安徽省淮北市第五中学高二数学理上学期期末试题含解析

安徽省淮北市第五中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合和集合，则等于（

）A．(0,1)

B．[0,1]C．(0，＋∞)

D．{(0,1)，(1,0)}参考答案：B2.已知x，y的取值如下表所示；若y与x线性相关，且，则a=（

）x0134y2.24.34.86.7A.2.2 B.2.6 C.2.8 D.2.9参考答案：B分析：我们根据已知表中数据计算出（），再将点的坐标代入回归直线方程，即可求出对应的a值．详解：∵点（）在回归直线方程y=0.95x+a上，∴4.5=0.95×2+a，解得：a=2.6．故答案为：B点睛：（1）本题主要考查回归直线的性质等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.（2）回归直线经过样本的中心点（），要理解记住这个性质并在解题中灵活运用.3.设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可．【解答】解：由2x2+x﹣1＞0，可知x＜﹣1或x＞；所以当“x＞”?“2x2+x﹣1＞0”；但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞”．所以“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A．【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次不等式的解法，考查计算能力．4.若和满足，则的最小值是

(

)（A）

（B）

（C）2

（D）参考答案：B略5.已知结论：在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则AG：GD=2:1，若把该结论推广到空间中，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若三角形BCD的中心为M，四面体内部一点O到各面的距离都相等，则AO：OM=（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C6.到两定点距离之和为5的点的轨迹是（

）A.线段

B.椭圆

C.直线

D.不存在参考答案：A略7.设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为（）A． B．C． D．参考答案：D【考点】圆锥曲线的轨迹问题．【分析】根据线段中垂线的性质可得，|MA|=|MQ|，又|MQ|+|MC|=半径5，故有|MC|+|MA|=5＞|AC|，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准方程．【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（﹣1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y），∵AQ的垂直平分线交CQ于M，∴|MA|=|MQ|．又|MQ|+|MC|=半径5，∴|MC|+|MA|=5＞|AC|．依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，且2a=5，c=1，∴b=，故椭圆方程为

=1，即

．故选D．8.如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C略9.已知AC、BD分别为圆O：x2+y2=4的两条垂直于坐标轴的弦，且AC、BD相交于点M（1，），则四边形ABCD的面积为（）A．2 B．3 C． D．参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】求出|AC|，|BD|，代入面积公式S=?|AC||BD|，即可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：由题意圆心O到AC、BD的距离分别为、1，∴|AC|=2=2，|BD|==2，∴四边形ABCD的面积为：S=?|AC|（|BM|+|MD|）=?|AC||BD|==2，故选：A．【点评】此题考查四边形ABCD的面积．解答关键是四边形面积可用S=?|AC||BD|来计算．10.已知正实数满足，则的最小值为（

）A.

B.4

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列满足，则的通项公式

参考答案：12.二面角α－l－β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为____________．参考答案：略13.正方体中，与所成角为__________度。参考答案：90略14.在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则最大角的余弦值＝_______________．参考答案：－略15.已知复数z=（其中i为虚数单位），若z为纯虚数，则实数a=．参考答案：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．解：z===，∵z为纯虚数，∴2a﹣1=0，解得a=，故答案为：16.计算定积分（x2+sinx）dx=．参考答案：【考点】定积分．【分析】求出被积函数的原函数，再计算定积分的值．【解答】解：由题意，定积分===．故答案为：．17.已知f（x+1）=4x+3，则f（x）=

．参考答案：4x﹣1考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：把x+1看作一个整体，化简f（x+1）即可．解答： 解：因为f（x+1）=4x+3=4（x+1）﹣1，所以f（x）=4x﹣1．故答案为：4x﹣1．点评：本题考查了函数求函数解析式的应用问题，是基础题目．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知式子（2x2+）5．（Ⅰ）求展开式中含的项；（Ⅱ）若（2x2+）5的展开式中各二项式系数的和比（+）n的展开式中的第三项的系数少28，求n的值．参考答案：【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】（Ⅰ）在式子（2x2+）5的通项公式中，令x的幂指数等于﹣2，求得r的值，可得展开式中含的项．（Ⅱ）先求得（+）n的展开式中的第三项，结合题意可得题意可得25=×4﹣28，由此求得n的值．【解答】解：（Ⅰ）式子（2x2+）5的通项公式为Tr+1=?25﹣r?x10﹣3r，令10﹣3r=﹣2，求得r=4，故展开式中含的项为T5=×2×=．（Ⅱ）（+）n的展开式中的第三项为T3=?4?，由题意可得，25=×4﹣28，解得=15，∴n=6．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，点E是PB的中点，点F在边BC上移动．（Ⅰ）若F为BC中点，求证：EF∥平面PAC；（Ⅱ）求证：AE⊥PF；（Ⅲ）若二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于，求的值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明EF∥PC即可得EF∥平面PAC．（Ⅱ）证明AE⊥平面PBC即可得AE⊥PF．（Ⅲ）如图以A为原点建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（m，2，0），求出平面AEF的一个法向量为，由二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于，求出m，即可【解答】解：（Ⅰ）证明：在△PBC中，因为点E是PB中点，点F是BC中点，所以EF∥PC．…..又因为EF?平面PAC，PC?平面PAC，…．所以EF∥平面PAC．

…..（Ⅱ）证明：因为底面ABCD是正方形，所以BC⊥AB．因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BC．PA∩AB=A所以BC⊥平面PAB．

…..由于AE?平面PAB，所以BC⊥AE．由已知PA=AB，点E是PB的中点，所以AE⊥PB．…..又因为PB∩BC=B，所以AE⊥平面PBC．…..因为PF?平面PBC，所以AE⊥PF．…..（Ⅲ）如图以A为原点建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（m，2，0）．于是，．设平面AEF的一个法向量为=（p，q，r），由得取p=2，则

q=﹣m，r=m，…．得=（2，﹣m，m）．…..由于AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD=A，所以AP⊥平面ABCD．即平面ABF的一个法向量为．

…..根据题意，，解得．

…..由于BC=AB=2，所以．…..20.（本题12分）某人上午7：00乘汽车以千米/小时匀速从A地出发到距300公里的B地，在B地不作停留，然后骑摩托车以千米/小时匀速从B地出发到距50公里的C地，计划在当天16：00至21：00到达C地。设乘汽车、骑摩托车的时间分别是x,y小时，如果已知所需的经费元，那么分别是多少时走的最经济，此时花费多少元？参考答案：解：由题意得，，

∵

∴由题设中的限制条件得于是得约束条件

目标函数

………………６分做出可行域（如图），当平行移动到过（10，4）点时纵截距最大，此时最小.所以当，即时，元

………………１２分（没有图扣２分）略21.如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直与圆O所在平面，G为的垂心（1）求证：平面平面PAC；（2）若，求二面角的余弦值.参考答案：（1）见解析（2）.试题分析：（1）延长交于点，由重心性质及中位线性质可得，再结合圆的性质得，由已知，可证平面，进一步可得平面平面（2）以点为原点，，，方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用二面角与二个半平面的法向量的夹角间的关系可求二面角的余弦值．试题解析：（1）如图，延长交于点.因为为的重心，所以为的中点.因为为的中点，所以.因为是圆的直径，所以，所以.因为平面，平面，所以.又平面，平面=，所以平面.即平面，又平面，所以平面平面.（2）以点为原点，，，方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，则，.平面即为平面，设平面的一个法向量为，则令，得.过点作于点，由平面，易得，又，所以平面，即为平面的一个法向量.在中，由，得，则，.所以，.所以.设二面角的大小为，则.点睛：若分别二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足，二面角的平面角的大小是的夹角(或其补角，需根据观察得出结论)．在利用向量求空间角时，建立合理的空间直角坐标系，正确写出各点坐标，求出平面的法向量是解题的关键．22.设z是虚数，，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：u为纯虚数．参考答案：【考点】A7：复数代数形式的混合运算；A8：复数求模．【分析】（1）设出复数z，写出ω的表示式，进行复数的运算，把ω整理成最简形式，根据