③阶

19

晶晶三天看完一本书，第一天看了全书的1,第二天看了余下的£,第二天

45

22

比第一天多看了15页，这本书共有多少页？

【思维导航】

191

解：154-[(1--)X---]=300(页)

454

答:这本书有300页。

【思维发散3】

1Q

1、有一批货物，第一天运了这批货物的彳，第二天运的是第一天的三，还

45

剩90吨没有运。这批货物有多少吨？

2、修路队在一条公路上施工。第一天修了这条公路的;，第二天修了余下

2

的鼻，已知这两天共修路1200米，这条公路全长多少米？

24

3、加工一批零件，甲先加工了这批零件的胃,接着乙加工了余下的《。已

59

知乙加工的个数比甲少200个，这批零件共有多少个？

思维④阶

男生人数是女生人数的£4,女生人数是男生人数的几分之几？

5

【思维导航】

46

解：把女生人数看作单位“1”。14--=-

54

把男生人数看作单位“1"。5+4=7

23

【思维发散4】

3

1、停车场里有小汽车的辆数是大汽车的1，大汽车的辆数是小汽车的儿分

之几？

2、如果山羊的只数是绵羊的T,那么绵羊的只数是山羊的儿分之儿？

3、如果花布的单价是白布的/倍，则白布的单价是花布的几分之几？

5

思维⑤阶

甲数的:等于乙数的;，甲数是乙数的几分之几，乙数是甲数的几倍？

o4

【思维导航】

.w.—1，一1=—31—工1一=,1］一

脚.4・343•43

31

答：甲数是乙数的彳，乙数是甲数的1-o

【思维发散5】

32

1、甲数的彳等于乙数的£,甲数是乙数的几分之几？乙数是甲数的几分之

40

儿？

24

95

2、甲数的1-倍等于乙数的A,甲数是乙数的几分之几？乙数是甲乙两数和

36

的几分之几？

3、甲数是丙数的彳，乙数是丙数的E，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲

45

数的几分之几？（想一想：这题与第一题有什么不同？）

25

第七周转化单位“1"(二)

知识要点J

我们必须重视转化训练。通过转化训练，既可理解数量关系的实质，又可拓展我

们的解题思路，提高我们的思维能力。

思维麻帽

思维①阶

93

甲数是乙数的弓，乙数是丙数的］，甲、乙、丙的和是216,甲、乙、丙各

Ox

是多少？

【思维导航】

391

解法一：把丙数看所单位“1”那么甲数就是丙数的7X---,

D乙

332

丙：216+(1+-+-X-)=96

3

乙：96X-=72

4

2

甲：72X-=48

O

34

解法二：可将“乙数是丙数的z”转化成“丙数是乙数的鼻”，把乙数看作

xO

单位“1”。

24

乙：216+(-+1+-)=72

OO

E2

甲：72X-=48

o

丙：724-7=96

4

26

93

解法三：将条件“甲数是乙数的鼻”转化为“乙数是甲数的5”，再将条件

O乙

34

“乙数是丙数的彳”转化为“丙数是乙数的鼻”，以甲数为单位“1”。

4o

334

甲：216+(1+-+-X-)=48

乙乙o

3

乙：48X-=72

4

丙：72X-=96

O

答：甲数是48,乙数是72,丙数是96。

【思维发散1】

下面各题怎样计算简便就怎样计算：

1、甲数是乙数的3，乙数是丙数的彳，甲、乙、丙三个数的和是152,甲、

64

乙、丙三个数各是多少？

21

2、橘子的千克数是苹果的彳，香蕉的千克数是橘子的£,香蕉和苹果共有

220千克，橘子有多少千克？

9

3、某中学的初中部三个年级中，初一的学生数是初二学生数的言，初二的

学生数是初三学生数的1；倍，这个学校里初三的学生数占初中部学生数的儿分

之儿？

27

思维②阶

红、黄、蓝气球共有62只，其中红气球的三3等于黄气球的9彳，蓝气球有24

只，红气球和黄气球各有多少只？

【思维导航】

39

解法一：将条件“红气球的］等于黄气球的彳”转化为“黄气球的只数是红

53

39Q

气球的（|--=）”。先求红气球的只数，再求出黄气球的只数。

5310

32

红气球：（62—24）+（1+-4--）=20（只）

53

黄气球：62-24-20=18（只）

39

解法二：将条件“红气球的1等于黄气球的鼻”转化为“红气球的只数是黄

□6

9310

气球的（-^-=）V"。先求黄气球的只数，再求出红气球的只数。

359

93

黄气球：（62—24）+（1+-4--）=18（只）

35

红气球：62-24-18=20（只）

答：红气球有20只，黄气球有18只。

【思维发散2】

9S

1、甲数的;等于乙数的、，甲、乙两数的和是162,甲、乙两数各是多少？

36

2

2、今年8月份，甲所得的奖金比乙少200元，甲得的奖金的彳正好是乙得

4

奖金的7,甲、乙两人各得奖金多少元？

28

3、商店运来香蕉、苹果和梨子共900千克,香蕉重量的;等于苹果重量的|，

4o

梨子的重量是200千克。香蕉和苹果各多少千克？

思维③阶

23

已知甲校学生数是乙校学生数的三，甲校的女生数是甲校学生数的行，乙

510

校的男生数是乙校学生数的21会，那么两校女生总数占两校学生总数的几分之

几？

【思维导航】

解法一：把乙校学生数看作单位“1”。

232121

”xw+(1-^5"1=5

解法二：把甲校学生数看作单位“i”

55213、.，5、1

(-X—H)—(1H"—)=一

22501022

答：甲、乙两校女生总数占两校学生总数的1O

【思维发散3】

1、在一座城市中，中学生数是居民的!，大学生是中学生数的J