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文档简介
24.4.2切线长定理1.直线和圆有哪三种位置关系?2.如何判断圆的切线?3.圆的切线都有哪些性质?复习回顾:认知准备问题1、经过平面上一个已知点,作已知圆的切线会有怎样的情形?·O·O·OP·P·P·A问题2、经过圆外一点P,如何作已知⊙O的切线?
O。ABP认知准备思考:假设切线PA已作出,A为切点,则∠OAP=90°,连接OP,可知点A在怎样的圆上?用尺规作图:过⊙O外一点做⊙O的切线O·PABO过圆外任意一点可以作已知圆的两条切线。在经过圆外一点的切线上,这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.定理形成切线与切线长的区别与联系:(1)切线是一条与圆相切的直线;(2)切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。。PBAO
若从⊙O外的一点引两条切线PA,PB,切点分别是A、B,连结OA、OB、OP,你能发现什么结论?并证明你所发现的结论。APO。BPA=PB∠OPA=∠OPB证明:∵PA,PB与⊙O相切,点A,B是切点∴OA⊥PA,OB⊥PB即∠OAP=∠OBP=90°∵OA=OB,OP=OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB∠OPA=∠OPB试用文字语言叙述你所发现的结论PA、PB分别切⊙O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。切线长定理APO。B几何语言:反思:切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法APO。BM
若连结两切点A、B,AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.OP垂直平分AB证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点∴PA=PB∠OPA=∠OPB∴△PAB是等腰三角形,PM为顶角的平分线∴OP垂直平分ABAPO。B
若延长PO交⊙O于点C,连结CA、CB,你又能得出什么新的结论?并给出证明.CA=CB证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点∴PA=PB∠OPA=∠OPB∴PC=PC∴△PCA≌△PCB∴AC=BCC切线长定理的基本图形的研究PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,直线OP交于⊙O于点D、E,交AB于C。BAPOCED(1)写出图中所有的垂直关系OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥OP(3)写出图中所有的全等三角形△AOP≌△BOP,△AOC≌△BOC,△ACP≌△BCP(4)写出图中所有的相似三角形△AOC∽△BOC∽△AOP∽△BOP∽△ACP∽BCP(5)写出图中所有的等腰三角形△ABP△AOB(6)若PA=4、PD=2,求半径OA(2)写出图中与∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC。PBAO(3)连结圆心和圆外一点(2)连结两切点(1)分别连结圆心和切点在解决有关圆的切线长问题时,往往需要我们构建基本图形。课堂反思如图,已知⊙O的半径为3cm.点P和圆心O的距离为6cm,经过点P有⊙O的两条切线PA、
PB,则切线长为_____cm,这两条切线的夹角为______,∠
AOB=______。APO。B60°120
°试一试例1:如图,已知AB、AC是⊙O的切线,B、C为切点,连结BC交AO于D.⑴若AD=6,AO=8,求切线AB的长;⑵若BC=4,∠BAO=30°,求⊙O的直径。C·OABD例题讲解小红为了测量一个锅盖的直径,她用了下面的方法:将锅盖平放在水平桌上,用一个锐角为300的三角板和一个刻度尺,按如图所示的方法得到相关的数据,测得PA=10cm,即求出锅盖的直径.说明她这样做的理由.
┐想一想想一想如图:用两根带有刻度的木条做一个夹角为60°的工具尺,你能用它量出一个圆的半径吗?若量出角的顶点到切点的距离为10cm,试求这个圆半径的近似值。例2:
已知:如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别是A、B,Q为AB上一点,过Q点作⊙O的切线,交PA、PB于E、F点,已知PA=12CM,∠P=50°.
求:(1)△PEF的周长;(2)∠EOF的度数.EAQPFBO例题讲解如图,从⊙O外一点P作⊙O的两条切线,分别切⊙O于A、B,在AB上任取一点C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E(1)若PA=2,则△PDE的周长为____;若PA=a,则△PDE的周长为_____。(2)连结OD、OE,若∠P=40°,则∠DOE=_____;若∠P=k度,∠DOE=__________度
。E·OCBDPA42a70°试一试1.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。APO。BECD∵PA、PB分别切⊙O于A、B∴PA=PB,∠OPA=∠OPBOP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等,角相等,弧相等,垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。课堂小结弦切角定理课外延伸:.ABCO.ABOC.ABCO顶点在圆上,并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角。已知:如图,AB切⊙O于点A,AC与⊙O相交,即:∠CAB是弦切角。观察辨析ADCBBACB
AC(切点)(切点)m(切点)ABCBADC(切点)ABm概念应用OABDCE图一1、这是一个定滑轮装置示意图,指出图中有哪几个弦切角。(口答)AB图二O2、AB与⊙O切于A,请同学们画出三个以A为顶点的弦切角,使它们所夹的弧分别为180º、270º、90º。CA丙CBA乙BCA甲BOOO180º270º90º所夹弧的度数弦切角的度数90º135º45º猜想:
弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。动手实验,猜想命题
通过测量得到弦切角度数。CA丙CBA乙BCA甲BOOO圆心在弦切角的一边上圆心在弦切角的内部圆心在弦切角的外部DD
mmm------------------------------∠CPD=∠CADP∠CPD+90°=∠CAD+90°
∠CPA=∠CAB例题设计变式训练图3C例1
如图3,AC与△ABD的外接圆⊙O相切于A.
(1)若弦切角∠BAC=30º
,则
AB=
度,∠AOB=
度,∠ABD=
度
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