北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明11等腰三角形课件

第一章

三角形的证明1.1

等腰三角形第1课时

等腰三角形的性质1课堂讲解全等三角形的性质和判定等腰三角形的边、角性质等腰三角形的“三线合一”2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升活动：实践观察，认识三角形DACB得到这个△ABC中AB和AC有什么关系?

1知识点全等三角形的性质和判定问

题全等三角形的定义是什么？知1－导1.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.2.全等三角形的判定方法（1）三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或

“SSS”）.（2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角

边角”或“ASA”）.（3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形

全等（简写成“角角边”或“AAS”）.（4）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边

角边”或“SAS”）知1－讲知1－讲利用全等三角形的判定方法，当∠D＝∠B时，两个三角形符合“边角边”，△ADF≌△CBE．导引：例1

如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是()A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B

C．AD∥BC D．DF∥BEB总

结知1－讲此题主要考查了全等三角形的判定方法，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．知1－练【2017·怀化】如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：_________________________________________，使得△ABC≌△DEC.1DE＝AB或∠ACB＝∠DCE或∠ACD＝∠BCE知1－练【2016·黔西南州】如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是(

)A．AB＝DE

B．AC＝DFC．∠A＝∠D

D．BF＝EC2C知1－练【2017·鄂州】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC＋AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°，若CD＝4，则△ABE的面积为(

)A.B.C.D.3D2知识点等腰三角形的边、角性质知2－导1．等腰三角形的相关概念回顾：（来自《教材》）腰腰顶角底角底角底边知2－导2．议一议(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？(2)请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与

同伴交流.（来自《教材》）归纳知2－导（来自《教材》）定理等腰三角形的两底角相等.这一定理可以简述为：等边对等角.知2－讲例2已知：如图1-1，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C.分析：我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等(如图1-2).实际

上，折痕将等腰三角形分成了两

个全等三角形.这启发我们，可以

作一条辅助线，把原三角形分成

两个全等的三角形，从而证明这

两个底角相等.（来自《教材》）图1-2知2－讲证明：如图1-3，取BC的中点D，连接

AD.∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等）.（来自《教材》）知2－讲性质：等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等角”)．知2－讲例3

(1)在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B；(2)若等腰三角形的一个角为70°，求顶角的度数；(3)若等腰三角形的一个角为90°，求顶角的度数．导引：给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三

角形的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质

求解；若给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两

种情况求解．解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.知2－讲(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角

为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.因此顶角

为40°或70°.(3)若顶角为90°，底角为

若底角为90°，则三个内角的和大于180°，不符合三角形

内角和定理．因此顶角为90°.总

结知2－讲1．在等腰三角形中求角时，要看给出的角是否确定为顶角或底角．若已确定，则直接利用三角形的内角和定理求解；若没有指出所给的角是顶角还是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形内角和定理．2．若等腰三角形中给出的一内角是直角或钝角，则此角必为顶角．1在△ABC中，AB＝AC

.(1)若∠A＝50°，则∠C等于多少度？知2－练（来自《教材》）(1)在△ABC中，因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.因为∠A＝40°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以2∠C＝180°－∠A＝140°.所以∠C＝70°.解：(2)若∠B＝72°，则∠A等于多少度?知2－练（来自《教材》）(2)因为∠B＝72°，所以由(1)可知：

∠A＝180°－2∠B

＝180°－2×72°

＝36°.解：2如图，在△ABD中，AC⊥BD，垂足为C，AC＝BC＝CD.(1)求证：△ABD是等腰三角形；知2－练（来自《教材》）(1)在△ACB和△ACD中，所以△ACB≌△ACD(SAS)．所以AB＝AD(全等三角形的对应边相等)．所以△ABD是等腰三角形．证明：A(2)求∠BAD的度数.知2－练（来自《教材》）因为AC＝BC，所以∠B＝∠BAC.因为∠ACB＝90°，所以∠BAC＝45°.同理∠DAC＝45°，所以∠BAD＝∠BAC＋∠DAC

＝45°＋45°＝90°.解：3知2－练【2017·宁德】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边BC和AC上，若AD＝AE，则下列结论错误的是(

)A．∠ADB＝∠ACB＋∠CAD

B．∠ADE＝∠AEDC．∠CDE＝

∠BAD

D．∠AED＝2∠ECDD4知2－练【2017·台州】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是(

)A．AE＝EC

B．AE＝BEC．∠EBC＝∠BAC

D．∠EBC＝∠ABEC知3－导3知识点等腰三角形的“三线合一”想一想在图1-3中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论?知2－导归

纳推论

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、

底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）知3－讲如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数；(2)求证：EF＝ED.∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴∠BAD＝∠CAD.∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC

＝(180°－∠BAC)

＝(180°－50°)＝65°.例4(1)解：知3－讲(2)求证：EF＝ED.证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴ED⊥BC.又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED.1知3－练【中考·苏州】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为(

)A．35°B．45°C．55°D．60°C2知3－练如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，点E在AD上，那么下列结论不一定正确的是(

)A．AD⊥BC

B．∠EBC＝∠ECBC．∠ABE＝∠ACE

D．AE＝BED3知3－练如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，BE＝CF，则下列说法正确的有(

)①DA平分∠EDF；②△EBD≌△FCD；③BD＝CD；④AD⊥BC.A．1个B．2个C．3个D．4个D4知3－练如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，连接AD，AE，若只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为(

)A．BD＝CE

B．AD＝AEC．DA＝DE

D．BE＝CDC1．知识方面：（1）等腰三角形的性质：等边对等角.（2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.2．思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是证明角相等、边相等的重要方法.1知识小结已知等腰三角形的一个外角等于110°，这个等腰三角形的一个底角的度数为(

)A．40°

B．55°C．70°

D．55°或70°易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误2易错小结D本题应用分类讨论思想，分顶角为70°和底角为70°两种情况，解题时易丢掉一种情况而漏解．1.1等腰三角形第1课时

等腰三角形的性质第一章

三角形的证明习题作业利用全等三角形、等腰三角形的性质求三角形中的角利用全等三角形、等腰三角形的性质证线段倍分关系利用等腰三角形、全等三角形的性质解边角关系利用等腰三角形“三线合一”的性质证明线段位置关系(构造基本图形法)123411.【

中考•苏州】如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.(1)求证：△AEC≌△BED；(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD＝∠BOE.∵∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO.∴∠AEC＝∠BED.在△AEC和△BED中，∠A＝∠B，AE＝BE，

∠AEC＝∠BED，∴△AEC≌△BED(ASA)．(1)证明：∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝42°，∴∠C＝∠EDC＝69°.∴∠BDE＝∠C＝69°.(2)解：12.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求证：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF＝2CD.∵AD⊥BC，∴∠B＋∠BAD＝90°.∵CE⊥AB，∴∠B＋∠BCE＝90°.∴∠EAF＝∠ECB.在△AEF和△CEB中，∠AEF＝∠CEB，AE＝CE，∠EAF＝∠ECB，∴△AEF≌△CEB(ASA)．(1)证明：∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD.∴BC＝2CD.∴AF＝2CD.(2)解：13.【

中考•菏泽】如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°.(1)求证：AD＝BE；(2)求∠AEB的度数．∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°－2×50°＝80°.∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE.∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC＝BC，DC＝EC.在△ACD和△BCE中，AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，DC＝EC，∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE.(1)证明：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC.∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE＝50°，∴∠ADC＝180°－∠CDE＝130°.∴∠BEC＝130°.∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°.(2)解：14.【中考•连云港】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由．(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.∠ABE＝∠ACD.

理由如下：∵AB＝AC，∠BAE＝∠DAC，AD＝AE，∴△ABE≌△ACD.∴∠ABE＝∠ACD.（1）解：连接AF，并延长交BC于G.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB.∴FB＝FC.又∵∠ABE＝∠ACD，AB＝AC，∴△ABF≌△ACF(SAS)．∴∠BAG＝∠CAG.∴过点A，F的直线垂直平分线段BC.(2)证明：第一章

三角形的证明1.1等腰三角形第2课时

等边三角形的性质1课堂讲解等腰三角形中相等的线段等边三角形的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升等腰三角形有哪些性质？复习回顾1．等腰三角形的性质：等边对等角.2．等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.1知识点等腰三角形中相等的线段在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？知1－导（来自《教材》）知1－讲例1

证明：等腰三角形两底角的平分线相等.已知：如图,在△ABC中，AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分线.求证：BD

=CE.（来自《教材》）知1－讲（来自《教材》）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB(等边对等角）.∵BD,CE分别平分∠ABC

和∠ACB

，∴∠1＝∠2.在△BDC和△CEB中，∠ACB＝∠

ABC,BC=CB,∠1＝∠2,∴△BDC≌△CEB(ASA).∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等）.证明：知1－讲例2求证：等腰三角形两腰上的中线相等．导引：先根据命题分析出题设和结论，画出图形，写出已知和求证，然后利用等腰三角形的性质和三角形全等的知识证明．知1－讲解：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB和AC上的中线，求证：CE＝BD.∵AB＝AC，CE和BD分别是AB和AC上的中线，∴∠ABC＝∠ACB，BE＝CD.又∵BC＝CB，∴△BEC≌△CDB.∴CE＝BD.证明：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列说法中不正确的是(

)A．BC边上的高线和中线互相重合B．AB和AC边上的中线相等C．顶点B处的角平分线和顶点C处的角平分线相等D．AB，BC边上的高线相等知1－练D知1－练如图，在△ABC中，AB＝AC，下列条件中，不能使BD＝CE的是(

)A．BD，CE为AC，AB边上的高B．BD，CE都为△ABC的角平分线C．∠ABD＝∠ABC，∠ACE＝∠ACBD．∠ABD＝∠BCED知1－练若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°，

则顶角的度数为(

)A．50°B．80°

C．100°D．130°B2知识点等边三角形的性质知2－导1．等边三角形的定义是什么？2．想一想等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢?（来自《教材》）归纳知2－导（来自《教材》）定理等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.知2－讲已知：如图,在△ABC中，AB=AC=BC.求证：∠A=∠B

=∠C

=60°.∵AB

=AC，∴∠B=∠C(等边对等角).又∵AC

=BC，∴∠A=∠B(等边对等角).∴∠A=∠B

=∠

C.在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.∴∠A=∠B=∠C=60°.（来自《教材》）证明：知2－讲ABC等边三角形的定义

三条边都相等的三角形叫做等边三角形(也叫正三角形).等边三角形是特殊的等腰三角形.知2－讲有两边相等的三角形是等腰三角形（定义）有两个角相等的三角形是等腰三角形.满足什么条件的三角形是等边三角形?满足什么条件的三角形是等腰三角形?三边都相等的三角形是等边三角形（定义）三个角都相等的三角形是等边三角形.方法一：从边看方法二：从角看方法一：方法二：知2－讲如图，已知△ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，计算△DEF各个内角的度数．例3

导引：要计算出△DEF各个内角的度数，有两个途径，即证△DEF为等边三角形或直接求各个角的度数，由垂直的定义及等边三角形的性质，显然直接求各个角的度数较易．知2－讲因为△ABC是等边三角形，所以∠A＝∠B＝∠C＝60°.因为DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，所以∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°.所以∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.所以∠EDF＝180°－30°－90°＝60°.同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.即△DEF各个内角的度数都是60°.解：总

结知2－讲利用等边三角形的性质求角的度数时，通过利用等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°的性质，找出要求角与已知角间的关系来进行相关计算；有时还要结合全等图形等知识来解决．知2－讲如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形．求证：AE＝CD.例4

导引：要证AE＝CD，可通过证AE，CD所在的两个三角形全等来实现，即证△ABE≌△CBD，条件可从等边三角形中去寻找．知2－讲∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°.在△ABE与△CBD中，∴△ABE≌△CBD(SAS)．∴AE＝CD.证明：总

结知2－讲运用等边三角形性质证明线段相等的方法：把要证的两条线段放到一个三角形中证其为等腰或等边三角形或者放到两个三角形中，利用全等三角形的性质证明；注意等边三角形的三个内角相等、三条边相等、三线合一是隐含的已知条件．1求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数.知2－练（来自《教材》）解：如图，在等边三角形ABC中，CE，BF分别是AB，AC边上的中线，且CE与BF相交于点O，则CE垂直平分AB，BF垂直平分AC，在Rt△ABF中，∵∠A＝60°，∴∠ABF＝30°.在Rt△BEO中，∵∠EBO＝30°，∴∠EOB＝60°，即等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为60°.2如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数.知2－练（来自《教材》）解：由题意易知，BD＝DE＝AD，∴∠DBA＝∠BAD.又∵∠DBA＋∠BAD＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝30°.同理可得，∠CAE＝30°，∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAE＋∠CAE

＝30°＋60°＋30°＝120°.3下列性质中，等边三角形具有且等腰三角形也具有的是(

)A．三条边相等B．三个内角相等C．有三条对称轴D．是轴对称图形知2－练D4下面关于等边三角形的说法正确的有(

)①三个角都相等；②三条边都相等；③是一种特殊的等腰三角形；④是一种特殊的直角三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个知2－练C5已知AD是等边三角形ABC的高，且BD＝1cm，那么BC的长是(

)A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm知2－练B6【2016·内江】已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为(

)A.

B.C.

D．不能确定知2－练B7如图，在等边三角形ABC中，BD，CE是两条中线，则∠1的度数为(

)A．90°B．30°C．120°D．150°知2－练C8【2017·南充】如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为(

)A．(1，1)

B．(，1)

C．(，)

D．(1，)知2－练D如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD.其中正确结论的个数为(

)A．3B．2C．1D．知2－练A9如图，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹角为20°，则∠α的度数为(

)A．60°B．45°C．40°D．30°知2－练C10如图，在等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是(

)A．45°B．55°C．60°D．75°知2－练C111．等腰三角形的特殊性质：(1)等腰三角形两底角的平分线相等；(2)等腰三角形两腰上的高相等；(3)等腰三角形两腰上的中线相等；1知识小结2．等边三角形的性质：(1)等边三角形的三边都相等；(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°；(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线；(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等．已知△ABC是等边三角形，设AB，BC，AC边上的中线交于点G，∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线交于点I，AB，BC，AC边上的高交于点H，则下列结论：①点G与点I一定重合；②点G与点H一定重合；③点I与点H一定重合；④点G，点I与点H一定重合．其中正确的有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个易错点：忽视等边三角形与等腰三角形的关系而致错2易错小结D因为等边三角形的三条边相等，所以等边三角形每条边上的中线、高与该边对角的平分线互相重合，所以点G，点I与点H一定重合．1.1等腰三角形第2课时

等边三角形的性质第一章

三角形的证明习题作业利用等边三角形的性质求角的度数利用等边三角形的性质证线段相等(构造等边三角形法)利用等边三角形的性质类比探究边角关系12314.【中考•怀化】如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)求∠AED的度数．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°.∵△EBC是等边三角形，∴EB＝BC＝EC，∠EBC＝∠ECB＝∠BEC＝60°.∴∠EBA＝∠ECD＝30°.在△ABE和△DCE中，AB＝CD，∠EBA＝∠ECD，EB＝EC.∴△ABE≌△DCE.(1)证明：由(1)可知，AB＝BE，∠ABE＝30°，∴∠BAE＝∠BEA＝75°.

同理，∠CDE＝∠CED＝75°.∴∠AED＝360°－75°－75°－60°＝150°.(2)解：15.如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接EC，ED.求证：EC＝ED.∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，AB＝BC.如图，以BE为边，∠B为内角作等边三角形BEF.∴BE＝BF＝EF，∠F＝60°.∴BE－AB＝BF－BC，即AE＝CF.又∵AE＝BD，∴BD＝CF.∴BD－CD＝CF－CD，即BC＝DF.证明：在△ECB和△EDF中，EB＝EF，∠B＝∠F＝60°，BC＝FD，∴△ECB≌△EDF(SAS)．∴EC＝ED.16.【中考•烟台】【操作发现】(1)如图①，△ABC为等边三角形，先将三角尺中的60°角与∠ACB重合，再将三角尺绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于30°)．旋转后三角尺的一直角边与AB交于点D.在三角尺斜边上取一点F，使CF＝CD，在线段AB上取一点E，使∠DCE＝30°，连接AF，EF.①求∠EAF的度数；②DE与EF相等吗？请说明理由．【类比探究】(2)如图②，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，先将三角尺的90°角与∠ACB重合，再将三角尺绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于45°)．旋转后三角尺的一直角边与AB交于点D.在三角尺另一直角边上取一点F，使CF＝CD，在线段AB上取一点E，使∠DCE＝45°，连接AF，EF.请直接写出探究结果：①∠EAF的度数；②线段AE，ED，DB之间的数量关系．(1)①由旋转的性质可知∠FCA＝∠DCB.∵△ABC为等边三角形，∴AC＝BC，∠B＝∠CAB＝60°.在△CFA和△CDB中，AC＝CB，∠FCA＝∠DCB，CF＝CD，∴△CFA≌△CDB.∴∠FAC＝∠B＝60°.∴∠EAF＝∠FAC＋∠CAE＝60°＋60°＝120°.解：②DE＝EF.理由如下：∵∠DCE＝30°，∠FCD＝60°，∴∠FCE＝∠DCE＝30°.在△FCE和△DCE中，CF＝DC，∠FCE＝∠DCE，CE＝CE，∴△FCE≌△DCE.∴DE＝EF.(2)①∠EAF＝90°.②DB2＋AE2＝ED2.第一章

三角形的证明1.1等腰三角形第3课时

等腰三角形的判定1课堂讲解等腰三角形的判定反证法2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1、等腰三角形是怎样定义的？有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.①等腰三角形是轴对称图形.③等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边

上的高重合(也称为“三线合一”).②等腰三角形的两个底角相等(简写成

“等边对等角”)

.2、等腰三角形有哪些性质？DABC既是性质又是判定1知识点等腰三角形的判定知1－导思考我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？如图，在△ABC中，∠B=∠C.作△ABC的角平分线AD.在△BAD和△CAD中，∠1=∠2，∠B=∠C，

AD=AD,∴△BAD≌△CAD(AAS).∴AB=AC.知1－导知1－导归

纳由上面推证，我们可以得到等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等.那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”).（来自教材

）知1－讲1．判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．(简称等角对等边)应用格式：在△ABC中，∵∠B＝∠C,∴AB＝AC.2．等腰三角形的判定与性质的异同相同点：都是在一个三角形中；区别：判定是由角到边，性质是由边到角．即：．知1－讲（来自《教材》）例1已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA

相交于点E.求证：△AED是等腰三角形.知1－讲（来自《教材》）∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA，∴△ABD≌△DCA(SSS).∴∠ADB＝DAC(全等三角形的对应角相等).∴AE＝DE(等角对等边).∴△AED是等腰三角形.证明：知1－讲如图­，在△ABC中，P是BC边上一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R，若AQ＝AR，则△ABC是等腰三角形吗？请说明理由．导引：要说明△ABC为等腰三角形，由图可知即要说明∠B＝∠C，而∠B，∠C分别在两个直角三角形中，因此只要说明∠B，∠C的余角∠BQP，∠R相等即可．例2知1－讲解：△ABC是等腰三角形．理由如下：∵AQ＝AR，∴∠R＝∠AQR.又∵∠BQP＝∠AQR，∴∠R＝∠BQP.∵PR是BC的垂线，∴∠BPQ＝∠CPR＝90°.在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B＋∠BQP＝90°，∠C＋∠R＝90°，∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.总

结知1－讲本题运用了转化思想，将要证的两角相等利用等角的余角相等转化为证其余角相等；对顶角这一隐含条件在推导角的相等关系中起了关键的桥梁作用．1如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平分线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由.知1－练（来自《教材》）解：△BDE为等腰三角形．理由如下：因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠DBC.因为DE∥BC，所以∠EDB＝∠DBC.所以∠EBD＝∠EDB.所以EB＝ED.故△BDE为等腰三角形．2在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是(

)A．∠A＝50°，∠B＝70°B．∠A＝70°，∠B＝40°C．∠A＝30°，∠B＝90°D．∠A＝80°，∠B＝60°知1－练B3如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有(

)A．3个B．4个C．5个D．6个知1－练D4【2016·甘孜州】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB＝3，AD＝1，则△AED的周长为(

)A．2B．3C．4D．5知1－练C5如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高，CE是AB边上的高，它们相交于点O，则图中除△ABC外一定是等腰三角形的是(

)A．△ABD

B．△ACE

C．△OBC

D．△OCD知1－练C6【2017·海南】已知△ABC的三边长分别为4，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画(

)A．3条B．4条C．5条D．6条知1－练B7【2017·玉林】如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30nmile到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P的距离是(

)A．15nmileB．30nmileC．45nmileD．30nmile知1－练B8在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(

)知1－练B9【2016·武汉】在平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(

)A．5B．6C．7D．8知1－练B2知识点反证法知2－导想一想小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？（来自《教材》）知2－导（来自《教材》）小明是这样想的：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C,此时AB与AC要么相等，要么不相等.假设AB＝AC那么根据“等边对等角”定理可得∠C＝∠B，

这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此

AB≠AC．你能理解他的推理过程吗？归纳知2－导小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.知2－讲1．定义在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．2．利用反证法证明命题的一般步骤(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．知2－讲3．适宜用反证法证明的命题反证法主要用于直接证明比较困难的命题，例如下面几种常见类型的命题就适宜用反证法：(1)结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能有两个钝角；(2)唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；(3)命题的结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个凸多边形中至多有3个锐角．知2－讲用反证法证明命题“等腰三角形的两底角是锐角”时，第一步为_____________________________________．导引：反证法的第一步是假设“命题的结论不成立”，就是“命题结论的反面是正确的”，理解了命题的结论和命题结论的反面，问题即可解决．例3假设等腰三角形的两底角是直角或钝角知2－讲用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：△ABC.求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角.例4

证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°.于是∠A＋∠B＋∠C=90°＋90°＋∠C>180°.这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立.所以，一个三角形中不能有两个角是直角.1已知五个正数的和为1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于.知2－练（来自《教材》）解：假设这五个数均小于

，不妨设则有即这与已知矛盾，所以假设不成立，原命题成立.即已知五个正数的和等于1，则这五个数中至少有一个大于或等于2用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设(

)A．一个三角形中至少有两个钝角B．一个三角形中至多有一个钝角C．一个三角形中至少有一个钝角D．一个三角形中没有钝角知2－练A3下列命题中，宜用反证法证明的是(

)A．等腰三角形两腰上的高相等B．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三

角形C．两条直线都与第三条直线平行，则这两条

直线互相平行D．全等三角形的面积相等知2－练C1．等腰三角形的判定是把角相等转化为边相等，但前提是在同一个三角形内．2．利用反证法解题的一般步骤：(1)假设；(2)归谬：从假设出发，经过推理论证得出与已知、定理、公理等相矛盾的结果；(3)结论：肯定命题结论正确.1知识小结如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，求证：∠DAB是一个锐角．易错点：反证法中易假设结论的反面不全面而致错2易错小结假设∠DAB是一个直角或钝角，则∠DAB≥90°，∵AB＝AC，AD是BC边上的高，∴∠DAC＝∠DAB≥90°.则∠BAC＝∠DAB＋∠DAC≥90°＋90°＝180°，∴∠B＋∠C＋∠BAC>180°.这与三角形内角和为180°矛盾，∴∠DAB是一个直角或钝角的假设不成立．∴∠DAB是一个锐角．证明：1.1等腰三角形第3课时

等腰三角形的判定第一章

三角形的证明习题作业利用等腰三角形求角度利用等腰三角形证两线平行利用等腰三角形证线段相等(平行线构造法)利用等腰三角形证线段和差关系(轴对称构造法)123412.【中考•常州】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是高，BD与CE相交于点O.(1)求证：OB＝OC；(2)若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BD，CE是△ABC的两条高线，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，即∠DBC＋∠DCB＝∠ECB＋∠CBE＝90°.∴∠DBC＝∠ECB.∴OB＝OC.（1）证明：∵∠CEB＝90°，∠ABC＝50°，∴∠BCE＝180°－90°－50°＝40°.∴∠DBC＝40°.∴∠BOC＝180°－40°－40°＝100°.（2）解：13.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F

作FG⊥BC于G点，并交AB于E点，试说明下列结论成立的理由：(1)AD∥FG；(2)△AEF为等腰三角形．(1)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.又∵FG⊥BC，∴AD∥FG.(2)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD.∵AD∥FG，∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD.∴∠F＝∠AEF.∴AF＝AE，即△AEF为等腰三角形．解：14．如图，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于点E，交AC的延长线于点F，交BC于点D，且BE＝CF.求证：DE＝DF.如图，过点E作EG∥AC交BC于点G，∴∠F＝∠DEG，∠ACB＝∠EGB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B(等边对等角)．∴∠B＝∠EGB.∴BE＝EG(等角对等边)．∵BE＝CF，∴EG＝CF.证明：在△EGD和△FCD中，∠EDG＝∠FDC，∠DEG＝∠F，EG＝FC，∴△EGD≌△FCD(AAS)．∴DE＝DF.本题既用到了等腰三角形的性质，又用到了等腰三角形的判定．同一个题中同时用到等腰三角形的性质和判定时，应注意它们的区别与联系．本题还可以过点F作FH∥AB交BC的延长线于点H，由已知条件推得△DBE≌△DHF.15．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BE平分∠ABC交AC于点E.(1)若∠A＝100°，求证：BC＝BE＋AE.(2)探究：若∠A＝108°，那么BC等于哪两条线段长的和呢？试说明理由．在BC上截取BD＝BE，连接DE(如图)．∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－100°)÷2＝40°.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝20°.又∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝(180°－20°)÷2＝80°.又∵∠BDE＝∠C＋∠CED，∠C＝40°，∴∠CED＝40°＝∠C.∴DE＝DC.（1）证明：过点E分别作EM⊥BA交BA的延长线于点M，EN⊥BC于点N.∴∠BME＝∠BNE＝90°.又∵∠MBE＝∠NBE，BE＝BE，∴△BME≌△BNE.∴EM＝EN.∵∠BAC＝100°，∴∠CAM＝180°－100°＝80°.在Rt△EMA和Rt△END中，∠EAM＝∠EDN＝80°，∠AME＝∠DNE＝90°，EM＝EN，∴Rt△EMA≌Rt△END(AAS)．∴EA＝ED.又∵DE＝DC，∴EA＝DC.∴BC＝BD＋DC＝BE＋AE.BC＝CE＋AB.理由如下：在CB上截取CP＝CE，连接PE(如图)．∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－108°)÷2＝36°.∴∠CPE＝(180°－36°)÷2＝72°.∴∠BPE＝180°－72°＝108°.∴∠BPE＝∠A.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠PBE.（2）解：在△ABE和△PBE中，∠A＝∠BPE，∠ABE＝∠PBE，BE＝BE，∴△ABE≌△PBE(AAS)．∴AB＝PB.∴BC＝CP＋PB＝CE＋AB.第一章

三角形的证明1.1等腰三角形第4课时

等边三角形的判定1课堂讲解等边三角形的判定含30°角的直角三角形的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升等边三角形有哪些性质？复习回顾归纳等边三角形的性质：(1)等边三角形的三边都相等；(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°；(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线；(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等．1知识点等边三角形的判定一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.知1－导（来自《教材》）总

结知1－导定理三个角都相等的三角形是等边三角形.定理有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.知1－讲1．判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；判定定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．2．应用注意事项：判定定理1在任意三角形中都适用，判定定理2适用的前提是等腰三角形；因此要结合题目的条件选择适当的方法．知1－讲如图，在等边三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，连接OE，OF.求证：△OEF是等边三角形．（来自《教材》）例1导引：从题中条件看，利用三角形的外角性质易求∠OEF＝∠OFE＝60°，从而证明△OEF是等边三角形．知1－讲∵E，F分别是线段OB，OC的垂直平分线上的点，∴OE＝BE，OF＝CF.∴∠OBE＝∠BOE，∠OCF＝∠COF.∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.又∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBE＝∠BOE＝∠OCF＝∠COF＝30°.∴∠OEF＝∠OFE＝60°.∴∠EOF＝180°－2×60°＝60°.∴△OEF是等边三角形．证明：总

结知1－讲证明一个三角形是等边三角形的方法：(1)若已知三边关系，则选用等边三角形定义来判定；(2)若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定；(3)若已知是等腰三角形，则选用“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形”来判定．等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是(

)A．有一个内角是60°B．有一个外角是120°C．有两个角相等D．腰与底边相等知1－练C2知1－练如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有等边三角形(

)A．2个B．3个C．4个D．5个D知1－练3下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(

)A．①②③

B．①②④C．①③

D．①②③④D知1－练4

(2016•河北)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(

)A．1个

B．2个C．3个D．3个以上D知1－练5

如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木板，那么正六边形木板的边长为(

)A．34cm

B．32cmC．30cmD．28cmC2知识点含30°角的直角三角形的性质知2－导做一做用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由.（来自《教材》）归纳知2－导定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.知2－导已知：如图(1)，

△ABC是直角三角形，∠C

＝90°，∠A＝30°求证：BC＝AB.（来自《教材》）知2－导（来自《教材》）证明：如图(2)，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD.∵∠ACB

＝90°，∠BAC＝30°.∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.∴AC

＝AC,∴△ABC≌△ADC(SAS).∴AB＝AD(全等三角形的对应边相等）.∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）∴

BC＝

BD＝

AB.性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，

那么它所对的直角边等于斜边的一半．要点精析：(1)适用条件——含30°角的直角三角形，(2)揭示的关系——30°角所对的直角边与斜边的关

系．知2－讲知2－讲求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高.求证：CD＝AB（来自《教材》）例2

知2－讲在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°

∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.∴CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝90°.∴CD＝

AC(在直角三角形中，如果一个锐角等

于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).∴CD=AB.证明：知2－讲例3

〈温州〉如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)若CD＝2，求DF的长．导引：(1)根据平行线的性质可得∠EDC＝∠B＝60°，根据三角形内角和定理即可求解；(2)易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．知2－讲(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.(2)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°.又∵∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.解：总

结知2－讲利用含30°角的直角三角形的性质，关键要有两个要素：一是含30°的角；二是直角三角形．

根据这两个要素可建立直角三角形中斜边与直角边之间的关系．1知2－练（来自《教材》）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝1，求AD的长.因为CD是△ABC的高，所以∠BDC＝90°.又因为∠B＝60°，所以∠BCD＝30°.所以BC＝2BD＝2.在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，所以∠A＝30°.所以AB＝2BC＝4.所以AD＝AB－BD＝4－1＝3.解：(2016•百色)如图，在△ABC中，∠C＝90°，

∠A＝30°，AB＝12，则BC＝(

)A．6

B．

C．

D．12知2－练A知2－练3如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为(

)A．BD＝CD

B．BD＝2CDC．BD＝3CD

D．BD＝4CDB知2－练如图，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，AD⊥BC交BC的延长线于点D，则AD的长为(

)A．3cmB．4cmC．5cmD．6cmC4知2－练如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其