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经济数学经济数学-01第1章极限与连续经济数学-02第2章导数与微分经济数学-03第3章微分中值定理与导数的应用经济数学-04第4章不定积分经济数学-05第5章定积分及其应用经济数学-06第6章多元函数微分学经济数学-07第7章行列式经济数学-08第8章矩阵经济数学-09第9章线性方程组经济数学-10第10章概率论初步经济数学-11第11章数理统计初步

1.1

函数PART01延迟符1.1.1函数的定义定义1设D是由数组成的集合.如果对于每个数x∈D，变量y按照一定的对应法则f总有唯一确定的数值和它对应，那么将对应法则f称为在D上x到y的一个函数，记作y=f(x)，x称为自变量,y称为因变量，D称为函数的定义域.当x取x0∈D时，与x0对应的y的数值称为函数在点x0处的函数值，记作f(x0).当x取遍D中的一切数时，对应的函数值集合M={y|y=f(x)，x∈D}称为函数的值域.在函数的定义中，如果对于每一个x∈D，都有唯一的y与它对应，那么这种函数称为单值函数；若同一个x值可以对应多于一个的y值，那么这种函数称为多值函数.例如，由方程x2+y2=9所确定的以x为自变量的函数是一个多值函数，而它的每一个“分支”或都是单值函数.以后如果没有特别说明，所说的函数都是指单值函数.1.1函数添加标题1添加标题2添加标题3(1)表格法将自变量的值与对应的函数值列成表格表示两个变量的函数关系的方法，如三角函数表、常用对数表及经济分析中的各种统计报表等；(2)图形法用图形表示两个变量的函数关系的方法，如图1-1所示；(3)解析法用一个等式表示两个变量的函数关系的方法，如y=x+3，y=lg(x+2)等.延迟符1.1.2函数的表示法(1)分式的分母不能为零(2)偶次根式的被开方数必须为非负数；(3)对数式中的真数必须大于零；(4)幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数考虑各自的定义域；(5)若函数表达式是由几个数学式子组成，则其定义域应取各部分定义域的交集；(6)分段函数的定义域是各个定义区间的并集．1.1.3函数的定义域在实际问题中，函数的定义域要根据问题的实际意义确定．当不考虑函数的实际意义，而仅就抽象的解析式来研究函数时，这时定义域就取使解析式有意义的自变量的全体.要使解析式有意义，我们通常考虑以下几点：【例2】求下列函数的定义域：(1)；(2)

【解】(1)若使函数有意义，则x2+2x+1≠0，即(x+1)2≠0.即x≠-1.所以函数的定义域为(-∞，-1)∪(-1，+∞).(2)若使函数有意义，则，即解得1＜x≤2或-2≤x＜-1.所以函数的定义域为［-2，-1)∪(1，2］.1.1.4函数的几种特性1.奇偶性定义2设函数的定义域D关于原点对称.如果对于任意的x∈D,f(-x)=-f(x)，那么f(x)为奇函数；如果对于任意的x∈D，f(-x)=f(x)，那么f(x)为偶函数.否则f(x)为非奇非偶函数.奇函数的图形关于原点对称，如图12所示;偶函数的图形关于y轴对称，如图1-3所示.1.1函数1.1.4函数的几种特性2.单调性定义3若对于区间D内任意的两点x1，x2，当x1＜x2时，恒有f(x1)≤f(x2)，那么f(x)在区间D上单调增加，区间D称为单调增区间；特别地，当x1＜x2时，恒有f(x1)<f(x2),则称f(x)为D上的严格增函数.如果恒有f(x1)＞f(x2)，那么f(x)在区间D上单调减少，区间D称为单调减区间;特别地，当x1>x2时，恒有f(x1)>f(x2),则称f(x)为D上严格减函数.单调递增函数的图形沿x轴正向上升，如图1-4所示；单调递减函数的图形沿x轴正向下降，如图1-5所示.1.1函数【例4】证明f(x)=x2在区间［0，+∞)上是单调递增函数.

【证明】设x1，x2∈［0，+∞)，且x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2).因为x1，x2∈［0，+∞)，x1＜x2，所以x1+x2＞0，x1-x2＜0，所以f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)=x2在区间［0，+∞)上是单调递增函数.3.有界性定义4设函数f(x)的定义域为D，数集若存在数K1，使得f(x)≤K1

对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有上界，而K1称为函数f(x)在X上的一个上界（任问大于K1的数也是f(x)在X上的上界）；若存在数K2，使得f(x)≥K2

对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有下界，而K2称为函数f(x)在X上的一个下界（任问小于K2的数也是在f(x)在X上的下界）；若存在正数M，使得|f(x)|≤M对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有界；若这样的M不存在，则称函数f(x)在X上无界，这就是说，如果对于任何正数M,总存在x1∈X，使|f(x1)|＞M，那么函数f(x)在X上无界.1.1.4函数的几种特性4.周期性定义5设函数f(x)的定义域为D，对于任意的x∈D，存在不为零的数T，使f(x+T)=f(x)，那么f(x)为D上的周期函数，T称为函数的一个周期，并且nT(n为非零整数)也是它的周期.平时，我们把函数的最小正周期称为函数的周期.1.1函数1.1.5初等函数1.基本初等函数我们把常数函数y=c(c为常数)、幂函数y=xα(α为实数)、指数函数y=ax(a＞0，a≠1，a为常数)、对数函数y=logax(a＞0，a≠1，a为常数)、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.2.复合函数定义6若函数y=f(u),u=g(x),且u=g(x)的值域或部分值域包含在f(u)的定义域中,则变量y通过变量u与变量x建立了对应关系,这个对应关系称为y是x的复合函数,u是中间变量,x是自变量,通常将y=f(u),u=g(x)合并写成y=f［g(x)］例如,y=sin2x就是由y=u2,u=sinx复合而成的,这个复合函数的定义域为（-∞，+∞）,它也是u=sinx的定义域.同样地,y=1-x2是由y=u,u=1-x2复合而成的,这个复合函数的定义域为［-1,1］,它只是u=1-x2的定义域(-∞,+∞)的一部分.

【例8】设f(x)=x2,g(x)=log2x,求f［g(x)］,g［f(x)］,f［f(x)］.【解】f［g(x)］=(log2x)2=log22x;g［f(x)］=log2f(x)=log2x2=2log2|x|;f［f(x)］=[f(x)]2=(x2)2=x4.延迟符1.1函数

1.2极限PART02延迟符1.2.1数列的极限从图1-9中可看出，当n增大时，点(n，an)从横轴上方无限接近于直线an=0.这表明，当n无限增大时，数列通项an=1n的值无限趋近于零.同样，从图110中可看出，当n增大时，点(n，an)从上下两侧无限接近于直线an=1.这表明，当n无限增大时，数列通项的值无限趋近于常数1.上述数列的变化趋势具有相同的特点：当n无限增大时，数列的项an无限地趋近于某个常数A.定义1如果无穷数列{an}的项数n无限增大时，an无限趋近于一个确定的常数A,那么A就叫做数列{an}的极限(limit).记作：或an→A(当n→∞时).读作“当n趋向于无穷大时，数列{an}的极限等于A”.根据定义，上面三个数列的极限分别记作：1.2极限1.2.2函数的极限1.当x→∞时函数f(x)的极限定义2如果当x→∞时,函数f(x)无限趋近于确定的常数A,那么A就叫做函数f(x)当x→∞时的极限,记作或当x→∞时,f(x)→A.注意这里“x→∞”表示x既取正值而无限增大(记作x→+∞)，同时也取负值而绝对值无限增大(记作x→-∞).但有的时候x的变化趋势只能取这两种变化中的一种情况.定义3如果当x→+∞(或x→-∞)时，函数f(x)的值无限趋近于一个确定的常数A,那么A就称为函数f(x)当x→+∞(或x→-∞)时的极限，记作或当x→+∞时，f(x)→A或当x→-∞时，f(x)→A).2.当x→x0时函数f(x)的极限定义4设函数y=f(x)在x0的某空心邻域，如果当x无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数A，那么A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限，记作：或当x→x0时，f(x)→A.【例3】如图1-12所示,根据图形求的值.【解】如图1-12所示，当x从3的左侧无限趋近于3时，即x取2.9，2.99，2.999，…→3时，对应的函数f(x)的值从1.97，1.997，1.9997，…→2.当x从3的右侧无限趋近于3时，即x取3.1，3.01，3.001，…→3时，对应的函数f(x)的值从2.03，2.003，2.0003，…→2.图1-12由此可知，当x→3时，f(x)=x3+1的值无限趋近于2.即

定义5如果当时，函数f(x)的值无限趋近于一个确定的常数A，那么A就称为函数f(x)在x0处的左极限(leftlimit)，记作或如果当时，函数f(x)的值无限趋近于一个确定的常数A，那么A就称为函数f(x)在x0处的右极限(rightlimit)，记作

或根据x→x0时函数f(x)的极限的定义和左右极限的定义,容易得到如下结论:延迟符1.2极限1.无穷小量2.无穷大量.定义6如果当x→x0(或x→∞)时，函数f(x)的极限为零，那么称函数f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷小量，简称无穷小(1)无穷小和绝对值很小的数是截然不同的.例如，10-10，10-100都是很小的数，但不是无穷小.只有零是可以作为无穷小的唯一的常数，因为(2)无穷小和自变量的变化趋势是密切相关的.例如，函数

，当x→∞时，

为无穷小；当x→1时，

就不是无穷小.定义7如果当x→x0(或x→∞)时，函数f(x)的绝对值无限增大，那么称函数f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷大量，简称无穷大.如果按函数极限的定义来看，f(x)的极限不存在，但是为了便于叙述，我们称“函数的极限是无穷大”，并记作limx→x0(x→∞)f(x)=∞.如果在无穷大的定义中，对于x0邻域内的x(或对于绝对值相当大的x)，对应的函数值都是正的或都是负的，则这两种情形分别记作VS延迟符1.2极限1.2极限3.无穷小量与无穷大量的关系定理

在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，那么

为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)≠0，那么

为无穷大.4.无穷小量的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下三个性质：性质1有限个无穷小的代数和为无穷小.性质2有界函数与无穷小的乘积为无穷小.性质3有限个无穷小的乘积为无穷小.1.2极限1.2.4极限的运算法则

利用极限的定义只能计算一些很简单的函数的极限，对于比较复杂的函数极限，我们需要用到极限的运算法则来进行计算.下面给出函数极限的运算法则：法则

设

则有法则（1）和法则（2）可推广到有限个具有极限的函数的情形.1.2极限【例8】求【例9】求1.判定极限存在的两个准则为了得出两个重要极限公式，先给出两个判定极限存在的准则.准则1如果函数f(x),g(x),h(x)在同一变化过程中满足g(x)≤f(x)≤h(x)且limg(x)=limh(x)=A，那么limf(x)存在且等于A.准则2若数列{xn}单调有界，一定存在.1.2.5两个重要极限延迟符1.2极限1.2极限1.判定极限存在的两个准则

2两个重要极限公式（1）

我们考查当x趋近于0时，函数的变化趋势，列表1-1如下：1.2极限（2）

我们考查当时，函数的变化趋势，列表1-2如下：从上表中可以看出，当x→+∞和x→-∞时，函数

无限趋近于一个确定的常数，这个常数就是无理数e=2.71828182845…，即1.2极限从上表中可以看出，当x→+∞和x→-∞时，函数无限趋近于一个确定的常数，这个常数就是无理数e=2.71828182845…，即在上式中，令，则当x→∞时，u→0，于是我们可以得到另一种形式即1.3函数的连续性PART03延迟符1.3函数的连续性

延迟符1.3.1函数连续的概念1.函数的增量定义1设函数y=f(x)，当自变量由初值x0变到终值x1时，我们把差值x1-x0叫做自变量的增量(或改变量)，记作Δx，即Δx=x1-x0，因此x1=x0+Δx.这时可以说，自变量由初值x0变化到x0+Δx.相应地，函数值由f(x0)变化到f(x0+Δx)，我们把差值f(x0+Δx)-f(x0)叫做函数的增量(或改变量)，记作Δy，即Δy=f(x0+Δx)-f(x0).1.3函数的连续性

延迟符2.函数的连续定义2设定义2设函数y=f(x)在点x0某邻域内有定义，如果当自变量x在x0处的增量Δx趋近于零时，函数y=f(x)的相应增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)也趋近于零，也就是说，有，那么称函数y=f(x)在点x0处连续,x0称为函数f(x)的连续点.定义3如果函数y=f(x)在点x0某邻域内有定义，并且，那么称函数y=f(x)在点x0处连续，x0称为函数f(x)的连续点.据此，函数y=f(x)在点x0连续必须满足以下三个条件：（1）函数f(x)在点x0处有定义；（2）

存在；（3）如果函数y=f(x)在x0处不连续，那么称函数f(x)在x0处是间断的，点x0称作函数y=f(x)的间断点或不连续点.1.3函数的连续性

延迟符定义4设函数y=f(x)在x0处及其左(或右)邻域内有定义，如果那么称函数f(x)在x0处左连续(或右连续).定义5如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点都连续，那么称函数f(x)在区间(a，b)内连续，或称函数f(x)为区间(a，b)内的连续函数，区间(a，b)称为函数f(x)的连续区间.如果f(x)在闭区间［a，b］上有定义，在区间(a，b)内连续，且在右端点b处左连续，在左端点a处右连续，即.那么称函数f(x)在闭区间［a，b］上连续.在几何上，连续函数的图形是一条连续不间断的曲线.1.3函数的连续性

延迟符1.3.2初等函数的连续性1.连续函数的和、差、积、商的连续性性质1如果函数f(x)与g(x)在点x0处连续，那么它们的和、差、积、商(分母在x0处不等于零)也都在x0处连续.即【例3】判断tanx和cotx在处的连续性.【解】由于，，而sinx和cosx在点处是连续的，所以tanx，cotx在点

处也是连续的.1.3函数的连续性

延迟符2.复合函数的连续性性质2如果函数u=φ(x)在点x0处连续，且φ(x0)=u0，而函数y=f(u)在点u0处连续，那么复合函数y=f［φ(x)］在点x0处也连续.【例4】判断y=lnsinx在

处的连续性.【解】函数u=sinx在处连续，当时，u=12；函数y=lnu在点u=12处连续.所以，复合函数y=lnsinx在点

处也是连续的.1.3函数的连续性

延迟符3.初等函数的连续性根据初等函数的定义，由基本初等函数的连续性，以及连续函数的和、差、积、商的连续性和复合函数的连续性可得到下面的重要结论：性质3一切初等函数在其定义区间内都是连续的.【例5】求【解】因为是初等函数，并且它的定义区间为(1，+∞)，而2∈(1，+∞)，所以1.3.3闭区间上连续函数的性质性质4如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，那么函数f(x)在［a,b］上一定有最大值与最小值.如图1-14所示，可以看出，在［a，b］上至少有一点ξ(a≤ξ≤b)使得f(ξ)=m为最小值，即m=f(ξ)≤f(x)(a≤x≤b)，又至少有一点η(a≤η≤b)使f(η)=M为最大值，即M=f(η)≥f(x)(a≤x≤b).1.3函数的连续性推论如果函数y=f(x)在闭区间［a，b］上连续，且f(a)与f(b)异号，那么至少存在一点ξ(a＜ξ＜b)，使得f(ξ)=0.推论的几何意义是：在［a，b］上连续的曲线y=f(x)两端点落在x轴的上、下两侧时，则曲线与x轴至少有一个交点，如图1-17所示.1.3函数的连续性性质5如果函数y=f(x)在闭区间［a，b］上连续，且在两端点取不同的函数值f(a)=A和f(b)=B，C是A与B之间的任一数，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C(a＜ξ＜b).这就是介值定理，它的几何意义是：在［a，b］上的连续曲线y=f(x)与直线y=C(C在A与B之间)至少有一个交点，交点坐标为(ξ，f(ξ))，其中f(ξ)=C，如图1-16所示.1.3函数的连续性1.3函数的连续性【例7】证明方程x3-4x2+1=0在(0，1)内至少有一个实根.【证明】设f(x)=x3-4x2+1，因为它在闭区间［0，1］上连续，并且f(0)=1＞0，f(1)=-2＜0，所以根据推论可知，f(x)在(0，1)内至少有一点ξ(0＜ξ＜1)使得f(ξ)=0，即ξ3-4ξ2+1=0(0＜ξ＜1).这个等式说明方程x3-4x2+1=0在开区间(0，1)内至少有一个实根.1.4经济学中常用的函数PART04延迟符1.4.1需求函数与供给函数

1.需求函数一种商品的市场需求量Q与该商品的价格P密切相关，通常降低商品价格会使需求量增加,提高商品价格会使需求量减少.如果不考虑其他因素的影响，需求量Q可以看成是价格P的一元函数，称为需求函数，记作Q=Q(P).一般来说，需求函数为价格P的单调减少函数.根据市场统计资料，常见的需求函数有以下几种类型：

(1)线性需求函数Q=a-bP(a>0，b>0)；

(2)二次需求函数Q=a-bP-cP2(a>0，b>0，c>0)；

(3)指数需求函数Q=ae-bP(a>0,b>0).需求函数Q=Q(P)的反函数，就是价格函数，记作P=P(Q)，也反映商品的需求与价格的关系．延迟符1.4经济学中常用的函数1.4经济学中常用的函数

延迟符2.供给函数

某种商品的市场供给量S也受商品价格P的制约，价格上涨将刺激生产者向市场提供更多的商品，使供给量增加；反之，价格下跌将使供给量减少．供给量S也可看成价格P的一元函数，称为供给函数，记为

S=S(P)．供给函数为价格P的单调增加函数．常见的供给函数有线性函数、二次函数、幂函数、指数函数等．其中，线性供给函数为

S=-c+dP(c>0，d>0)．使某种商品的市场需求量与供给量相等的价格P0，称为均衡价格．当市场价格P高于均衡价格P0时，供给量将增加而需求量相应地减少，这时产生的“供大于求”的现象必然使价格P下降；当市场价格P低于均衡价格P0时，供给量将减少而需求量增加，这时会产生“物资短缺”现象，从而又使得价格P上升．市场价格的调节就是这样来实现的．1.4.2成本函数、平均成本函数产品的成本一般有两类：一类随产品的数量变化，如需要的劳动力、消耗的原料等，这种生产成本称为可变成本；另一类成本无论生产水平如何都固定不变，如房屋、设备的折旧费、保险费等，称为固定成本.设Q为某种产品的产量，C为生产此种产品的成本，则用C=C（Q）表示该种产品的成本函数.设生产每个单位产品的成本为a，固定成本为C0，则成本函数为C=C（Q）=aQ+C0.用C表示生产Q个单位产品的平均成本，则延迟符1.4经济学中常用的函数1.4经济学中常用的函数

延迟符【例3】已知某种产品的成本函数为求当生产100个该产品时的成本与平均成本函数.【解】由题意，产量为100时的总成本为平均成本函数为1.4经济学中常用的函数

延迟符1.4.3价格函数、收入函数与利润函数需求函数Q=f(P)与价格函数P=P(Q)是互为反函数的关系．对于卖方来说，其销售收入R就是在需求量(即销售量)为Q时的价格P与需求量Q的乘积，即R=PQ.

将价格函数P=P(Q)代入上式，则收入R表示为需求量的函数，即R=PQ=QP（Q）.

将需求函数Q=f(P)代入R=PQ中时，收入R又可表示为价格P的函数，即R=PQ=Pf(P).1.4经济学中常用的函数

延迟符【例4】设对某商品的需求函数为Q=f(P)=100-2P.求当价格为5时的收入与需求量为80时的收入．【解】当收入表示为价格的函数时，故价格为5时的收入为

当收入表示为需求量的函数时，首先求需求函数的反函数即价格函数：故故需求量为80时的收入为

设总利润为L，由于总利润=总收入-总成本，故L=R-C.当收入R表示为产量Q的函数R=R（Q）时L=L(Q)=R(Q)-C(Q).若用

或AL表示每单位产量的平均利润，则谢谢观看经济数学2.1函数的导数PART01延迟符2.1.1引例1.变速直线运动的瞬时速度我们知道在物理学中，物体做匀速直线运动时，它在任何时刻的速度可由公式来计算.其中，s为物体经过的路程，t为时间.如果物体做非匀速运动，它的运动规律是s=s(t)，那么在某一段时间［t0，t1］内，物体的位移(即位置增量)s(t1)-s(t0)与所经历的时间(即时间增量)t1-t0的比，就是这段时间内物体运动的平均速度.我们把位移增量s(t1)-s(t0)记作Δs，时间增量t1-t0记作Δt，平均速度记作v，得2.1函数的导数2.1.1引例1.变速直线运动的瞬时速度由于物体做变速运动，用匀速直线运动的公式v=st来计算它在某一时刻的速度已不适用.处理这个问题的基本方法是“匀速代变速”.为此，给t0一个增量Δt，当时间由t0改变到t0+Δt时，在Δt这一段时间内，物体的位移是物体在时间间隔Δt内的平均速度是令Δt→0，如果平均速度v的极限存在，那么这个极限值就叫做物体在时刻t0的速度(瞬时速度)，即2.1函数的导数延迟符2.1函数的导数2.切线问题设M是曲线C上任一点，N是曲线上在点M附近的一点，作割线MN.当点N沿着曲线C向点M移动时，割线MN就绕着M转动，当点N无限趋近于点M时，割线MN的极限位置为MT，直线MT叫做曲线在点M处的切线，如图2-1所示.已知曲线方程y=f(x)，可以求过曲线上点M(x0，y0)处的切线斜率.在M点的附近取点N(x0+Δx，y0+Δy)，其中Δx可正可负，作割线MN，其斜率为(φ为倾斜角)添加标题1添加标题2添加标题3延迟符2.1函数的导数2.切线问题当Δx→0时，割线MN将绕着点M转动到极限位置MT,如图2-2所示.根据上面切线的定义，直线MT就是曲线y=f(x)在点M处的切线.自然，割线MN的斜率tanφ的极限就是切线MT的斜率tanα(α是切线MT的倾斜角)，即2.1.2导数的概念.定义1设函数y=f(x)在点x0某邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx时，相应地函数y有增量如果当Δx→0时，的极限存在，那么这个极限就称为函数y=f(x)在点x0处的导数，记为y′|x=x0，即也可以记作如果式(2-1)的极限存在，那么就称函数f(x)在点x0处可导.如果式(2-1)的极限不存在，那么就说函数y=f(x)在点x0处不可导.如果函数y=f(x)在区间(a，b)内的每一点都可导，那么就说函数y=f(x)在区间(a,b)内可导.这时，对于(a,b)内的每一个x值，都有唯一确定的导数值与之对应，这就构成了x的一个新的函数，这个新的函数叫做原来函数y=f(x)的导函数，记为y′，f′(x)，或在式(2-1)中，把x0换成x，即得y=f(x)的导函数公式：函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x=x0处的函数值，即在不致引起混淆的地方，导函数也称导数.定义2

设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，若存在，则称y=f(x)在点x0的左(右)导数存在，记作f′-(x0)(f′+(x0)).函数的左(右)导数又称函数的单侧导数.函数y=f(x)在点x0处导数存在时，有结论：f′(x0)存在左导数f′-(x0)和右导数f′+(x0)存在并且相等.2.1函数的导数2.1.3导数的几何意义由切线斜率问题的讨论及导数定义可知:函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处的切线斜率,即其中，α是切线的倾斜角.根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得,曲线y=f(x)在给定点M(x0,y0)处的切线方程是过切点M(x0,y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M(x0,y0)的法线.若f′(x0)≠0,则法线方程为2.1函数的导数【例1】求过曲线y=3x2上点(2,12)的切线方程与法线方程.【解】因为f′(x)=(3x2)′=6x，则f′(2)=12.于是过点(2,12)的切线方程为y-12=12(x-2)，即12x-y-12=0.法线方程为y-12=-112(x-2)，即x+12y-146=0.2.1.4函数可导性与连续性的关系设函数y=f(x)在点x0处可导,即极限存在.由函数极限存在与无穷小的关系知(α是当Δx→0时的无穷小)上式两端同乘以Δx,得Δy=f′(x0)Δx+αΔx.不难看出,当Δx→0时,Δy→0.这就是说,函数y=f(x)在点x0处是连续的.所以,若函数y=f(x)在点x0处可导,则函数在该点处必连续.2.1函数的导数【例2】证明:函数y=3x在点x=0处连续,但在x=0处不可导.【证明】因为在点x=0处有y=0，是，所以

在点x=0处连续，因为在点x=0处有而当Δx→0时,,即导数为无穷大,即不可导.这种情况表示曲线y=3x在原点具有垂直于x轴的切线.

1.2极限2.2函数的求导法则PART02延迟符2.2.1函数和、差、积、商的求导法则法则1若函数u=u(x)和v=v(x)在点x处可导，则函数u(x)±v(x)也在x处可导，且［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x).法则2若函数u=u(x)和v=v(x)在点x处可导，则函数u(x)•v(x)在点x处也可导，且［u(x)•v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).特别地，令v(x)=C(常数)，则由于C′=0，所以有［Cu(x)］′=Cu′(x).法则3若函数u=u(x)和v=v(x)在点x处可导，且v(x)≠0，则函数在点x处也可导,且2.2函数的求导法则【例3】求函数y=xlnx+6x2+cosx的导数.【解】【例4】求函数的导数.【解】2.2.2复合函数的求导法则法则4如果函数u=φ(x)在点x处可导，且y=f(u)在对应点u=φ(x)处可导，那么复合函数f［φ(x)］在点x处也可导，并且或f′(x)=f′(u)•φ′(x).法则4可以推广到有有限个中间变量可导函数的复合函数的情况.例如，y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)都是可导函数，则复合函数y=f｛φ［ψ(x)］｝的导数是利用导数定义及其他求导方法，可以求得基本初等函数的导数公式：延迟符2.2函数的求导法则2.2函数的求导法则【例5】求函数y=(2x+3)2的导数.【解】设y=u2，u=2x+3，则y′=(u2)′•(2x+3)′=2u•2=4u=4(2x+3).【例6】求函数y=ln(x2+3)的导数.【解】设y=lnu，u=x2+3，则2.2函数的求导法则2.2.3隐函数的求导法则由一个含有x和y的方程F(x，y)=0来确定的函数y,如x2+y2=4，xy=ex+y等，这样的函数叫做隐函数.如果一个隐函数能够转化为显函数，其导数可以用以前学过的方法求得，但是，有的隐函数很难或是根本不能转化为显函数，在这种情况下，隐函数的求导方法如下：(1)将方程F(x，y)=0的两端对x求导，在求导过程中把y看成x的函数，y的函数看成是x的复合函数；(2)求导后，解出y′即可(式子中允许有y出现).2.2函数的求导法则【例8】求【例8】求函数y=xx的导数.【解】两端取自然对数，得lny=xlnx，两端对x求导，得所以y′=xx(lnx+1).

例8的解法叫做对数求导法，即先对函数式两端直接取对数得到隐函数，再按隐函数求导法则对式子两边求导，这种方法对于幂指函数和有较烦杂的乘除运算的函数很有效.2.2.4反函数的求导法则法则5设函数x=φ(y)在区间D内单调，在y处可导，且φ′(y)≠0，则其反函数y=f(x)在x=φ(y)处也可导，且【例9】求函数y=arcsinx的导数.【解】由y=arcsinx得x=siny，两端对x求导，得1=cosy•y′，所以即类似地可以求得延迟符2.2函数的求导法则2.2函数的求导法则2.2.5参数方程所确定的函数的导数在实际应用中，函数y与自变量x的关系常常通过某一参数变量t表示出来，即,t为参数，称为函数的参数方程.由于y是参数t的函数，由x=φ(t)知t是x的函数，所以，y通过t确定为x的复合函数.于是，由复合函数的求导法则及反函数的导数公式有2.2函数的求导法则【例10】求由参数方程

确定的函数的导数【解】2.3高阶导数PART03延迟符2.3高阶导数延迟符2.3.1高阶导数的概念一般来说，函数y=f(x)的导数y′=f′(x)仍是x的函数.若函数y′=f′(x)仍是可导的，则把y′=f′(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数，记为y″，f″(x)或.相应地，y′=f′(x)叫做函数y=f(x)的一阶导数.类似地,y=f(x)的二阶导数y″的导数叫做y=f(x)的三阶导数,三阶导数的导数叫做y=f(x)的四阶导数，等等.一般地,f(x)的n-1阶导数的导数叫做y=f(x)的n阶导数,分别记作二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.2.3高阶导数

延迟符【例1】求函数y=cosx+lnx+x2的二阶导数.【解】因为,所以【例2】求函数y=ax的二阶导数,并推导函数的n阶导数公式.【解】2.3高阶导数

延迟符2.3.2二阶导数的物理意义设物体做变速直线运动,其运动方程为s=s(t),瞬时速度为v=s′(t).此时,若速度v仍是时间t的函数,我们可以求速度v对时间t的变化率:v′(t)=(s′(t))′=s″(t).在力学中把上式叫做物体在给定时刻的加速度,用a表示.也就是说,物体的加速度a是路程s对时间t的二阶导数,即2.4函数的微分PART04延迟符2.4.1微分的概念当自变量有一微小的增量时,函数的增量是多少.例如，一个边长为x0的正方形金属薄片,当受冷热影响时,其边长由x0变到(x0+Δx),问此时薄片的面积的改变量是多少?设正方形薄片的边长为x0,面积为y,则上面问题就是求当函数y=x2的自变量由x0变到(x0+Δx)时函数y的改变量Δy,也就是面积的改变量，即例如,当x0=10,Δx=01时,面积的改变量为Δy=2×10×0.1+0.12=2.01;当x0=10,Δx=0.01时,面积的改变量为Δy=2×10×0.01+0.012=0.2001;当x0=10,Δx=0.001时,面积的改变量为Δy=2×10×0.001+0.0012=0.020001.由此可见,当|Δx|很小时,(Δx)2的作用非常小,可以忽略不计.因此,函数y=x2在x0有微小改变量Δx时,函数的改变量Δy约为2x0•Δx,即Δy≈2x0•Δx.延迟符2.4函数的微分2.4函数的微分

延迟符从图2-3中不难看出,Δy表示的是以x0为边长的正方形外围的阴影部分面积,它为图示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ部分的面积之和，即2(x0•Δx)+(Δx)2，显然当|Δx|相对于x0很小时，(Δx)2是微乎其微的.2.4函数的微分

延迟符

当f(x)=x2时，f′(x0)=2x0，因此Δy≈2x0•Δx可以写成Δy≈f′(x0)•Δx.由于f′(x0)•Δx是Δx的线性函数，所以通常把f′(x0)•Δx叫做Δy的线性主部.一般地，对于给定的可导函数y=f(x)，当自变量在x0处有微小的改变量Δx时，函数值y的改变量Δy可用下式近似计算，即Δy≈f′(x0)•Δx我们把f′(x0)•Δx称为函数y=f(x)在点x=x0处的微分.2.4函数的微分

延迟符定义如果函数y=f(x)在点x0处存在导数f′(x0)，那么f′(x0)•Δx就叫做函数y=f(x)在点x0处的微分，记作，即若函数y=f(x)在区间(a，b)内任一点x处都可导，则把它在点x处的微分叫做函数的微分，记作dy或df(x)，即

由定义可以知道自变量的微分就是自变量的改变量，记作dx，即dx=Δx，于是(2-3)将式(2-3)两边同时除以dx可以得出上式说明导数f′(x)是函数的微分dy与自变量的微分dx的商，因此导数也叫做微商.今后我们把可导函数也称为可微函数.2.4.2微分的几何意义如图2-4所示，设曲线y=f(x)上一点P的坐标为(x0，f(x0))，过点P作割线PQ交曲线于点Q，其坐标为(x0+Δx，f(x0+Δx))，则dx=Δx=PR，Δy=RQ.又设过点P(x0，f(x0))的切线PT交RQ于点M，函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)是过P点的切线PT的斜率，即因此函数在点x0的微分为这说明函数在x=x0处的微分是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的纵坐标对应于Δx的改变量.延迟符2.4函数的微分2.4函数的微分

延迟符2.4.3微分的运算

从函数微分的表达式dy=f′(x)dx可知，要计算函数的微分，只要求出函数的导数，再乘以自变量的微分即可.因此，从导数的基本公式和运算法则就可以直接推出微分的基本公式和运算法则.2.4函数的微分

延迟符2.函数和、差、积、商的微分法则由函数的和、差、积、商的求导法则，可以求得函数和、差、积、商的微分法则：2.4函数的微分

延迟符3.复合函数的微分法则

若函数y=f(u)及u=φ(x)都可导，则复合函数y=f[φ(x)]的微分为dy=y′xdx=f′(u)φ′(x)dx，由于φ′(x)dx=du，故上式为dy=f′(u)du.所以复合函数的微分法则为dy=f′(u)du.将这个公式与x为自变量的微分公式dy=f′(x)dx相比较，可以发现它们的形式完全相同，这表明无论u是自变量还是中间变量(即自变量的函数)，函数y=f(u)的微分形式dy=f′(u)du都保持不变，微分的这种性质叫做一阶微分形式的不变性.2.4函数的微分

延迟符2.4.4微分在近似计算中的应用

函数y=f(x)在x=x0处的增量Δy，当|Δx|很小时，可用微分dy来代替，即Δy≈dy=f′(x0)Δx，

于是Δy=f(x0+Δx)-f(x0)≈f′(x0)Δx，或f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx.

在上式中，令x0=0，Δx=x，得f(x)≈f(0)+f′(0)x.(2-4)应用式(2-4)可推得几个工程上常用的近似公式(假定|x|是很小的数值)：(1)

；(2)sinx≈x；(3)tanx≈x；(4)ln(1+x)≈x；(5)ex≈1+x.谢谢观看经济数学3.1微分中值定理PART01延迟符3.1.1罗尔定理定理1（罗尔定理）如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a，b)内至少有一点ξ(a＜ξ＜b)，使得函数f(x)在该点的导数等于零，即f′(ξ)=0.在图3-1中,设曲线弧AB的方程为y=f(x)(a≤x≤b).罗尔定理的条件在几何上表示:AB是一条连续的曲线弧,除端点外处处具有不垂直于x轴的切线,且两个端点的纵坐标相等.定理的结论表达了这样一个几何事实:在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处曲线的切线是水平的.图3-1中看到,在曲线的最高点或最低点处,切线是水平的.3.1微分中值定理证明由于f(x)在闭区间［a,b］上连续,根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理,f(x)在闭区间［a,b］上必定取得它的最大值M和最小值m.这样只有两种可能情形:(1)M=m.这时f(x)在区间［a,b］上必然取相同的数值M:f(x)=M.由此有f′(x)=0,因此可以取(a,b)内任意一点作为ξ，从而有f′(ξ)=0.(2)M＞m.因为f(a)=f(b),所以M和m这两个数中至少有一个不等于f(x)在区间［a,b］的端点处的函数值.为确定起见,不妨设M≠f(a)(如果设m≠f(a),证法完全类似),那么在开区间(a,b)内必定有一点ξ使f(ξ)=M.下面证明f(x)在点ξ处的导数等于零,即f′(ξ)=0.因为ξ是开区间(a,b)内的点,根据假设可知f′(ξ)存在,即极限存在.而极限存在必定左、右极限都存在并且相等，因此延迟符3.1微分中值定理由于f(ξ)=M是f(x)在［a,b］上的最大值，因此不论Δx是正的还是负的，只要ξ+Δx在［a，b］上，总有f(ξ+Δx)≤f(ξ)，即f(ξ+Δx)-f(ξ)≤0.于是而f′(ξ)存在，故f′(ξ)=0.3.1.2拉格朗日中值定理定理2（拉格朗日中值定理）如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a＜ξ＜b)，使等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)(3-1)成立.如果把式(3-1)改写成由图3-2可看出，f(b)-f(a)b-a为弦AB的斜率，而f′(ξ)为曲线在点C处的切线的斜率.因此拉格朗日中值定理的几何意义是：如果连续曲线y=f(x)的弧AB上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么这弧上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于弦AB.从罗尔定理的几何意义中(图3-1)看出，由于f(a)=f(b)，弦AB是平行于x轴的，因此点C处的切线实际上也平行于弦AB.由此可见，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.3.1微分中值定理由拉格朗日中值定理可以得到下面的推论：推论1设函数f(x)在区间I内恒有f′(x)=0，那么在区间I内函数f(x)=C，其中C为常数.推论2设f(x)，g(x)是在I内的可导函数，若f′(x)=g′(x)，则f(x)-g(x)=C，其中C为常数.证明在区间I内任取两个点x1，x2，不妨设x1＜x2，应用拉格朗日中值定理，有f(x2)-f(x1)=f′(ξ)(x2-x1)，ξ∈(x1，x2)，由于函数f(x)在区间I内恒有f′(x)=0，则f′(ξ)=0，故等式右端为零，即f(x1)=f(x2)，这表明在区间I内任意两点处的函数值都相等，所以函数f(x)在区间I内是一个常数.拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位，有时也叫做微分中值定理，f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)叫做拉格朗日中值公式.【例1】验证拉格朗日中值定理对函数f(x)=lnx在区间［1，e］上的正确性.【解】因为f(x)=lnx是初等函数，它在［1，e］上是连续的，且导数在(1，e)内存在，所以函数f(x)=lnx在［1，e］上满足拉格朗日中值定理的两个条件.令，即，得x=e-1，且x=e-1在区间(1，e)内，这说明f(x)在(1，e)内有一点ξ=e-1，能使，因此，拉格朗日中值定理对函数y=lnx在区间［1，e］上是正确的.3.1.3柯西中值定理前面已经指出，如果连续曲线弧AB上除端点外处处具有不垂直横轴的切线，那么这段弧上至少有一点C,使曲线在点C处的切线平行于弦AB.设AB由参数方程表示(图3-3)，其中x为参数.那么曲线上点(X,Y)处的切线的斜率为弦AB的斜率为定点C对应于参数x=ξ，那么曲线上点C处的切线平行于弦AB，可表示为3.1微分中值定理3.1.3柯西中值定理定理3（柯西中值定理）如果函数f(x)及F(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且F′(x)在(a,b)内的每一点处均不为零，那么在(a,b)内至少有一点ξ，使等式成立.【例2】设函数f(x)在［a，b］上可导，0＜a＜b，证明存在ξ∈(a，b)，使得【证明】因为0＜a＜b，故在［a，b］上f(x)，F(x)=lnx连续且可导，又从而由柯西中值定理知至少存在一点ξ∈(a,b)，使得即3.1微分中值定理3.2洛必达法则PART03延迟符如果当x→x0(或x→∞)时，函数f(x)和g(x)都趋向于零，或都趋向于无穷大，那么此时极限可能存在，也可能不存在.通常把这种形式的极限叫做未定式，并分别简称为型或型未定式.3.2洛必达法则3.2.1型未定式定理1(洛必达法则)如果函数f(x)，g(x)满足条件：（1）（2）f(x)和g(x)在点x0的某空心邻域内可导，且g′(x)≠0；（3）存在(或为无穷大)；那么当x→x0时，如果f(x)g(x)为型未定式，那么在上述条件下，要计算极限，可化为计算极限如果

当x→x0时，仍属型，且f′(x)和g′(x)仍满足洛必达法则的条件，则可连续应用洛必达法则进行计算，即【例1】求【解】这是型未定式，且满足定理1的条件，所以应用洛必达法则，得【例2】求【解】3.2.2型未定式对于x→x0时的型未定式，也有相应的洛必达法则.定理2如果f(x)，g(x)满足条件：（1）（2）f(x)和g(x)在点x0的某空心邻域内可导，且g′(x)≠0；（3）存在(或无穷大)；那么，对于x→∞时的

型未定式，上述法则也同样适用.延迟符3.2洛必达法则3.3函数的单调性PART03延迟符3.3函数的单调性

延迟符如图3-4所示，如果函数y=f(x)在区间［a，b］上单调增加，那么它的图形是一条沿x轴正向上升的曲线，这时，曲线上各点切线的倾斜角都是锐角，它们的切线斜率f′(x)都是正的，即f′(x)＞0.同样地，如图3-5所示，如果函数y=f(x)在［a，b］上单调减少，那么它的图形是一条沿x轴正向下降的曲线，这时曲线上各点切线的倾斜角都是钝角，它们的斜率f′(x)都是负的，即f′(x)＜0.3.3函数的单调性

延迟符定理设函数y=f(x)在［a，b］上连续，在(a，b)内可导：(1)如果在(a，b)内f′(x)＞0，那么函数y=f(x)在［a，b］上单调增加；(2)如果在(a，b)内f′(x)＜0，那么函数y=f(x)在［a，b］上单调减少.若f′(x)＞0，则f′(ξ)＞0，又因为x2-x1＞0，可得f(x2)＞f(x1)，即函数f(x)在［a，b］上单调增加.同理可证，若f′(x)＜0，则函数f(x)在［a，b］上单调减少.这个结论同样适用于开区间(a,b)或无限区间.如果函数f(x)在区间(a,b)内的个别点的导数为零，其余的点都有f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，那么f(x)在(a,b)内仍是单调增加(或单调减少)，例如y=-x3的导数为y′=-3x2，当x=0时，y′=0，在其余点均有y′＜0，故它在(-∞，+∞)内是单调递减的，如图3-6所示。3.3函数的单调性

延迟符【例2】确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间.【解】函数的定义域为(-∞，+∞),导数为f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).解方程f′(x)=0，即解6(x-1)(x-2)=0，得出它在函数定义域(-∞，+∞)内的两个根x1=1,x2=2.这两个根把(-∞，+∞)分成三个部分区间(-∞，1）、［1，2］及（2，+∞).在区间(-∞，1)内,x-1＜0,x-2＜0，所以f′(x)＞0.因此，函数f(x)在(-∞，1）内单调增加.在区间(1，2)内，x-1＞0,x-2＜0，所以f′(x)＜0.因此，函数f(x)在［1，2］上单调减少.在区间(2，+∞)内,x-1＞0,x-2＞0，所以f′(x)＞0.因此，函数f(x)在（2，+∞)上单调增加.3.4函数的极值PART04延迟符3.4.1函数极值的定义定义设函数f(x)在区间（a,b）内有定义，x0∈(a,b).若对于点x0近旁的任意点x(x≠x0),均有f(x)＜f(x0)成立，则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值，点x0称为f(x)的一个极大值点；若对于点x0近旁的任意点x(x≠x0),均有f(x)＞f(x0)成立，则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值，点x0称为f(x)的极小值点.函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的极大值点与极小值点统称为极值点.例如，在图3-8中，f(c1)和f(c4)是函数f(x)的极大值，c1和c4是f(x)的极大值点；f(c2)和f(c5)是函数f(x)的极小值，c2和c5是f(x)的极小值点.延迟符3.4函数的极值3.4函数的极值

延迟符3.4.2函数极值的判定和求法．定理1设函数f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f′(x0)=0.使导数为零的点(即方程f′(x)=0的实根)叫做函数f(x)的驻点(又叫稳定点).定理1说明可导函数的极值点必定是驻点，但函数的驻点并不一定是极值点.例如,x=0是函数f(x)=x3的驻点，但x=0不是它的极值点.3.4函数的极值

延迟符如图3-9所示,函数f(x)在点x0取得极大值,在点x0的左侧单调增加,有f′(x)＞0;在点x0的右侧单调减少,有f′(x)＜0.对于函数在点x0取得极小值的情形,可结合图3-10类似地进行讨论.3.4函数的极值

延迟符定理2(第一种充分条件)设函数f(x)在点x0的某邻域内可导.(1)如果当x取x0左侧邻域的值时,恒有f′(x)＞0,当x取x0右侧邻域的值时,恒有f′(x)＜0,那么函数f(x)在点x0处取得极大值f(x0);(2)如果当x取x0左侧邻域的值时,恒有f′(x)＜0,当x取x0右侧邻域的值时,恒有f′(x)＞0,那么函数f(x)在点x0处取得极小值f(x0);(3)如果在x0的两侧,函数的导数符号相同,那么函数f(x)在点x0处没有极值.当函数f(x)在驻点处的二阶导数存在且不为零时,也可以利用下列定理来判定f(x)在驻点处取得极大值还是极小值.3.4函数的极值

延迟符定理3(第二种充分条件)

设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f′(x0)=0,f″(x0)≠0,那么(1)f″(x0)＜0时,函数f(x)在x0处取得极大值;(2)f″(x0)＞0时,函数f(x)在x0处取得极小值.根据上面三个定理,如果函数f(x)在所讨论的区间内各点处都具有导数,我们就以下列步骤来求函数f(x)的极值点和极值:(1)求出函数f(x)的定义域;(2)求出函数f(x)的导数f′(x);(3)求出f(x)的全部驻点(即求出方程f′(x)=0在所讨论的区间内的全部实根)或一阶导数不存在的点；(4)用以上所求得的点把函数的定义域划分为若干个部分区间,考查每个部分区间内f′(x)的符号,以确定这些点是否为极值点,如果是极值点,还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值；(5)求出各极值点处的函数值,就得到了函数f(x)的全部极值.3.4函数的极值

延迟符【例】求函数f(x)=(x2-1)3+1的极值.【解】(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞).(2)f′(x)=3(x2-1)2•2x=6x(x+1)2(x-1)2.(3)令f′(x)=0,解之得驻点x1=-1,x2=0,x3=1.(4)列表3-1考查f′(x)的符号.由表3-1可知,函数有极小值f(0)=0,驻点x1=-1和x3=1不是极值点，如图3-11所示.3.5函数的最值PART05延迟符3.5函数的最值延迟符3.5.1函数的最大值和最小值的求法闭区间［a,b］上的连续函数f(x)一定有最大值和最小值存在.显然,这个最大值和最小值只能在区间(a,b)内的极值点或者区间的端点处取得.因此,求闭区间上的连续函数的最大值和最小值时,只要把可能取得极值的点(驻点和不可导的点)与区间端点的函数值比较大小,最大的就是f(x)在［a,b］上的最大值,最小的就是f(x)在［a,b］上的最小值.3.5函数的最值延迟符【例1】求函数f(x)=x3-3x2-9x+5在［-2,6］上的最大值和最小值.【解】(1)f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).(2)令f′(x)=0,解之得驻点x1=-1,x2=3.(3)计算得f(-2)=3,f(-1)=10,f(3)=-22,f(6)=59.(4)比较大小可得,在［-2,6］上函数的最大值为f(6)=59,最小值为f(3)=-22，如图3-12所示。3.5函数的最值延迟符

如果函数f(x)在一个开区间或无穷区间(-∞,+∞)内可导,且有唯一的极值点x0,那么当f(x0)是极大值时,f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值，如图3-13(a)所示;当f(x0)是极小值时,f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值，如图3-13(b)所示.有时,函数f(x)也可能在导数不存在的点处取得最大值或最小值.（1）如果函数f(x)在闭区间［a,b］上单调递增(减),则两个端点的函数值f(a),f(b)分别就是最小(大)值和最大(小)值，如图3-14所示.(2）如果函数f(x)在某区间(开或闭,有限或无限)上连续,且在区间内只有一个极值点x0,则当f(x0)是极大(小)值时,f(x0)也就是该区间上的最大(小)值，如图3-15所示.延迟符3.4函数的极值3.5.2最大值和最小值的应用问题【例2】铁路线上AB段的距离为100km.工厂C距A处为20km，AC垂直于AB，如图3-16所示，为了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路.已知铁路上每千米货运的运费与公路上每千米货运的运费之比