2011高考数学第一轮选考4-2矩阵与变换素材理苏教版

选考4-2知识体系二阶矩阵与平面向量几种常见的平面变换矩阵与变换变换的复合与矩阵的乘法逆变换与逆矩阵特征值与特征向量矩阵的简单运用最新考纲二阶矩阵与平面向量了解矩阵的有关概念，掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法.几种常见的平面变换理解矩阵对应的变换，把平面上的直线变成直线，即A(λια+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ.理解几种常见的平面变换：恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换；了解单位矩阵.矩阵的复合与矩阵的乘法掌握二阶矩阵的乘法，理解矩阵乘法的简单性质(不满足交换律、满足结合律、不满足消去律).逆变换与逆矩阵理解逆矩阵的意义，掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件.理解逆矩阵的唯一性和(AB)ι=BT41等简单性质，并了解其在变换中的意义.会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵.了解二阶行列式的定义,会用二阶行列式求逆矩阵.了解用变换与映射的观点解二元线性方程组的意义.会用系数矩阵的逆矩阵解二元线性方程组.理解二元线性方程组解的存在性、唯一性.特征值与特征向量掌握二阶矩阵特征值与特征向量的意义.会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形).会用二阶矩阵的特征值、特征向量解决简单的问题.了解三阶或高阶矩阵.了解矩阵的简单应用.基础热身.矩阵的相关概念（1）矩阵定义：在数学中，我们把形如809086883m-24这样的2323阵列称为矩阵.同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的，同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的，而组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的.（2）上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2X2矩阵（二阶矩阵），2X3矩阵，注意行的个数在刖.（3）矩阵相等：行数、列数分别,对应的元素也分别的两个矩阵，此时记作A=B.a（4）行矩阵：［a11,a12］（仅有一行），列矩阵：11（仅有一列）.12 aL21」X（5）向量a=（x,y），平面上的点P（x,y）都可以看成行矩阵［x,y］或列矩阵 ，规定所有Ly」的平面向量均写成向量Xy的形式.⑹重点在于对矩阵概念的理解，二阶矩阵与平面列向量的乘法运算.明确一个二阶矩阵和一个平面向量的乘法对应着一个变换，它把平面上的一个向量变成另一个向量..二阶矩阵与平面向量的乘法（I）定义：规定行矩阵tαιι"I?］与列矩阵/H的乘法规则为Lu21a]12bJ=b21a二阶矩阵11aL21a「X]a12与列向量0的乘法规则为11a22y0a21a12a22X0y0」,（2）由矩阵M确定的变换T通常记作T，要求能够熟练地进行矩阵的乘法形式与坐标形M式之间的转换，并能从几何的角度理解这种变换..二阶矩阵与线性变换101012（1）一些常见的基本的变换矩阵，如：cosθsinθ-sinθ

sinθ0-1-100-11010 0110 0110-100-1,0110 0-1-10 01-100-1111101100102001000111等，理解这些变换的几何意义.（2）二阶矩阵对于平面向量所实施的变换，都是，即有M（λ1α+λ2β）=λ1Mα+λ2Mβ,这样，我们在研究多边形以及直线在矩阵的变换作用下所形成的图形时，只须考虑端（顶）点的变化结果即可，这也是后面运用特征值与特征向量求解问题的依据.(3)伸压、反射、切变变换这三种几何变换称为，对应的变换矩阵称为..变换的复合、矩阵的乘法以及矩阵乘法的简单性质(1)数乘平面向量：由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或的复合.a(2)矩阵的乘法：一般地，对于矩阵11a21a12a22b√1b21b产，规定乘法法则为b22a a Ilb b\o"CurrentDocument"11 12 S广a aIlb b21 22 21 22a×b+a×b11 11 21 21a×b+a×b21 11 22 21a×b+a ×b I11 12 12 22a ×b+a ×b I21 12 22 22⑶性质：设A、B、C为三个不相等的非零矩阵，则①AB≠BA(即矩阵不满足交换律).②A(BC)=(AB)C(即矩阵满足结合律).③若AB=AC，但B≠C(即矩阵不满足消去律)..二阶行列式与逆矩阵、逆矩阵与二元一次方程组(1)逆矩阵的定义:对于二阶矩阵A，B，若有AB=BA=—，则称A是可逆的，B称为A的.逆矩阵是唯一的.(2)性质：①若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)-1=.②已知人，B，C为二阶矩阵，且AB=AC，若矩阵A存在逆矩阵，则.(3)行列式定义：我们把ab称为 ，它的运算结果是一个 ，记为cddet(A)=a"=ad—bc.cd.特征值与特征向量(1)定义：设A是一个二阶矩阵，如果对于实数入，存在一个向量a，使Aa=λa.那么称为A的一个特征值，而a称为A的属于特征值λ的一个.la(2)特征多项式：设A=CbId是一个二阶矩阵,λ∈R,我们把行列式λ—a —b2-C X-称为A的特征多项式.基础达标1.1<3Tl3]l10] l—10]2.点M(1,3)在矩阵0_1作用下变换得到点M1，点M1在矩阵0_1作用下变换得到点此，则此的坐标是.1 「0Γ.曲线y」Og%在M= 作用下变换的结果是曲线方程.ɔ ɪv√^12]Γ2.已知方程AX=B,其中A=,B= ,则X=乙J ɪΓ-1-25.已知向量CL1二3,α=， 2,ɑ=1—4，若αFα]+nCL2，则m,n的值分别为互动学案典例分析XX1110X【例1】（1）已知变换（2）已知变换,试将它写成坐标变换的形式;—X-y,试将它写成矩阵乘法的形式.XX分析对矩阵变换的基础知识，首先要理解二阶矩阵与平面向量的乘法对应着平面向量之间的变换，并掌握这种变换的坐标形式与矩阵乘法的形式.解（1）T：(2)T：x'—X-y-100-1XXχ+yXXy举一反三1.向量-4在矩阵1-2作用下变换得到的向量是α=321【例2】计算下列各式，并从变换角度说明其几何意义.105015(1)-12；(2)01021-15分析120运用二阶矩阵与平面向量的乘法法则进行计算，通过比较变换前后的点的坐标说明其几何意义.解1055(1)0-12-2,显然变换前后点的横坐标不变，纵坐标相反，这是关于X轴对称的反射变换.O15 2(2)[02=5'变换前后点的横、纵坐标交换，这是关于直线y=χ对称的反射变换.(3)-111×5+(-1)×2

0×5+l×23-,此变换保持点的纵坐标不变，横坐标按纵坐1O52标的一倍减少，这是沿X轴负方向的切变变换.举一反三^oΓ2.直线y=3x在矩阵M=ɪ0作用下变换得到的图形是.3x-y=5【例3】按要求解方程组CQ[x+2y=-3(1)用行列式求解；(2)用逆矩阵求解.分析用行列式求解二元一次方程组，就是求相应的D,Dχ,Dy,而运用矩阵解方程组，首先要把方程组改写为AX=B的形式，再由X=A-归求解.解(1)因为D二3-1=3×2-(-l)×1=7,125-1Dx==5×2-(-l)×(-3)=7,—3235Dy=-3=3×(-3)-5×1=-14,1所以X=≤,=Z=1Dq,即y二J上7x=l>=—2'即原方程组的解为x=l)=—23(2)设A=,,B=-3则方程组可以表示为AX=B的形式，因为25yA所以X=AT工5+1x(-3)7 7(1\ 3/、--X5+—x(-3)I7) 7-2Ix=1则原方程组的解为《CI）=-21,举一反三3.利用逆矩阵解下列方程组.IX+2y=3 I3X+y=8⑴《 ；（2）《∣4x-y=3， ∣2x-3y=3【例4】求下列矩阵的特征值和特征向量.（1）0-1-1

0（2）124分析常规方法应是根据矩阵写出特征多项式六人），由f（λ）=0求出特征值，代入方程Aα=λα求出相应的特征向量，但若矩阵变换有明显的几何意义，则可根据变换特点写出特征值与特征向量.解（1）从变换的几何意义来看，矩阵01 01的作用是关于直线y=-x的反射变换，因此，与直线y=-x平行的向量保持变换前后的大小与方向都不变，有特征值λ1=1及相应的特征向量（1，-1）；又与直线y=-x垂直的向量保持变换前后大小不变而方向相反，故有特征值λ2=-1及相应的特征向量（1,1）.(2)特征多项式f(λ)=λ-11-2λ-4=λ2-5λ+6.由f（λ）=0，解得λ1=2,λ2=3.当λ1=2时λ2=3时，（2-I）X-2y=0 JX=2X+（2-4）y=0 [y=1（3-1）X-2y=0 JX=1X+（3-4）y=0=[y=1综上所述，矩阵-14有特征值λ1=2及相应的特征向量(2，1)；特征值λ2=3及相应的特征向量(1，1).举一反三4.设矩阵A=-1的一个特征值为-1，则X的值是X22—X【例5】为了保证信息安全传输，设计一种密码系统，其加密、解密原理如下图:明文X-加密T密文Y一发送一密文Y解密》明文X现在加密方式为：把发送的数字信息X写为“a11a21a12a22”的形式，先左乘矩阵A=6525411，-22再左乘矩阵B=14飞，得到密文Y，现在已知接收方得到的密文是4,12,32,64,试破解85该密码.分析加密的过程经过了两次矩阵变换，可以先运用矩阵的乘法求出其变换的复合，再求其逆矩阵破解密码.65解由题意，BA=1425851-241「22648一1(BA%1214(BA)X=321264X=(BA%尸123264-11232644,3412214008即发送的数据信息是2008.举一反三5.当兔子和狐狸处于同一栖息地时，若忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，两个种群的变化有如下规律：①由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%；②由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；③第n年时，兔子数量用Rn表示，狐狸数量用Fn表示；④初始时刻（即第0年），兔子数量有R0=100只，狐狸数量有F0=30只.请用所学知识解决如下问题：（1）列出兔子与狐狸的生态模型；（2）求出Rn、Fn关于n的关系式；（3）讨论：当n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由.易错警示20【例1】求AB的逆矩阵,其中A=B=01，1004120错解(ABKAB=20错解分析运用公式(AB)1=B-1A-1求出AB的逆矩阵，而“错解”中错将公式记忆成(AB)-1=A-1B1正解,・•A-1=20・•.(AB)-1=B-1A-1=1B1=052【例2】求矩阵4-2的特征值和特征向量.错解特征多项式f(λ)=X-5-4-2

λ+2=λ2-3λ+2.0，110014011001401401,412001120014由f(λ)=0，解得λι=1,λ2=2.错解分析行列式的运算公式运用错误导致特征值求错.常规方法应是根据矩阵写出特征多项式f(λ),由f(λ)=0求出特征值，代入方程Aα=λα求出相应的特征向量.正解特征多项式f(λ)=λ-5-4-2

λ+2=λ2-3λ-18.由f(λ)=0,解得λ1=6,λ2=-3.[(6-5)X-2y=0

当λ1=6时，1]-4X+(6+2)y=0IX=2n]y=1当λ2=-3时，(-3-5)X-2y=0 JX=1-4X+(-3+2)y=0n[y=-452综上所述，矩阵有特征值λ1=6及相应的特征向量(2,1)；特征值λ2=-3及相应的特-征向量(1,-4).考点演练「21 「11∙向量。=-4在矩阵221作用下变换得到的向量是,2.如果矩阵113.计算1O4.5.6.7.8.9.α2O1把点A变成点B(3,1),则点A的坐标是O-32522-311522已知点P(χ,y)在矩阵M的作用下变换为点)(-y,-x),则矩阵g若43X23X=x,则X=曲线X2+4xy+2>2:l在矩阵已知矩阵M=若N421a31b1O1-1O-32,N=2-11OO-1,贝IJN=,则的作用下变换成曲线炒-2牛=1,则a+b=(MN);已知二阶矩阵A有特征值λ1=3及对应特征向量10.11.12.1α111-1,则矩阵A=已知A=O234,B=1O-2-3研究函数y=2sinx在矩阵M=已知矩阵M=3212α=,若AX=B,则X=O9O33,B，特征值入2=T及对应特征向量对应的变换作用下的结果.39,求跖a,MB∙参考答案

选考4-2基础梳理（1）矩形数字（或字母）（3）相等相等（1）[a11×b11+a12×b21]行列元素a×X11 0a×X21 0+a×12+a×22yy0」3.(2)4.(1)线性变换（3）初等变换初等变换矩阵多次5.(1)E逆矩阵⑵B-1A-1B=C（3）二阶行列式数值6.(1)非零λ特征向量(2)λ2-(a+d)λ+ad-bc基础达标-21.2.3.2√3解析:1（-1，3）解析:10-布］「1110111×1+√3×1+1×√3—101-2一2币-1—13—30—1—3—3y=2X解析：由TM：Xy」T01X10」y」，即Tm：XyTXy,yX，显然TM实施的是关于直线y=x的对称变换，曲线y=logX关于直线y=x对称的方程是y=22X—414.X=A-1B=—35.解析:AX=B得X=A-1B.因为A=—4由α=mα1+nα2得<,3m+n=—43」所以A-1—3—1」31222—151由31221，22,即2，5解析:m—n=2解得41m=——25n=——2举一反三11L2解析:12-213-4"1×3+(-2)×(-4)^∣Γ11^2×3+1×(-4)21 「02.y=-3χ解析：由IX二y即有r,n,y二XX二yy二XXXX10yyX知飞Tyy,yX所以x'=-3y',1即y':-3χ’.12Xy333.(1)设A=X=，B=则方程组可表示为AX=B,11又A4A，IX二1即原方程组的解为《1Iy=1（2）设A=1-3X=,B=则方程组可表示为AX=B，32yX83\o"CurrentDocument"3 1又A-1二11 11工-上L11 11则X=A即原方程组的解为K27X二一117y二∙111±√6 解析：矩阵A的特征多项式为f(λ)=λ2-(x+2-x)λ+x(2-x)+2=0，所以f(-1)=1+2+x(2-x)+2=0，整理得X2-2x-5=0，解得x二1±√6.[R=1.1R-0.15F(I)IFn=0.1Rn-1+0.85Fnτ(n≥1).n n-1 n-1「R1(2)设αn=Fn,M=1.10.1—0.150.85n.∙.αn=Mαn-1=M(Mαn-2)=…=Mnα0∙又矩阵M的特征多项式X—1.1 0.15f(λ)= CL=λ2-1.95λ+0.95=(λ-1)(λ-0.95).—0.1λ—0.85令,(入)=0,得λ1=1,λ2=0.95.特征值入1=1对应的一个特征向量α1=3一2，11特征值入2=0.95对应的一个特征向量为α2=0=10030二70—110；=7001-110,且α32α2，.∙.αn=Mnα0=70λnα1-110λnCL21 23=70-110X0.95n211210—110X0.95n140—110X0.95n.[R=210-110X0.95n・F=140-110X0.95nn⑶当n越来越大时，0.95n越来越接近于0,Rn,Fn分别趋向于常量210,140.即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量将达到一个稳定的平衡状态.考点演练1・2・3.—60(2,1)—310解析:12212—4解析：设A(x,y)11解析：10,-1x2+2X(—4)-

=2X2+1x(—4)=则有01「—32JL511x01y—60x+)y31,所以<X+y=3y=1nx=2y=11x(—3)+0X50x(-3)+2X5—310\o"CurrentDocument"11x(—3)+-×5211-x(-3)+-×52 2114.0-1-10\o"CurrentDocument"a a解析：设M= 11 12\o"CurrentDocument"a a21 22X由题意得M

y-y—Xa即11

a21a x12a y22-y—X,即Jax+ay=-y11 12 nax+ay=-x21 22a=0aɪɪ=-1〈12Ja=-121a=022M=0-1-10x25.-2或3解析：3X=X2-6.由X2-6=x,得X2-χ-6=0,解得x=-2或x=3.1a6∙2解