非线性电路中的混沌现象实验报告

基础物理实验报告第37页非线性电路中的混沌现象学号：37073112姓名：蔡正阳日期：2009年3月2五：数据处理：1．计算电感L 本实验采用相位测量。根据RLC谐振规律，当输入激励的频率时，RLC串联电路将达到谐振，L和C的电压反相，在示波器上显示的是一条过二四象限的45度斜线。 测量得：f=32.8kHz；实验仪器标示：C=1.095nF由此可得： 估算不确定度： 估计u(C)=0.005nF，u(f)=0.1kHz则：即 最终结果：

2．用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理：（1）原始数据：RVRVRV71200-122044.9-81753.4-421000-11.82036.2-7.81727.5-3.812150-11.62027.2-7.61699.6-3.68430-11.42017.8-7.41669.4-3.46390-11.22007.9-7.21636.7-3.25100-111997.5-71601.2-34215-10.81986.7-6.81562.4-2.83564-10.61975.3-6.61519.7-2.63070-10.41963.4-6.41472.3-2.42680-10.21950.9-6.21420-2.22369-101937.6-61360.9-22115-9.81923.7-5.81295.1-1.82103.1-9.61909-5.61281.8-1.62096.8-9.41893.4-5.41276.7-1.42090.2-9.21876.9-5.21270.1-1.22083.4-91859.5-51261.1-12076.3-8.81840.9-4.81247.8-0.82068.9-8.61821.2-4.61226-0.62061.2-8.41800.1-4.41148.9-0.42053.3-8.21777.6-4.21075-0.2VRR1VRR1 根据可以得出流过电阻箱的电流，由回路KCL方程和KVL方程可知： 由此可得对应的值。

对非线性负阻R1，将实验测得的每个（I，U）实验点均标注在坐标平面上，可得：图中可以发现，（0.0046336，-9.8）和（0.0013899，-1.8）两个实验点是折线的拐点。故我们在、、这三个区间分别使用线性回归的方法来求相应的I-U曲线。使用Excel的Linest函数可以求出这三段的线性回归方程：经计算可得，三段线性回归的相关系数均非常接近1（r=0.99997），证明在区间内I-V线性符合得较好。应用相关作图软件可以得出非线性负阻在U<0区间的I-U曲线。将曲线关于原点对称可得到非线性负阻在U>0区间的I-U曲线：

3．观察混沌现象：（1）一倍周期： 一倍周期 Vc1-t（2）两倍周期： 两倍周期 Vc1-t（3）四倍周期： 四倍周期 Vc1-t（4）单吸引子： 单吸引子 阵发混沌 三倍周期 Vc1-t(5)双吸引子： 双吸引子 Vc1-t

4．使用计算机数值模拟混沌现象：（1）源程序（Matlab代码）： 算法核心：四阶龙格库塔数值积分法文件1：chua.mfunction[xx]=chua(x,time_variable,aaa,symbol_no)h=0.01;a=h/2;aa=h/6;xx=[];forj=1:symbol_no;k0=chua_map(x,time_variable,aaa);x1=x+kO*a;k1=chua_map(xl,time_variable,aaa);xl=x+k1*a;k2=chua_map(x1,time_variable,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(x1,time-variable,aaa);x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3);xx=[xxx];end文件2：chua_initial.m:function[x0]=chua_initial(x,aaa)h=0.01;a=h/2;aa=h/6;x=[-0.030.6-0.01]';k0=chua_map(x,1,aaa);x1=x+k0*a;k1=chua_map(xl,1,aaa);x1=x+k1*a;k2=chua_map(x1,1,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(x1,1,aaa);x=x+aa*(k0+2*(kl+k2)+k3);fork=2:400kO=chua_map(x,k,aaa);x1=x+k0*a;k1=chua_map(x1,k,aaa);x1=x+k1*a;k2=chua_map(x1,k,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(xl,k,aaa);x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3);endx0=x;文件3：chua_map.m:function[x]=chua_map(xx,time_variable,aaa)m0=-1/7.0;m1=2/7.0;ifxx(1)>=1hx=m1*xx(1)+m0-m1;elseifabs(xx(1))<=1hx=m0*xx(1);elsehx=m1*xx(1)-m0+m1;endA=[09.001.0-1.01.0Oaaa0];x=A*xx;x=x+[-9*hx0O]';文件4：chua_demo.mx0=0.05*randn(3,1);[x0]=chua_initial(x0,-100/7);[xx]=chua(x0,1,-100/7,20000);plot(UVI(1,1:end),UVI(2,1:end));xlabel('Uc1(V)');ylabel('Uc2(V)');figure;plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end))xlabel('I(V)');ylabel('Uc1(V)');zlabel('Uc2(V)');(2)

对于本实验，其微分方程组的求解还可以采用离散化的处理。具体代码如下：（Matlab代码）functiondiscrete_chaidt=0.04;c1=1/9;c2=1;L=1/7;G=0.7;N=10000;a0=0.8;a1=0.1;MT=[1-dt*G/c1,dt*G/c1,0;dt*G/c2,(1-dt*G/c2),dt/c2;0,-dt/L,1];UVI=zeros(3,N);UVI(:,1)=[0.1;0.1;0.1];fork=1:N-1;Bd=[-dt/c1*a0*UVI(1,k)*(a1^2*UVI(1,k)^2/3-1);0;0];UVI(:,k+1)=MT*UVI(:,k)+Bd;endplot(UVI(1,1:end),UVI(2,1:end));xlabel('Uc1(V)');ylabel('Uc2(V)');figure;plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end))xlabel('I(V)');ylabel('Uc1(V)');zlabel('Uc2(V)'); 经验证：该代码的执行效率比四阶龙格库塔数值积分法要高，但初始精度稍差。

（2）数值仿真结果： 改变G的值，当G=0.7时，数值仿真出现双吸引子：Uc1-Uc2图 使用matlab的Plot3可以做出I-Uc1-Uc2的三维图：I-Uc1-Uc2图同时可以使用Plot做出I、Uc1和Uc2对时间的曲线：改变G值，使G=0.35，数值仿真出现单吸引子：Uc1-Uc2图使用matlab的Plot3可以做出I-Uc1-Uc2的三维图：同时可以使用Plot做出I、Uc1和Uc2对时间的曲线：在结果中可以看到，计算机数值模拟的相图特点和前述示波器的相图极为相似。同时利用计算机可以方便地更改系统参数，充分显现出计算机仿真的优越性。

六、选做实验： 费根鲍姆常数的测量： 以G作为系统参数，将RV1+RV2由一个较大值逐渐减小，记录出现倍周期分岔时的参数值Gn，得到倍周期分岔之间相继参量间隔之比：测量时n越大值越趋近于费根鲍姆常数。在本实验中由于条件限制，费根鲍姆常数的近似值可取： 实验测得：R1=8700；R2=11060；R3=11829。代入上述公式，可得：4.1728

七、实验后思考题：1．什么叫相图？为什么要用相图来研究混沌现象？本实验中的相图是怎么获得的？ 答：将电路方程x=V1(t)和y=V2(t)消去时间变量t而得到的空间曲线，在非线性理论中这种曲线称为相图。在非线性理论中，我们会看到使用运动状态之间的关系，更有利于揭示事物的本质，它突出了电路系统运动的全局概念。在本实验中，示波器CH1端接Vc1电压，CH2端接Vc2电压，这样就能获得Vc1-Vc2相图。2．什么叫倍周期分岔，表现在相图上有什么特点？ 答：系统在改变某些参数后，运动周期变为原先的两倍，即系统需要两倍于原先的时间才能恢复原状。这在非线性理论中称为倍周期分岔。 倍周期分岔在相图上表现为原先的一个椭圆变为两个分岔的椭圆，运动轨线从其中的一个椭圆跑到另一个椭圆，再在重叠处又跑到原来的椭圆上。3．什么叫混沌？表现在相图上有什么特点？ 答：混沌大体包含以下一些主要内容：系统进行着貌似无归律的运动，但决定其运动规律的基础动力学却是决定论的；具体结果敏感地依赖初始条件，从而其长期行为具有不可测性；这种不可预测性并非由外界噪声引起的；系统长期行为具有某些全局和普适性的特征，这些特征与初始条件无关。混沌在相图上的表现为轨道在某侧绕几圈似乎是随机的，但这种随机性和真正随机系统中不可预测的无规律又不相同。因为相点貌似无规律地游荡，不会重复已走过的路，但并不是以连续概率分布在相平面上随机行走，类似“线圈”的轨道本身是有界的，显然其中有某些规律。4．什么叫吸引子？什么是非奇异吸引子？什么是奇异吸引子？表现在相图上有什么特点？ 答：在系统条件一定下，无论个它什么样的初始条件，最终都将落入到各自的终态集上，这些终态集被称为“吸引子”。 周期解的吸引子称为非奇异吸引子，非周期解的吸引子称为奇异吸引子。5．什么是费根鲍姆常数？在本实验中如何测量它的近似值？ 答：对于某一系统，改变参量r，当r=r1时可以看到系统由稳定的周期一变为周期二，继续改变r，当当r=r2时周期二失稳，同时出现周期四，如此继续下去。定义：常数被命名为费根鲍姆常数。测量时n越大值越趋近于费根鲍姆常数。在本实验中由于条件限制，费根鲍姆常数的近似值可取：6．非线性电阻R的伏安特性如何测量？如何对实验数据进行分段拟合？实验中使用的是哪一段曲线？ 答：测量非线性电阻R时，把电感从电路中取出，这样可以把有源非线性负阻R与移相器的连线隔开。将电阻箱R0和有源非线性负阻并联，改变电阻箱R0的电阻值，用数字电压表测URO，获得有源非线性负阻在U<0V时的伏安特性。 分段时，先将实验点画在坐标平面上，确定拐点的位置，然后分组进行一元线性回归拟合。 实验中使用的是U<0V时的伏安特性曲线，需要和原点对称，获得U>0V时的伏安特性曲线。

八、实验感想： 在本次实验中，我初步了解了混沌的一些知识，并对混沌的理论和实际应用产生了兴趣。在实验后，我通过查阅相关资料了解到，20多年来，混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性、有序与无序的统一、稳定性与随机性的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了人类对客观世界的认识。混沌现象在非线性科学中指的是一种确定的但不可预测的运动状态。它的外在表现和纯粹的随机运动很相似，即都不可预测。但和随机运动不同的是，混沌运动在动力学上是确定的，它的不可预测性是来源于运动的不稳定性。或者说混沌系统对无限小的初值变动和微绕也具于敏感性，无论多小的扰动在长时间以后，也会使系统彻底偏离原来的演化方向。混沌现象是自然界中的普遍现象，天气变化就是一个典型的混沌运动。而在人类的实际生活中，混沌的机理也被广泛地应用在秘密通信、改善和提高激光器的性能等方面。在实验中我通过观察现象，加深了对RLC电路谐振的理解，并了解到这种原理在测量领域中的应用。同时，在测量非线性电阻R的伏安特性曲线中，通过思考连线方法和测量方法，锻炼了实验的能力。

参考资料：[1]杨晓松，李清都．混沌系统与混沌电路．北京：科学出版社，2007[2]孙志忠．数值分析．第二版．南京：东南大学出版社，2002．[3]冯久超，陈宏滨．蔡氏电路的仿真研究．华北航天工业学院学报Vol．15suppl，Jun2005

在结果中可以看到，计算机数值模拟的相图特点和前述示波器的相图极为相似。同时利用计算机可以方便地更改系统参数，充分显现出计算机仿真的优越性。

两倍周期

四倍周期

阵发混沌

三倍周期

单吸引子

双吸引子

使用计算机数值模拟混沌现象：（1）源程序（Matlab代码）： 算法核心：四阶龙格库塔数值积分法文件1：chua.mfunction[xx]=chua(x,time_variable,aaa,symbol_no)h=0.01;a=h/2;aa=h/6;xx=[];forj=1:symbol_no;k0=chua_map(x,time_variable,aaa);x1=x+kO*a;k1=chua_map(xl,time_variable,aaa);xl=x+k1*a;k2=chua_map(x1,time_variable,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(x1,time-variable,aaa);x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3);xx=[xxx];end文件2：chua_initial.m:function[x0]=chua_initial(x,aaa)h=0.01;a=h/2;aa=h/6;x=[-0.030.6-0.01]';k0=chua_map(x,1,aaa);x1=x+k0*a;k1=chua_map(xl,1,aaa);x1=x+k1*a;k2=chua_map(x1,1,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(x1,1,aaa);x=x+aa*(k0+2*(kl+k2)+k3);fork=2:400kO=chua_map(x,k,aaa);x1=x+k0*a;k1=chua_map(x1,k,aaa);x1=x+k1*a;k2=chua_map(x1,k,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(xl,k,aaa);x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3);endx0=x;文件3：chua_map.m:function[x]=chua_map(xx,time_variable,aaa)m0=-1/7.0;m1=2/7.0;ifxx(1)>=1hx=m1*xx(1)+m0-m1;elseifabs(xx(1))<=1hx=m0*xx(1);elsehx=m1*xx(1)-m0+m1;endA=[09.001.0-1.01.0Oaaa0];x=A*xx;x=x+[-9*hx0O]';文件4：chua_demo.mx0=0.05*randn(3,1);[x0]=chua_initial(x0,-100/7);[xx]=chua(x0,1,-100/7,20000);plot(UVI(1,1:end),UVI(2,1:end));xlabel('Uc1(V)');ylabel('Uc2(V)');figure;plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end))xlabel('I(V)');ylabel('Uc1(V)');zlabel('Uc2(V)');(2)

对于本实验，其微分方程组的求解还可以采用离散化的处理。具体代码如下：（Matlab代码）functiondiscrete_chaidt=0.04;c1=1/9;c2=1;L=1/7;G=0.7;N=10000;a0=0.8;a1=0.1;MT=[1-dt*G/c1,dt*G/c1,0;dt*G/c2,(1-dt*G/c2),dt/c2;0,-dt/L,1];UVI=zeros(3,N);UVI(:,1)=[0.1;0.1;0.1];fork=1:N-1;Bd=[-dt/c1*a0*UVI(1,k)*(a1^2*UVI(1,k)^2/3-1);0;0];UVI(:,k+1)=MT*UVI(:,k)+Bd;endplot(UVI(1,1:end),UVI(2,1:end));xlabel('Uc1(V)');ylabel('Uc2(V)');figure;plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end))xlabel('I(V)');ylabel('Uc1(V)');zlabel('Uc2(V)'); 经验证：该代码的执行效率比四阶龙格库塔数值积分法要高，但初始精度稍差。

（2）数值仿真结果： 改变G的值，当G=0.7时，数值仿真出现双吸引子：Uc1-Uc2图 使用matlab的Plot3可以做出I-Uc1-Uc2的三维图：I-Uc1-Uc2图同时可以使用Plot做出I、Uc1和Uc2对时间的曲线：改变G值，使G=0.35，数值仿真出现单吸引子：Uc1-Uc2图使用matlab的Plot3可以做出I-Uc1-Uc2的三维图：同时可以使用Plot做出I、Uc1和Uc2对时间的曲线：

基于C8051F单片机直流电动机反馈控制系统的设计与研究基于单片机的嵌入式Web服务器的研究MOTOROLA单片机MC68HC（8）05PV8/A内嵌EEPROM的工艺和制程方法及对良率的影响研究基于模糊控制的电阻钎焊单片机温度控制系统的研制基于MCS-51系列单片机的通用控制模块的研究基于单片机实现的供暖系统最佳启停自校正（STR）调节器单片机控制的二级倒立摆系统的研究基于增强型51系列单片机的TCP/IP协议栈的实现基于单片机的蓄电池自动监测系统基于32位嵌入式单片机系统的图像采集与处理技术的研究基于单片机的作物营养诊断专家系统的研究基于单片机的交流伺服电机运动控制系统研究与开发基于单片机的泵管内壁硬度测试仪的研制基于单片机的自动找平控制系统研究基于C8051F040单片机的嵌入式系统开发基于单片机的液压动力系统状态监测仪开发模糊Smith智能控制方法的研究及其单片机实现一种基于单片机的轴快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于双单片机冲床数控系统的研究基于CYGNAL单片机的在线间歇式浊度仪的研制基于单片机的喷油泵试验台控制器的研制基于单片机的软起动器的研究和设计基于单片机控制的高速快走丝电火花线切割机床短循环走丝方式研究基于单片机的机电产品控制系统开发基于PIC单片机的智能手机充电器基于单片机的实时内核设计及其应用研究基于单片机的远程抄表系统的设计与研究基于单片机的烟气二氧化硫浓度检测仪的研制基于微型光谱仪的单片机系统单片机系统软件构件开发的技术研究基于单片机的液体点滴速度自动检测仪的研制基于单片机系统的多功能温度测量仪的研制基于PIC单片机的电能采集终端的设计和应用基于单片机的光纤光栅解调仪的研制气压式线性摩擦焊机单片机控制系统的研制基于单片机的数字磁通门传感器基于单片机的旋转变压器-数字转换器的研究基于单片机的光纤Bragg光栅解调系统的研究单片机控制的便携式多功能乳腺治疗仪的研制基于C8051F020单片机的多生理信号检测仪基于单片机的电机运动控制系统设计Pico专用单片机核的可测性设计研究基于MCS-51单片机的热量计基于双单片机的智能遥测微型气象站MCS-51单片机构建机器人的实践研究基于单片机的轮轨力检测基于单片机的GPS定位仪的研究与实现基于单片机的电液伺服控制系统用于单片机系统的MMC卡文件系统研制基于单片机的时控和计数系统性能优化的研究基于单片机和CPLD的粗光栅位移测量系统研究单片机控制的后备式方波UPS提升高职学生单片机应用能力的探究基于单片机控制的自动低频减载装置研究基于单片机控制的水下焊接电源的研究基于单片机的多通道数据采集系统基于uPSD3234单片机的氚表面污染测量仪的研制基于单片机的红外测油仪的研究96系列单片机仿真器研究与设计基于单片机的单晶金刚石刀具刃磨设备的数控改造基于单片机的温度智能控制系统的设计与实现基于MSP430单片机的电梯门机控制器的研制基于单片机的气体测漏仪的研究基于三菱M16C/6N系列单片机的CAN/USB协议转换器基于单片机和DSP的变压器油色谱在线监测技术研究基于单片机的膛壁温度报警系统设计基于AVR单片机的低压无功补偿控制器的设计基于单片机船舶电力推进电机监测系统基于单片机网络的振动信号的采集系统基于单片机的大容量数据存储技术的应用研究基于单片机的叠图机研究与教学方法实践基于单片机嵌入式Web服务器技术的研究及实现基于AT89S52单片机的通用数据采集系统基于单片机的多道脉冲幅度分析仪研究机器人旋转电弧传感角焊缝跟踪单片机控制系统基于单片机的控制系统在PLC虚拟教学实验中的应用研究基于单片机系统的网络通信研究与应用基于PIC16F877单片机的莫尔斯码自动译码系统设计与研究基于单片机的模糊控制器在工业电阻炉上的应用研究基于双单片机冲床数控系统的研究与开发基于Cygnal单片机的μC/OS-Ⅱ的研究基于单片机的一体化智能差示扫描量热仪系统研究基于TCP/IP协议的单片机与Internet互联的研究与实现变频调速液压电梯单片机控制器的研究基于单片机γ-免疫计数器自动换样功能的研究与实现基于单片机的倒立摆控制系统设计与实现单片机嵌入式以太网防盗报警系统基于51单片机的嵌入式Internet系统的设计与实现单片机监测系统在挤压机上的应用MSP430单片机在智能水表系统上的研究与应用基于单片机的嵌入式系统中TCP/IP协议栈的实现与应用单片机在高楼恒压供水系统中的应用基于ATmega16单片机的流量控制器的开发基于MSP430单片机的远程抄表系统及智能网络水表的设计基于MSP