空间点、直线、平面之间的位置关系10大题型

空间点、直线、平面之间的位置关系10大题型

命题趋势

在高考数学中，本部分内容主要分两方面进行考查，一是空间线面关系的命题的

真假的判断，以选择题、填空题的形式考查，属于基础题；二是空间线线、线面、

面面平行和垂直关系交汇综合命题，一般以选择题、填空题或解答题的第(1)

问的形式考查，属于中档题。

满分技巧

一、共面'共线、共点问题的证明

1、证明点线共面问题的两种方法

(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；

(2)辅助平面法：先证有关点、线共平面a，再证其他点、线共平面最后证

平面a,4重合.

2、证明点共线问题的两种方法

(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；

(2)直接证明这些点都在一条特定直线上.

3、证明三线共点问题的步骤

第一步：先证其中两条直线交于一点；

第二步：再证交点在第三条直线上.

证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线。

二、线线平行的证明方法

1、定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；

2、利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关

于平行的性质；

3、利用基本事实4:找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.

三、线面平行的判定方法

1、利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点；

2、利用线面平行的判定定理：如果平面外有一条直线与此平面内的一条直线平

行，那么该直线与此平面平行（简记为"线线平行n线面平行"）

3、利用面面平行的性质定理：如果两个平面平行，那么在一个平面内所有直线

都平行于另一个平面。（简记为"面面平行n线面平行"）

四、面面平行的判定方法

1、面面平行的定义：两个平面没有公共点，常与反证法结合（不常用）；

2、面面平行的判定定理如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，

那么这两个平面平行（主要方法）；

3、垂直于通一条直线的两个平面平行（客观题可用）；

4、平行于同一个平面的两个平面平行（客观题可用）.

五、直线与平面垂直的判定方法

1、利用定义：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直

于这个平面（不常用）；

2、利用线面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，

那么这条直线就和这个平面垂直（常用方法）；

3、可作定理用的正确命题：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，

那么另一条也垂直于这个平面（客观题常用）；

4、面面垂直的性质定理：如果两个平阿敏垂直，那么在一个平面内垂直于它们

交线的直线垂直于另一个平面（常用方法）；

5、面面平行的性质：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则这条

直线也垂直于另一个平面（客观题常用）；

6、面面垂直的性质：若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交

线垂直于第三个平面（客观题常用）.

热点题型解读

题型6平面与平面平行的性质

题型7直线与平面垂直的判定

题型8直线与平面垂直的性质

题型9平面与平面垂直的判定与性质

题型10平行与垂直的综合问题

【题型1点线面位置关系的判断】

【例1】（2023秋•江苏无锡高三统考期末）已知m,〃为异面直线,，〃,平面。，

〃，平面夕若直线/满足/L",1—,5.则下列说法正确的息）.

A.a//p,I//aB.aA./3,/!/?

C.。与夕相交，且交线平行于/D.。与夕相交，且交线垂直于/

【变式1-1】（2023•陕西榆林统考一模）若加，〃为两条不同的直线，d夕为两个

不同的平面，则下列结论正确的是（）

A.若加//a,a//万，则〃7//尸B.若机_La,a_L/9,则6//分

C.若ml/n,n//a,则m//aD.若mia,aI［R,贝（］加

【变式1-2］（2023春江西•高三校联考开学考试）已知。心是两个不同的平面，

a,b,<'是三条不同的直线，则下面说法中正确的是（）

A.若“ua,bua，且c_L。，cLb，则cJ_a

B.若Qua,且Z?_La,则〃J_a

C.若〃_La,且c_L〃，贝［Jc//a

D.若Hclla,cllb,则a〃尸

【变式l-3］（2023•内蒙古赤峰・统考模拟预测）设加，〃是两条不同的直线，。

夕是两个不同的平面，给出下列命题：

①若mJ_a,nila,贝；

②若mlln,m（za,"ua,则加//a;

③若a>L£,mlla，贝;

④若m_La,mu/3,则a_L6.

其中正确的命题个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【变式1-4]（2023秋•山东滨州•高三统考期末）已知“，〃为两条不同的直线，

a,P为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A.a//13,m//a，贝!

B.%ua,”ua,m//p,n///3，贝[ja〃夕

C.a/3=l,mua,m_]_i,则帆_L£

D.mLa,tn//n,a//[5，则〃_LQ

【题型2共面、共线、共点证明】

[例2]（2022・全国•高三专题练习）如图，在正方体NBC。-ABCD中，"为

棱。。的中点.设AM与平面BBDD的交点为。，则（）

A.三点D,,O,B共线，且OB=2OD,

B.三点Di,O,B不共线，且08=20。/

C.三点D,,O,B共线，且OB=ODi

D.三点D,,O,B不共线,且OB=ODi

【变式2-1]（2022•全国•高三专题练习）如图A8CD-AACQ是长方体，0是8a

的中点，直线AC交平面相Q于点M,则下列结论错误的是（）

A.A,M,。三点共线B.M,。，A,A四点共面

C.B,B、，0,M四点共面D.A,。，C,"四点共面

【变式2-2】（2022•全国•高三专题练习）在空间四边形/58各边/8、BC、CD、

DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与GH能相交于点P,那么（）

A.点尸不在直线AC±B.点尸必在直线BD上

C.点P必在平面ABC内D.点P必在平面ABC外

【变式2-3】（2023•全国•高三专题练习）如图E,F,G,，分别是菱形筋8的

边AB,BC,CD,上的点,且8£=2A£,DH=2HA,CF=2FB,CG=2GD,

现将△他。沿相折起，得到空间四边形A8C。，在折起过程中，下列说法正确的

是（）

A.直线EF,痰有可能平行

B.直线E尸，HG一定异面

C.直线E尸，而一定相交，且交点一定在直线AC上

D.直线EF,法一定相交，但交点不一定在直线AC上

【题型3直线与平面平行的判定】

【例3】（2023•广西柳州•高三统考阶段练习）如图，在棱长为4的正方体

ABCC-AACQ中，点尸是CC,的中点，动点Q在平面DCCR内（包括边界），若

AQ平面4用，则AQ的最小值是（)

C.26D.3亚

【变式3-1】（2022•全国•高三专题练习）如图所示，在四棱锥尸-ABCD中，底面

是直角梯形，AD//BC,ZADC=90,AC和8。相交于点N,面PACL面,

BC=2AD=2,31,PA=PC邛在线段9上确定一点M使得PB〃面ACM,

求此时P黑M的值•

【变式3-2]（2023•新疆乌鲁木齐统考一模）如图，在四棱锥P-438中，PAA.

平面,ADYCD,AD//BC，且以=AD=CD=2,BC=3,后是P。的中点，

点厂在PC上，且尸尸=2FC.

(1)证明：DR〃平面PAB;

(2)求三棱锥P-收的体积.

【变式3-3](2022•广西梧州校考一模)如图，直四棱柱ABCD-AfCQ的底面

是菱形，的=4,AB=2,ABAD=6O°,E,M,N分别是BC,BB_AQ的中

点.

(1)证明：MN//平面C0E;(2)求点C到平面C0E的距离.

【题型4直线与平面平行的性质】

【例4】(2022•全国•高三专题练习)如图，在四棱锥中，底面48。为

平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：时，SC7/平面

【变式4-1](2023秋河南•高三校联考期末)如图，在三棱推P-ABC中,ABC

是正三角形，以，平面其火,。瓦尸分别为尸4尸8,PC上的点，且

(1)设平面DEFc平面A8C=/,证明：I平面P8C；

(2)求五面体DEF-MC的体积.

【变式4-2】(2023•全国•高三专题练习)如图，在棱长都等于1的三棱锥A-88

中，尸是AC上的一点，过尸作平行于棱A3和棱CD的截面，分别交8C,4),3。

C

(1)证明截面EFG"是矩形；

(2)尸在AC的什么位置时，截面面积最大，说明理由.

【变式4-3】(2023春湖南长沙高三长郡中学校考阶段练习)三棱台ABC-48c

的底面是正三角形，的，平面ABC,AB=4,A4=2,,E是A8的中

点，平面ACE交平面ABC于直线/.

(1)求证：AC//1；

(2)求直线8c与平面AGE所成角的正弦值.

【变式4-4】(2022・吉林长春・长春吉大附中实验学校校考模拟预测)如图，矩形

43C。和梯形4BEF,AFYAB,EF//AB，平面平面，且AB=M=2,

AD=EF=l,过OC的平面交平面ABE尸于MN.

DC

(1)求证：DCIIMN；

(2)当加为8E中点时，求点E到平面DCMN的距离;

【题型5平面与平面平行的判定】

［例512023・全国•校联考模拟预测曲图①在平面四边形”8中,AB=AD=2,

BC=CD=s/2,/BAD=60.将ABCD沿着BD折叠,使得点C到达点C'的位置，

且二面角A-8。-。为直二面角,如图②.已知P，G,尸分别是AC,ARAB的中点，

E是棱A8上的点，且C'E与平面故所成角的正切值为苧.

(1)证明：平面PGr〃平面C7)8；

(2)求四棱锥P—G产成＞的体积.

【变式5-1](2022秋湖南常德高三统考期末)如图所示的几何体是由等高的直

三棱柱和半个圆柱组合而成，点G为的中点,为半个圆柱上底面的直径,

S.ZBCF=90°,CD=CB=CF=2.H为8C的中点.

(1)证明：平面DE/"/平面GC/7；

(2)若Q是线段上一动点，求直线AQ与平面Gb所成角的正弦的最大值.

【变式5-212022秋广西南宁•高三统考阶段练习应如图所示的多面体AF£)CE3

中,AB±平面BCE,AB//CD//EF,BE_LCE,AB=CE=4,EF=BE=2,CD=6,

点”、G分别为A3、8C的中点.

D

E

(1)求证：平面EHG平面AFC；

(2)求多面体AFDCEB的体积.

【变式5-3](2022秋湖北襄阳高三襄阳五中校考阶段练习)四棱柱

ABS-AACQ中，底面ABC。为正方形，面ABC。，点M,N,。分别为棱

OR,AD,网的中点.

(1)求证：平面〃平面8CQ;

(2)若例=2然，棱A瓦上存在点尸，使得二面角P-MN-。的余弦值为噂,

63

求葭的值.

【变式5-4](2022秋•江西抚州高三金溪一中校考阶段练习)如图，在几何体

Z8CDP0中，平面PAD,平面Z8C。，四边形"8是直角梯形，,

AB//DC//PQ,小，PD,E为的中点，且PQ=PO=OC=A£=g尸A=1.

p

(1)求证：平面PQE平面QCB;

(2)求直线CB与平面PABQ所成角的正弦值.

【题型6平面与平面平行的性质】

【例6】(2023•全国•高三专题练习)如图，在长方体AB3A43中,AB=4,

BC=BB,=3,G为的中点，E,尸分另(J在绅殳上，且等，

/I.Vi/IVJ

求证：EG//平面网F.

【变式6-以2022・四川雅安统考一模加图在三棱柱ABC-A8G中侧面AA用8

为正方形，9，平面/5。，AB=BC=2,/4BC=120。，E,E分别为棱和网

的中点

(1)在棱4A上是否存在一点。，使得CQ〃平面EFC?若存在，确定点。的位

置，并给出证明；若不存在，试说明理由；

(2)求三棱锥4一七尸。的体积.

【变式6-2】(2022・四川遂宁•四川省遂宁市第二中学校校考一模)如图,四棱

锥尸中，侧面尸皿底面ABC。，底面为梯形，■/PC,且

AP=PD=CD=2AB=2>/3,ZAPD=ZADC=60.作40交A£)于点“，连接

AC，加交于点尸.

(1)设G是线段P"上的点，试探究：当G在什么位置时，有GF//平面PA8;

(2)求平面PAZ)与平面尸比所成二面角的正弦值.

【变式6-3](2022秋黑龙江绥化•高三校考阶段练习)如图，在四棱锥P-他8

中，AB//CD,ABA.BC,CD=2AB,为，平面/BCD,E为尸。的中点.

(1)证明：AE〃平面PBC;

(2)若R4=CD=2BC,求4E与面PBD所成角的正弦值.

【变式6-4](2023•全国•高三专题练习)如图，在三棱柱MdAS©中，E,F,

G分别为4G,A4,AB的中点.

(1)求证：平面AGG〃平面；

(2)若平面AGGC8C="，求证：丹为BC的中点.

【题型7直线与平面垂直的判定】

[例7](2023春天津红桥•高三统考开学考试班图，在四棱锥P-ABCD中，PA_L

平面488,48=4,8。=3,4£>=5,Nft4B=N4BC=90,E是的中点.

(1)证明：8-L平面R4E；

(2)若直线P8与平面研所成的角和槽与平面ABC。所成的角相等，求线段必

的长度.

【变式7-1】(2023•陕西西安统考一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA_L平面

ABCD,ADYCD,AD//BC,PA=AD=CD^2,8c=3,E为P。的中点，E在PC

上,满足E7FPC.

p

D

(1)求证：81平面皿)；

(2)求三棱锥P-收的体积.

【变式7-2](2023•全国模拟预测)如图，在四棱锥尸-ABCD中，A8〃C。，

AB1BC,BC=CD=PA=PD=；AB=2,PC=2^3，七为的中点.

P

(1)证明：8。，平面；

(2)求平面APD和平面CEP的夹角的余弦值.

又PC=26,：,OC2+PO2=PC2,：.PO±OC,

【变式7-3】(2023•内蒙古•模拟预测)如图，在四棱锥P-A38中，四边形AB8

是直角梯形,ADJ.AB,AB//CD,PB=CD=2AB=2AD,PD=^AB,PCLDE,

E是棱心的中点.

(1)证明：PD_L平面A8C£);

(2)若尸是棱”的中点，4?=2,求点C到平面■的距离.

【题型8直线与平面垂直的性质】

【例8】(2023•陕西铜川校考一模)如图，四棱锥尸-A88中，依，底面A88,

AB//CD,AB1BC^AB=2BC=2CD=2.

(1)求证：ADVPD；

(2)若四棱锥P—A3C。的体积为1,求四棱锥P-ABCD的表面积.

【变式8-以2023・陕西铜川•校考一模加图四棱锥P-AB8中底面ABCO,

ABCD,ABJ.BC,且AB=28C=2cD=2.

(2)若平面以。与平面P8C所成的二面角的余弦值为手，求以与底面A8C。所

O

成的角的正切值.

【变式8-2](2023・广西桂林统考模拟预测)如图，正方体ABCD-MCQ中,E

是GC的中点，M是的中点.

(1)证明：BE，平面的";

(2)求直线BR与平面EBQ所成角的正弦值.

【变式8-3】(2023•全国模拟预测)如图，在直三棱柱ABC-”心中,AB=AC,

点F是4G的中点，点E满足Cf=疣0(0<2<1).

(1)求证：AF”E­

(2)^ABIAC,=,直线4尸与平面所成的角为60°,求2的值.

【题型9平面与平面垂直的判定与性质】

【例9】(2023•贵州毕节・统考一模)如图，四棱推入他8的底面是矩形，PAL

底面ABC。,M,N分别为CO『。的中点,AC与BM交于点E,AB=6五,AD=6,

K为PA上一点，PK=^PA.

(1)证明：K,E,M,N四点共面；

(2)求证：平面PAC，平面BMNK.

【变式9-1](2023春青海西宁•高三统考开学考试)如图，在三棱柱ABC-A冉G

中，加C为边长为2的正三角形，。为8c的中点，例=2,且/CCB=60,平

面叫CQ平面A8C.

(1)证明：QD1AB；

(2)求三棱锥瓦—AC的体积

【变式9-2](2023春河南•高三河南省淮阳中学校联考开学考试)如图，在直三

棱柱ABC-中,AB=AC=5,BB产BC=6,D,E分别是e和8c的中点

C

(1)求证：平面8"，平面BCG用；

(2)求三棱锥E-88的体积.

【变式9-312023春广东韶关高三校联考开学考试如图在三棱柱ABC-AEU

中,AB1BC,平面43cl平面,AB=BC=BB'=2,BQ在直线A3上的投

影向量为;BA.

B'

(1)证明：BCVCC.

(2)求二面角？-AC-8的余弦值.

【变式9-4】(2023春湖南•高三校联考阶段练习)如图，四边形为正方形,

四边形相>£■尸是梯形，AF//DE,AD=DE=3AF,平面，平面ABC。,且

EDYBD，点尸是线段可上的一点(不包括端点).

(1)证明：8D_LFC；

(2)若4尸=1,且直线EC与平面尸切所成角的大小为45,求三棱锥C-P叫的

体积.

【题型10平行与垂直的综合问题】

【例10】(2022•全国•高三专题练习)如图，四边形/8CQ为矩形，四边形8CEE

为直角梯形,BF//CE,BFLBC,BF<CE,BF=2,AB=\,AD=45.

E

(1)求证：BCLAF；

(2)求证：/F〃平面DCE；

【变式10/】(2022•上海•上海中学校考模拟预测)如图，在四棱推P-ABCD中，

四边形ABC。为正方形，P点在平面ABCD内的射景多为A,^PA=AB=2,E^JPD

(1)证明：P8〃平面AEC

(2)证明：平面PC£)_L平面PAD.

【变式10-2】(2023•全国•高三专题练习)如图,AB为圆。的直径,E是

圆。上不同于A、B的动点，四边形A8CZ)为矩形，平面ABCD1平面ABE,

尸是DE的中点.

（1）求证：。尸〃平面8CE;

（2）求证：平面ADE，平面BCE.

【变式10-3X2022秋陕西西安•高三统考阶段练习如图在四棱锥P-ABCD中，

PA1CD,AD//BC,ZADC=ZPAB=90°,BC=CD=；AD.

（1）〃为PD的中点，证明：直线CM〃平面PAB；

（2）证明：平面处6,平面PBD.

限时检测

（建议用时：60分钟）

1.（2023春北京•高三校考阶段练习）已知两条不同的直线/，，〃与两个不同的平

面名夕,则下列结论中正确的是（）

A.若///a,«B=m,贝［|〃/加

B.若a_L£,ap=m,l±m,则/力

C.若机_La,Z±/M，则〃/a

D.若加_Le,mu0,则

2.（2023•全国•校联考模拟预测）已知正三棱柱ABC-的所有棱长都相等,

D,E,F分别是四，BG,AA的中点，M是线段所上的动点，则下列结论

中正确的个数是（）

①BFJ.BC；②BFHCQ；③&E1BC;④〃平面.

A.1B.2C.3D.4

3.（2023春北京大兴•高三校考开学考试）已知。，尸为不重合的两个平面，直

线，“ua,nu。,那么“，"_L“”是“a_L力”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2023春北京•高三北京二中校考开学考试）如图所示，点P在正方体

ABCD-AB,CR的面对角线8G上运动，得出下列结论：

①三棱锥A-2PC的体积不变；

②AP与平面ACR所成的角大小不变；

③DPzBC、;

④。片，4尸.

A.①④B.①②③C.①③④D.①②④

5.（2023春北京海淀•高三清华附中校考开学考试）如图，在正方体

ABCD-^CA中，尸为线段BG的中点，E为线段AC上的动点，下列四个结

A.EF平面AB3B.存在点E,使麻上平面叫

C.存在点E，使历〃ACD.DBJEF

6.（2023・上海黄浦统考一模）如图，四边形是边长为1的正方形，MD工

平面ABCD,NB1平面ABCD，且血=NB=1,点G为MC的中点.则下列结论

A.MCIANB.平面DOW//平面

C.直线GB与AM是异面直线D.直线GB与平面AMD无公共点

7.（2023•全国•模拟预测）（多选）已知长方体A8CD-A4GA中，点尸，。，河,

N分别是棱N3,BC,CG,BC的中点，则下列结论不正确的是（）

A.8DJ平面B/QB.AM平面B/Q

C."ML平面片P。D.AN平面APQ

8.（2023・全国•模拟预测）（多选）如图，在三棱柱/8C-4BG中，已知AAjl.

平面/8C,AG=8G,点。为ZB的中点，NAGcAC=°，贝^下歹结论正确的

A.CDLAiDB.平面4Aoe，平面434/4/

C.OD//平面A/BCjD.V三棱锥C-BOD=4"三棱柱ABC-A8|G

9.（2023・四川南充•四川省南充高级中学校考模拟预测）如图，在平行六面体

ABCD-A^C,D,中，N,E尸分别是明，AB,CQ的中点,侧面。平面

ABCD,NA叫=60,AD=4,AB=DD1=8,ZDAB=120

(1)求证：7VF〃平面GCE；

(2)试求三棱推N-GEC体积.

10.(2023・山东潍坊统考一模)在四棱锥P-A5CO中，底面A8C。是边长为2

的正方形，PCLPD,二面角A-8-P为直二面角.

(1)求证：PBLPD；

(2)当尸。=/^口寸，求直线PC与平面的所成角的正弦值.

11.(2023・全国•模拟预测)如图，四棱锥P-ABCD中，AB=AD,△88是正三

角形，PB=PD.

(1)证明：平面平面PAC]

(2)若四棱锥P-ABCD的体积为等,NBAD=120。，BC=2,PD±BC,求二面

角的正弦值.

12.(2023・陕西西安统考一模)如图，在四棱锥P-A3CD中，PA_L平面ABCQ,

ADVCD,AD//BC,PA=AD=CD=2,BC=3,£为PO的中点，厂在PC上，满

足所_LPC.

(1)求证：CDJ.平面PAO；

(2)求二面角B-AF-C的余弦值.

参考答案

【题型1点线面位置关系的判断】

【例1】（2023秋•江苏无锡高三统考期末）已知加，〃为异面直线,〃△平面。，

"，平面夕若直线/满足/,/aaJaB则下列说法正确的息）.

A.a//p,I//aB.a，。,I，。

C.。与夕相交，且交线平行于/D.a与夕相交，且交线垂直于/

【答案】C

【解析】由于加，〃为异面直线，相，平面a,平面夕,

则平面a与平面万必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线〃?，〃，故

AB错误；

又直线/满足以机，ILn,laa,5,则交线平行于/故C正确，D

错误.故选：C.

【变式1-1】（2023•陕西榆林统考一模）若加，〃为两条不同的直线，，，夕为两个

不同的平面，则下列结论正确的是（）

A.若血/a,。//4，则m//尸B,若"2_La,a_L/?,则血/广

C.若ml/n,n//a,则m//aD.若m_La,a//4,贝尸

【答案】D

【解析】对于A,若向/a,a/0,则向力或au/?,故A不正确；

对于B,若尸,则〃，/尸或mu尸，故B不正确；

对于C,若，〃//〃,〃//£,则加//&或机ua,故C不正确；

对于D,若,则,,故D正确.故选：D.

【变式1-2］（2023春江西•高三校联考开学考试）已知a/是两个不同的平面，

a,b,。是三条不同的直线，则下面说法中正确的是（）

A.若aua,bua,且c_La,c_Lb,则，_1_。

B.若“ua,且6_La,则6J_a

C.若。_La，且cJLZ?,贝（Jc//a

D.若且c〃a,cllb,贝［Ja〃尸

【答案】D

【解析】对于A:由aua,bua,且c」a,cLb,

当且仅当。与讨目交时才能得到c_La,故A错误；

对于C：若aua,且6_La,贝照_La或加/a或bua或b与a相交（不垂

直），故B错误；

对于C：若64,且cl_b,则c//a或cua,故C错误；

对于D:若c//a,cllb,则a//z>,又“_La,且a,夕是两个不同的

平面，

则M/q，故D正确；故选：D

【变式1-3】（2023•内蒙古赤峰统考模拟预测）设加，〃是两条不同的直线，a,

夕是两个不同的平面，给出下列命题：

①若,nila,贝；

②若mlln,mc^a,"ua,则〃?//a;

③若a，Z?,mlla,则％_L夕;

④若，"_La,mu/3,则a_L6.

其中正确的命题个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】D

【解析】对于命题①若川隆，过直线〃的平面夕与a的交线。满足a〃〃厕“ua,

.mLa,tn±a,alln,则M_L〃，命题①正确；

对于命题②，若加//〃，"ua（m<za,则〃〃/a,命题②正确；

对于命题③，若a，户,mlla,则〃△/或加力,

或相交但不垂直，或mu尸，故③错误；

对于命题④，根据面面垂直的判断定理可知，若mla,mu/3,

则a，尸，命题④正确.故选：D.

【变式1-4]（2023秋•山东滨州•高三统考期末）已知为两条不同的直线,

a,4为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A.a//p,m//a,贝

B.，"ua,“ua,m//（3,n//p，则a〃1

C.a尸=/,m（=&,机_1_/,贝[]，"_1?

D.inA.a,m//n,a//fi,则〃1.6

【答案】D

【解析】对于A,a//p,帆〃a,则相〃6或根u£,A错误；

对于B,若机ua,〃ua,m〃（J,n//[i,则a〃/或a,4相交，

只有加上条件机”相交，结论才成立,B错误；

对于C,a81,mua,机工/无法彳导到〃」£,

只有加上条件a，尸才能得出结论，C错误；

对于D,mLa,m//n,则〃，a,又因为a〃尸，所以〃，尸，D正确.

故选:D.

【题型2共面、共线、共点证明】

[例2]（2022•全国•高三专题练习）如图，在正方体/BCD-ABCD中，/为

棱。。的中点.设与平面88/。。的交点为O,则（）

A.三点D,,O,B共线，且。8=2。。

B.三点Di,O,B不共线，且OB=2ODt

C.三点Di,O,B共线，且OB=ODi

D.三点Dj,O,B不共线，且OB=ODt

【答案】A

【解析】在正方体N8C。-4BCD冲,连接4。，SC/,如图，

C.DJICDIIAB，连BDi,平面ABCQc平面8800=80,

因M为棱。。的中点,则Me平面48GA,

而Ae平面A8CQ,即平面ABCQ,又OC，则OG平面A8CQ,

因/以与平面BBDD的交点为O,则Oe平面B8QQ,

于是得。€叫，即。，8三点共线，

显然ZW〃/8且。*及产件,

于是彳导OD,=^BO,^OB=2OD1,

所以三点。，。，8共线，且OB=2OU.故选:A

【变式2-1]（2022•全国•高三专题练习）如图ABCQ-ABCQ是长方体，0是用R

的中点，直线AC交平面ABQ于点例，则下列结论错误的是（）

B.M,0,A,A四点共面

C.8,B-。，M四点共面D.A,0,C,M四点共面

【答案】C

【解析】连接AC，AC,则AG〃4c,;.ACCA四点共面，

二.ACu平面ACC[At

MeAc，二Me平面4CC|A,

〃€平面4瓦£>一

点M在平面4CC0与平面A8Q的交线上,

同理点。在平面ACG4与平面ABQ的交线上,

•••A”，。三点共线，故A正确；

AM，。三点共线，且直线与直线外一点可确定一个平面，

.•.4M,0,4四点共面，AM,C0四点共面，故B,D正确；

.平面ABQ,OMu平面ABQ,用e平面48a且Bj。”，

，明和。例是异面直线，

-B,B'Q'M四点不共面，故C错误.故选：C

【变式2-2】（2022•全国•高三专题练习）在空间四边形N8C。各边/8、BC、CD、

DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与GH能相交于点P,那么（）

A.点P不在直线NC上B.点P必在直线8。上

C.点P必在平面ABC内D.点P必在平面ABC外

【答案】C

【解析】在空间四边形Z88中，点£、/分别在边A8、8c上，有Ee平面A8C,

尸c平面ABC,

则直线EFu平面A8C,外

同理，直线G”i平面A£>C,/

因EF、GH能相交于点P,即PeEF,PeGH,

因此Pe平面ABC,PG平面AOC,

而平面A8Cc平面4Y=AC,

于是有PeAC,A不正确，C正确，D不正确；

又直线/C与BD没有公共点，即点P不在直线BD上,B不正确.故选：

【变式2-3］（2023•全国•高三专题练习）如图E，尸，G,H分别是菱形钻8的

边AB,BC,CDt上的点,且8E=2A£,DH=2HA,CF=2FB,CG=2GD,

现将沿8。折起,得到空间四边形ABCD,在折起过程中，下列说法正确的

是（）

A.直线EF,而有可能平行

B.直线石尸，而一定异面

C.直线EF,偌一定相交，且交点一定在直线AC上

D.直线E尸，曲一定相交，但交点不一定在直线AC上

【答案】C

AH11

【解析】BE=2AE,DH=2HA,=—=-,则E/7//8O,且硒=4和，

B匕UnZj

又CF=2FB,CG=2GD，・4条=2,则阳//网＞,且尸G=,

orUU3

.■.EH//FG，且=四边形EFG”为平面四边形，

故直线EF,价一定共面，故5错误；

若直线所与选平行，则四边形瓦6"为平行四边形，

可得£7/=G/，与E”工9G矛盾,故A错误;

由EHHFG，且EH#FG,EH^-1BD,FG=-2BD,

可得直线所，用一定相交，设交点为。，

则OeE尸，又EFu平面ABC，可得Oe平面ABC，同理，Oe平面AC。,

而平面ABCc平面48=AC,-O&AC,即直线E尸,HG一定相交,

且交点一定在直线AC上,故C正确，。错误.故选：C.

【题型3直线与平面平行的判定】

【例3】（2023•广西柳州•高三统考阶段练习）如图，在棱长为4的正方体

A8C0-AMCQ中,点P是CG的中点，动点。在平面。CCQ内（包括边界），若

AQ平面A.BP,则AQ的最小值是（）

【答案】D

【解析】如图所示：M,N分别为皿,DC的中点，连接AMAMMN,

MN//D.C,D,C,故MN〃A5,

ABu平面ABP,MNiZ平面ABP,故_MN平面ASP；

易知四边形ABPM为平行四边形，

AM//BP,3Pu平面ABP,平面ABP,故AW平面ABP；

AMcMN=M,AM,MNu平面AMN,故平面AMN平面ABP,

当AQu平面AMN时，面AMNc平面RGCO=MN,故。的轨迹为线段

MN,

AM=AN=2如,MN=2五,“。的最小值是MN边上的高，为

“2石『-（夜『=3夜.

故选：D

【变式3-1］（2022•全国•高三专题练习）如图所示，在四棱推P-AB8中，底面

是直角梯形，AD//BC,ZADC=90,AC和相相交于点N,面PACL面ABC。,

BC=2AD=2,31,*PC邛在线段尸。上确定一点用使得PB〃面ACM,

求此时爆的值.

PM

【答案】点M为P。的三等分点且PD=3MD,此时砺=2

PM

【解析】点"为尸。的三等分点且PD=3MD,此时砺=2,证明如下：

连接AM,CM,

DN

在直角梯形A3C。中,AD//BC,BC=2AD=2

£J/V

DM1DNDM…,…

=.:.MN//PB

“3Z-M---P--~2.'*,---B--N--=--M---P--''

又MNu平面ACM,依z平面ACM，.二PB〃平面ACM.

【变式3-2](2023•新疆乌鲁木齐统考一模)如图，在四棱锥P-A3。中，PAY

平面Z8C。,ADLCD,AD//BC,^PA=AD=CD=2,8C=3,E是的中点,

点E在PC上,且尸尸=2FC.

(1)证明：£)F〃平面PAB;

(2)求三棱锥P-曲的体积.

4

【答案】(1)证明见解析(2)-

【解析】(1)证明：在线段依上取点"，使得PM=2M3,

2

所以,在PBC中，MF=-BC=2,^MFUBC

B

因为在四边形ABC。中，ADIIBC,AD=2,

所以,MF”AD,MF=AD,

所以，四边形4mM是平行四边形，所以少'/MM,

因为平面PA8,AWu平面PA6,所以力尸〃平面出艮

(2)作FG,尸。交PD于点G,

因为尸A，面ABCD,所以PALCD,

又ADLCO,E4与4。交于点A,

所以81面PAD,CD1PD,

又FG1PD,所以FG//CD,所以.PFGPCD,

r-r-piPFFG/曰4

所以正-而，侍,一§,

因为E为尸。中点,

I14114

所以%-AEF=VD-AEF=VF-ADE=§•$皿=§X§X/X耳X2X2=§

【变式3-3】（2022・广西痛,N•校考一模）如图，直四棱柱ABCO-ABCQ的底面

是菱形，例=4,AB=2,NBAD=*°,E,M,N分别是8c,BB、，A。的中

（1）证明：MN//平面CQE;（2）求点C到平面CQE的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）当

【解析】（1）证明：连结8。ME•

因为例,E分别为,BC的中点，

所以ME//BQ,且“.

又因为N为的中点，所以=.

可得ME=ND,ME"ND,

因此四边形"M龙为平行四边形，所以,

又“VU平面CQE,DEu平面CQE,所以MN//平面CQE.

（2）（方法一）：过，故6£的垂线，垂足为“,

由已知可得。,DEJ.CC,,

BCnCC,=C,BC,CC、u平面CC】E,

所以。平面CGE,又C”u平面CCg,

故DELCH,又DEcEQ=E,DE,E0U面GOE,

从而C”J_平面CQE,

故”的长即为点c到平面GQE的距离，

由已知可得CE=I,cq=4,所以GES,故CH=萼.

（方法二）：设点C到平面COE的距离为〃，

由已知可得^Q-DEC=^C-CyDE,

VSh，4,2，1，Sin60

C]-DEC=\DECC,C=1­=¥，%-CQE=；SCQ£”,

jjZjJ

GE3+42=后,O£=722+12-2-1-2COS60=C，

DC,=\/42+22=2X/5,

可得:CF+DE=DC；,故△CQE为直角三角形，

SCQE=；DEGE=N•而=誓,

yV-CDF4\/17

综上可得让浸C匹=,即为点C到平面C0E的距离.

°AC,DE1'

【题型4直线与平面平行的性质】

【例4】（2022•全国•高三专题练习）如图,在四棱锥S-MQ中，底面48。为

平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：时,SC//平面EEX

【答案】SE=A£（答案表述不唯一）

【解析】连接AC交相于O,连接OE,

SCH平面EBRSCu平面SAC,平面SAC平面EBD=OE,

:.SCHOE.

又底面ABCO为平行四边形，。为对角线AC与8。的交点,

故。为AC的中点,为54的中点，

故当E满足条件：SE=AE时，SC//面EBD.

故答案为：SE=AE（答案表述不唯一）

【变式4-1］（2023秋河南•高三校联考期末）如图，在三棱锥P-ABC中，ABC

是正三角形，以，平面分别为PAP8,PC上的点，且

（1）设平面。砂c平面ABC=/,证明：/平面PBC；

（2）求五面体ABC的体积.

【答案】（1）见解析；（2）25条

PEPF

【解析】（1）因为就=修，所以EF//8C,

因为BCu平面A8C,EF仁平面ABC,所以£77/平面ABC,

又平面DEFc平面ABC=l,EFc平面£>£尸，所以EF//1,

又EFu平面PBC,l平面P8C,所以///平面PBC,

（2）因为笥=2=*=:，所以S四=白攻

1LJJy

、222

所以YD-PEF~§VA—PEF二药%-PBC=^^P-ABC

=

所以五面体DEF-ABC的体积VVp-ABC~VD-PEF=万^P-ABC

因为匕，-Ape=；x万x6?x/x9=27括，所以V=255A

【变式4-2】（2023•