华中农业大学数学建模A.B

数学建模

微分与模糊专题专题板块系列概率统计专题1优化专题2模糊方法及微分方程专题3图论专题4.模糊方法及微分方程专题Part1:微分方程模糊微分Part2:模糊数学.part1：微分方程一微分方程模型二差分方程模型.在研究实际问题时,我们常常不能直接得出变量之间的关系，但却能容易得出包含变量导数在内的关系式，这就是微分方程.

在现实社会中，又有许多变量是离散变化的，如人口数、生产周期与商品价格等,而且离散的运算具有可操作性,差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁..不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到其解析解(必要时，可以利用计算机求其数值解)，既使得到其解析解，尚有未知参数需要估计(这时可利用第二章参数估计方法).

而在实际问题中，讨论问题的解的变化趋势很重要，因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论..如果则称平衡点x0是稳定的.称代数方程

f(x)=0的实根x=x0为方程(4-1)的平衡点(或奇点).它也是方程(4-1)的解.设一维微分方程模型平衡点的稳定性.由于在讨论方程(4-1)的来代替.稳定性时，可用一阶微分方程模型平衡点的稳定性.易知

x0也是方程(4-2)的平衡点.(4-2)的通解为关于x0是否稳定有以下结论：①若则x0是稳定的；②

若则x0是不稳定的.这个结论对于(4-1)也是成立的.一阶微分方程模型平衡点的稳定性.代数方程组的实根x=x0,y=y0称为方程(4-3)的平衡点,记作P0(x0,y0).它也是方程(4-3)的解.微分方程组的平衡点的稳定性.如果则称平衡点P0是稳定的.微分方程组的平衡点的稳定性.下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别准则.设

则当p＞0且q＞0时，平衡点P0是稳定的；当p＜0或q＜0时，平衡点P0是不稳定的.微分方程组的平衡点的稳定性.稳定性模型建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定。不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。.

再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）

再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。问题及分析在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。背景实例：捕鱼业的持续收获.假设

无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律

单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模捕捞情况下渔场鱼量满足r~固有增长率,N~最大鱼量h(x)=Ex,E~捕捞强度x(t)~渔场鱼量，产量模型.平衡点稳定性判断x0稳定,可得到稳定产量x1稳定,

渔场干枯E~捕捞强度r~固有增长率产量模型.图解法P的横坐标x0~平衡点y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的纵坐标h~产量产量最大f与h交点Phmx0*=N/2P*y=E*x控制渔场鱼量为最大鱼量的一半产量模型－最大产量.效益模型假设

鱼销售价格p

单位捕捞强度费用c单位时间利润稳定平衡点求E使R(E)最大渔场鱼量收入T=ph(x)=pEx支出S=cE.对于k阶差分方程F(n;xn,xn+1,…,xn+k)=0(4-6)若有xn=x(n),满足F(n;x(n),x(n+1),…,x(n+k))=0,则称xn=x(n)是差分方程(4-6)的解,包含k个任意常数的解称为(4-6)的通解,x0,x1,…,xk-1为已知时称为(4-6)的初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(4-6)的特解.差分方程模型.若x0,x1,…,xk－1已知，则形如xn+k=g(n;xn,xn+1,…,xn+k-1)的差分方程的解可以在计算机上实现.若有常数a是差分方程(4-6)的解，即F(n;a,a,…,a)=0,则称

a是差分方程(4-6)的平衡点.

又对差分方程(4-6)的任意由初始条件确定的解

xn=x(n)都有xn→a(n→∞),则称这个平衡点a是稳定的.差分方程模型.

一阶常系数线性差分方程

xn+1+axn=b,

(其中a,b为常数，且a≠-1,0)的通解为xn=C(-

a)n+b/(a+1)

易知b/(a+1)是其平衡点，由上式知，当且仅当|a|＜1时，b/(a+1)是稳定的平衡点.差分方程模型.

二阶常系数线性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中a,b,r为常数.

当r=0时，它有一特解x*=0；

当r≠0，且a+b+1≠0时，它有一特解x*=r/(a+b+1).

不管是哪种情形，x*是其平衡点.设其特征方程2+a+b=0的两个根分别为=1,=2.差分方程模型.

①当1,2是两个不同实根时，二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+C1(1)n+C2(2)n;

②当1,2=是两个相同实根时，二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+(C1+C2n)n;

则差分方程模型.③当1,2=(cos+isin)是一对共轭复根时，二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+

n(C1cosn+C2sinn

).

易知，当且仅当特征方程的任一特征根|i|＜1时,平衡点x*是稳定的.差分方程模型.对于一阶非线性差分方程xn+1=f(xn)其平衡点x*由代数方程x=f(x)解出.

为分析平衡点x*的稳定性,将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程时,上述近似线性差分方程与原非线性差分方程的稳定性相同.

因此当时,x*是稳定的；当时,x*是不稳定的.当差分方程模型.问题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡市场经济中的蛛网模型.gx0y0P0fxy0xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格消费者的需求关系生产者的供应关系供应函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0)~平衡点一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

模型建立.设x1偏离x0P0是稳定平衡点P0是不稳定平衡点蛛网模型稳定性分析.xy0fgy0x0P0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P1P2P3P4xy0y0x0P0fg曲线斜率稳定性分析.在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方程模型方程模型与蛛网模型的一致稳定性分析.~商品数量减少1单位,价格上涨幅度~价格上涨1单位,(下时段)供应的增量~消费者对需求的敏感程度~生产者对价格的敏感程度小,有利于经济稳定小,有利于经济稳定xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格经济稳定结果解释.1.使尽量小，如=0

以行政手段控制价格不变2.使尽量小，如=0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0x0gf需求曲线变为水平供应曲线变为竖直结果解释－政府干预.

生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程模型的推广.方程通解(c1,c2由初始条件确定)1,2~特征根，即方程的根平衡点稳定的条件:平衡点稳定条件比原来的条件放宽了x0为平衡点研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件模型的推广.一模糊集合及其运算二模糊聚类分析三模糊综合评判四模糊线性规划Part2:模糊数学.一、经典集合与特征函数集合：具有某种特定属性的对象集体。通常用大写字母A、B、C等表示。论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。通常用大写字母U、V、X、Y等表示。论域U中的每个对象u称为U的元素。模糊集合及其运算.在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个经典集合A，则必有或者，用函数表示为：其中函数称为集合A的特征函数。模糊集合及其运算.罗素（Russell）悖论：在一个孤岛上唯一的一个理发师，其工作是“专门替那些不给自己刮胡子的人刮胡子”，现问理发师本人该不该给自己刮胡子？取论域U={全岛刮胡子的人}，集合A={不给自己刮胡子的人}，用特征函数刻画为问题：显然理发师，那么理发师是否属于A？模糊集合及其运算.二、模糊集合及其运算美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的“非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数概念并非都是“非此即彼”那么简单，而概念的差异常以中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼”的模糊现象。基于此，1965年，Zadeh教授在《InformationandControl》杂志上发表了一篇开创性论文“FuzzySets”,标志着模糊数学的诞生。模糊集合及其运算.1、模糊子集定义：设U是论域，称映射确定了一个U上的模糊子集。映射称为隶属函数，称为对的隶属程度，简称隶属度。模糊子集由隶属函数唯一确定，故认为二者是等同的。为简单见，通常用A来表示和。模糊集合及其运算.模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法这里表示对模糊集A的隶属度是。如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为可省略模糊集合及其运算.（3）向量表示法（2）序偶表示法若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：模糊集合及其运算.2、模糊集的运算定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义相等：包含：并：交：余：表示取大；表示取小。模糊集合及其运算.几个常用的算子：（1）Zadeh算子（2）取大、乘积算子（3）环和、乘积算子模糊集合及其运算.（4）有界和、取小算子（5）有界和、乘积算子（6）Einstain算子模糊集合及其运算.3、模糊矩阵定义：设称R为模糊矩阵。当只取0或1时，称R为布尔（Boole）矩阵。当模糊方阵的对角线上的元素都为1时，称R为模糊自反矩阵。（1）模糊矩阵间的关系及运算定义：设都是模糊矩阵，定义相等：包含：模糊集合及其运算.并：交：余：例：模糊集合及其运算.（2）模糊矩阵的合成定义：设称模糊矩阵为A与B的合成，其中。例：模糊集合及其运算.（3）模糊矩阵的转置定义：设称为A的转置矩阵，其中。（4）模糊矩阵的截矩阵定义：设对任意的称为模糊矩阵A的截矩阵，其中模糊集合及其运算.例：模糊集合及其运算.三、隶属函数的确定1、模糊统计法模糊统计试验的四个要素：（1）论域U；（2）U中的一个固定元素（3）U中的一个随机运动集合（4）U中的一个以作为弹性边界的模糊子集A，制约着的运动。可以覆盖也可以不覆盖致使对A的隶属关系是不确定的。模糊集合及其运算.特点：在各次试验中，是固定的，而在随机变动。模糊统计试验过程：（1）做n次试验，计算出（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为对A的隶属度：模糊集合及其运算.2、指派方法这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。3、其它方法德尔菲法：专家评分法；二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序，由此决定隶属函数的大致形状。主要有以下方法：相对比较法、择优比较法和对比平均法等。模糊集合及其运算.模糊聚类分析一、基本概念及定理.模糊聚类分析.例：设对于模糊等价矩阵模糊聚类分析.模糊聚类分析.例：设有模糊相似矩阵模糊聚类分析.二、模糊聚类的一般步骤１、建立数据矩阵模糊聚类分析.（1）标准差标准化模糊聚类分析.（2）极差正规化（3）极差标准化（4）最大值规格化其中：模糊聚类分析.２、建立模糊相似矩阵（1）相似系数法①夹角余弦法②相关系数法模糊聚类分析.（2）距离法①Hamming距离②Euclid距离③Chebyshev距离模糊聚类分析.（3）贴近度法①最大最小法②算术平均最小法③几何平均最小法模糊聚类分析.3、聚类并画出动态聚类图（1）模糊传递闭包法步骤：模糊聚类分析.模糊聚类分析.解：由题设知特性指标矩阵为采用最大值规格化法将数据规格化为模糊聚类分析.用最大最小法构造模糊相似矩阵得到用平方法合成传递闭包模糊聚类分析.取，得模糊聚类分析.取，得取，得模糊聚类分析.取，得取