矩阵论标准形

关于矩阵论标准形第1页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三机动

目录上页下页返回结束1.3Jordan标准形

一、

-

矩阵二、Jordan标准形

三、Jordan标准形简单应用目标：发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵结构----Jordan矩阵。第2页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三1.定义设

P

是一个数域，

是一个文字，作多项式环P[].一个矩阵，如果它的元素是

的多项式，即P[]的元素,就称为

-矩阵.讨论

-

矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上关于若尔当标准形的主要定理.因为数域

P

中的数也是

P[]的元素，所以在-矩阵中也包括以数为元素的矩阵.一、

-

矩阵第3页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三矩阵称为数字矩阵.以下用

A()，B()，…等表示

-矩阵.我们知道，

P[]中的元素可以作加、减、乘三种运算,并且它们与数的运算有相同的运算规律.而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法与乘法，因此，我们可以同样定义

-矩阵的加法与乘法,它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律.把以数域

P

中的数为元素的第4页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法,因此,同样可以定义一个

n

n

的

-矩阵的行列式.一般地，

-矩阵的行列式是

的一个多项式,它与数字矩阵的行列式有相同的性质.例如,对于

-矩阵的行列式，矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积，这一结论，显然是对的.既然有行列式，也就有

-矩阵的子式的概念.利用这个概念，我们有秩和可逆矩阵等。第5页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三秩

如果

-矩阵

A()中有一个

r(r

1)级子式不为零，而所有

r+1级子式(如果有的话)全为零，则称

A()的秩为

r.零矩阵的秩规定为零。可逆矩阵

一个

n

n的

-矩阵

A()称为可逆的，如果有一个

n

n的

-矩阵使A()B()=B()A()=E,(1)这里

E是

n

级单位矩阵.适合

(1)的矩阵

B()(它是唯一的)称为

A()的逆矩阵，记为

A-1().第6页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三定理1

一个

n

n的

-矩阵

A()是可逆的

充分必要条件是行列式

|A()|是一个非零数.证明先证充分性.设d=|A()|

是一个非零的数.A*()是

A()的伴随矩阵，它也是一个

-矩阵

，而因此，

A()可逆.第7页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三再证必要性.设

A()可逆，则有A()B()=B()A()=E,上式两边取行列式，得|A()||B()|=|E|=1.因为

|A()|与

|B()|都是

的多项式，所以由它们的乘积是

1可以推知，它们都是零次多项式，也就是非零的数.证毕第8页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三例1

求下列

-矩阵的秩秩为3秩为2第9页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三例2

下列

-矩阵中，哪些是可逆的？若可逆求其逆矩阵.第10页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三初等变换的定义定义下面的三种变换叫做

-矩阵的初等变换：(1)矩阵的两行(列)互换位置；(2)矩阵的某一行(列)乘以非零常数

c

；(3)

矩阵的某一行(列)加另一行(列)的

()倍，

()是一个多项式.和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.2.-矩阵的Smith标准形第11页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三三种初等变换对应三个初等矩阵

i

行

j

行

i

列

j

列第12页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三

i

行

j

行

i

列

j

列第13页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三

i

行

i

列第14页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三同样地，对一个s

n

的

-矩阵A()作一次初等行变换就相当于在A()的左边乘上相应的ss

初等矩阵；对A()作一次初等列变换就相当于在A()的右边乘上相应的nn

的初等矩阵.初等矩阵都是可逆的，并且有P(i,j)-1=P(i,j),P(i(c))-1=P(i(c-1

)),P(i,j())-1=P(i,j(-)).第15页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三由此得出初等变换具有可逆性：设

-矩阵A()用初等变换变成B()，这相当于对A()左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘B()就变回A()，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由B()可用初等变换变回A().我们还可以看出在第二种初等变换中，规定只能乘以一个非零常数，这也是为了使P(i(c))

可逆的缘故.第16页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三-矩阵的等价定义

-矩阵

A()称为与

B()等价，可以经过一系列初等变换将

A()化为

B().等价的性质:

等价是

-矩阵之间的一种等价关系。如果-

矩阵等价的条件：矩阵

A()与

B()等价的充分必要条件是有一系列初等矩阵

P1,P2,…,Pl,Q1,Q2,…,Qs

使A()=P1

P2…Pl

B()Q1Q2…Qs.第17页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三-矩阵的标准形本段主要是证明任意一个

-矩阵可以经过初等变换化为Smith标准形.引理设

-矩阵A()的左上角元素

a11()0，并且

A()中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与

A()等价的矩阵

B()，它的左上角元素也不为零,但是次数比

a11()的次数低.

第18页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三证明根据A()中不能被a11()除尽的元素所在的位置，分三种情况来讨论：1)

若A()的第一列中有一个元素ai1()不能被a11()除尽，则有ai1()=a11()q()+r(),其中余式r()0，且次数比a11()的次数低.对A()作初等行变换.把A()的第i

行减去第1行的q()倍，得：第19页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三再将此矩阵的第1行与第i

行互换，得：B()左上角元素r()符合引理的要求，故B()即为所求的矩阵.第20页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三2)

在A()的第一行中有一个元素a1i

()不能被a11()除尽，这种情况的证明与1)类似，但是对A()进行的是初等列变换.3)

A()的第一行与第一列中的元素都可以被a11()除尽，但A()中有另一个元素aij

()(i>1,j>1)不能被a11()除尽.设ai1

()=a11()().对A()作下述初等行变换：第21页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三第22页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三=A1().矩阵A1()的第一行中，有一个元素ai

j()+(1-())a1j()不能被左上角元素a11()除尽，这就化为已经证明了的情况2).证毕第23页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三定理2

任意一个非零的

s

n

的

-矩阵A()都等价于下列形式的矩阵其中

r

1,di()(i=1,2,…,r-1)是首项系数为

1的多项式，且di()|di+1()(i=1,2,…,r-1).第24页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三证明经过行列调动之后，可以使得A()的左上角元素a11()0，如果a11()不能除尽A()的全部元素，由可以找到与A()等价的B1()，它的左上角元素b1()0，并且次数比a11()低.如果b1()还不能除尽B1()的全部元素,由引理，又可以找到与B1()等价的B2()，它的左上角元素b2()0，并且次数比b1()低.如此下去，将得到一系列彼此等价的

-矩阵A(),B1(),B2(),….它们的左上角元素皆不为零，而第25页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三且次数越来越低.但次数是非负整数，不可能无止境地降低.因此在有限步以后，我们将终止于一个-矩阵Bs()，它的左上角元素bs()0，而且可以除尽Bs()的全部元素bij()，bij()=bs()qij()，对Bs()作初等变换：即第26页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三在右下角的

-矩阵A1

()中，全部元素都是可以被bs()除尽的,因为它们都是Bs()中元素的组合.如果A1()O，则对于A1()可以重复上述过程，进而把矩阵化成第27页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三其中d1()

与d2()都是首项系数为1的多项式(d1()与bs()只差一个常数倍数)，而且d1()|d2()，d2()能除尽A2()的全部元素.如此下去，A()最后就化成了所要求的形式.证毕最后化成的这个矩阵称为A()的标准形.第28页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三例3

用初等变换把下列

-矩阵化为标准形.第29页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三行列式因子在上一段，我们讨论了

-矩阵的标准形，其主要结论是：任何

-矩阵都能化成标准形.但是矩阵的标准形是否唯一呢？答案是肯定的.为了证明唯一性，要引入矩阵的行列式因子的概念.3.行列式因子与不变因子不变因子第30页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三设

-矩阵

A()的秩为

r

，对于正整数k，1kr

，A()中必有非零的

k

级子式.A()中全部

k

级子式的首项系数为

1的最大公因式Dk()称为A()的

k

级行列式因子.由定义可知，对于秩为

r

的

-矩阵，行列式因子一共有

r

个.行列式因子的意义就在于，它在初等变换下是不变的.行列式因子第31页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三性质定理3

等价的

-矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子.证明我们只要证明，

-矩阵经过一次初等行变换，秩与行列式因子是不变的.设

-矩阵A()经过一次初等行变换变成B(),f()与g()分别是A()与B()的k

级行列式因子.我们证明f()=g().下面分三种情形讨论.第32页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三1)

A()

经初等行变换(1)变成B().这时B()的每个k

级子式或者等于A()的某个k

级子式,者与A()的某一个k

级子式反号,因此f()是B()的k

级子式的公因式，从而f()|g().2)

A()

经初等行变换(2)变成B().

这时B()的每个k

级子式或者等于A()的某个k

级子式,者等于A()的某一个k

级子的c

倍,因此f()是B()的k

级子式的公因式，从而f()|g().或或第33页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三3)

A()

经初等行变换(3)变成B().这时B()中那些包含i

行与j

行的k

级子式和那些不包含i

行的k

级子式都等于A()

中对应的k

级子式；B()中那些包含i

行但不包含j

行的k

级子式，按i

行分成两部分，而等于A()

的一个

k

级子式与另一个k

级子式的()倍的和，也就是A()

的两个k级子式的组合.因此f()是B()的k

级子式的公因式，从而f()|g().第34页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三对于列变换，可以完全一样地讨论.总之，如果A()

经一次初等变换变成B()，那么f()|g().但由于初等变换是可逆的，B()也可以经一次初等变换变成A().由上讨论，同样应有g()|f().于是f()=g().当A()

的全部k

级子式为零时，B()的全部k

级子式也就为零；反之亦然.因此，A()与B()既有相同的各级行列式因子，又有相同的秩.证毕第35页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三标准形的唯一性标准形的行列式因子设标准形为其中

d1(),d2(),…,dr()是首项系数为1的多项式，且

di()|di+1()(i=1,2,…,r-1).不难证明,第36页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三在这种形式的矩阵中，如果一个

k

级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个

k

级子式一定为零.因此，为了计算

k

级行列式因子，只要看由i1,i2,…,ik

行与

i1,i2,…,ik列

(1

i1i2…ikr)组成的

k级子式就行了，而这个k

级子式等于显然，这种

k级子式的最大公因式就是第37页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三定理4

-矩阵的标准形是唯一的.证明设(1)是

A()的标准形.由于A()与

(1)等价，它们有相同的秩与相同的行列式因子，因此，A()的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数

r;A()的

k

级行列式因子就是第38页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三于是(3)这说明

A()的标准形

(1)的主对角线上的元素是被A()的行列式因子所唯一确定的，所以

A()的标准形是唯一的.证毕第39页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三不变因子定义

标准形的主对角线上非零元素d1(),d2(),…,dr()称为

-矩阵

A()的不变因子.性质定理5

两个

-矩阵等价的充分必要条件是

它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.第40页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三证明等式（2）与（3）给出了

-矩阵的行列式因子与不变因子之间的关系.这个关系式说明行列式因子与不变因子是相互确定的.因此，说两个矩阵有相同的各级行列式因子，就等于说它们有相同的各级不变因子.必要性已由定理3证明。充分性是很明显的.因为若

-矩阵A()与B()有相同的不变因子，则

A()与

B()和同一个标准形等价，因而它们也等价.证毕第41页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三例4

试求下列矩阵的不变因子:第42页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三第43页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三定义现在我们假定讨论中的数域是复数域C.上面已经看到，不变因子是矩阵的相似不变量.为了得到若尔当标准形，再引入初等因子。把矩阵

A

(或线性变换A)的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数计算)称为矩阵

A(或线性变换

A)的初等因子.4.初等因子第44页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三例如设12级矩阵的不变因子是(-1)2(+1)(2+1)2.1,1,…,1,(-1)2,(-1)2(+1),9个按定义，它的初等因子有

7个，即(-1)2,(-1)2,(-1)2,(+1),(+1),(-i)2,(+i)2.其中

(-1)2

出现三次，

+1出现二次.第45页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三不变因子与初等因子的关系首先，假设

n

级矩阵

A

的不变因子d1(),d2(),…,dn()为已知.将

di()(i=1,2,…,n)分解成互不相同的一次因式方幂的乘积：第46页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三则其中对应于

kij

1的那些方幂就是

A

的全部初等因子.我们注意到不变因子有一个除尽一个的性质，即

di()|di+1()(i=1,2,…,n-1),从而第47页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三因此在

d1(),d2(),…,dn()的分解式中，属于同一个一次因式的方幂的指数有递升的性质，即k1j

k2j

…knj

(j=1,2,…,r).这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中方次最高的必定出现在

dn()的分解式中，方次次高的必定出现在

dn-1()的分解式中.如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的.第48页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩阵的级数唯一地作出不变因子的方法.设一个

n

级矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等因子中将同一个一次因式

(-j)(j=1,2,…,r)的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这些初等因子的个数不足

n

时，就在后面补上适当个数的1，使得凑成

n

个.设所得排列为第49页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三于是令则

d1(),d2(),…,dn()就是

A的不变因子.这也说明了这样一个事实：如果两个同级的数字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的不变因子，因而它们相似.反之，如果两个矩阵相似，则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初等因子.第50页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三综上所述，即得：定理8

两个同级复数矩阵相似的充分必要条是它们有相同的初等因子.初等因子的求法初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.但是初等因子的求法与不变因子的求法比较，反而方便一些.第51页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三在介绍直接求初等因子的方法之前，先来说明关于多项式的最大公因式的一个性质：如果多项式

f1()，f2()都与

g1()，g2()互素，则(f1()g1(),f2()g2())=(f1(),f2())(g1(),g2()).事实上，令(f1()g1(),f2()g2())=d(),(f1(),f2())=d1(),(g1(),g2())=d2().显然，d1()|d(),d2()|d().由于

(f1(),g1())=1,故(d1(),d2())=1，因而d1()d2()|d().第52页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三另一方面，由于d()|f1()g1(),可令d()=f()g(),其中

f()|f1(),g()|g1().由于(f1(),g2())=1,故

(f

(),g2())=1.由

f()|f2()g2()又得

f()|f2()，因而f()|d1().同理

g()|d2().所以d()|d1()d2().于是d()=d1()d2().证毕第53页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三引理设如果多项式

f1()，f2()都与

g1()，g2()互素，则A()和

B()等价.第54页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三下面的定理给了我们一个求初等因子的方法，它不必事先知道不变因子.定理9

首先用初等变换化特征矩阵

E-A

为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是

A

的全部初等因子.则所有这些一次因第55页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三证明设

E-A

已用初等变换化为对角形其中每个

hi()的最高项系数都为

1.将

hi()分解成互不相同的一次因式方幂的乘积：第56页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三我们现在要证明的是，对于每个相同的一次因式的方幂在

D()的主对角线上按递升幂次排列后，得到的新对角矩阵

D()与

D()等价.此时

D()就是E-A的标准形而且所有不为1的就是

A

的全部初等因子.第57页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三为方便起见，先对

-1

的方幂进行讨论.令于是而且每个都与

gj()(j=1,2,…,n)互素.如果有相邻的一对指数

ki1>ki+1,1,则在

D()中将与对调位置，而其余因式保持不动.根据第58页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三与等价.从而

D()与对角矩阵第59页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三等价.然后对

D1()作如上的讨论.如此继续进行直到对角矩阵主对角线上元素所含

-1的方幂是按递升幂次排列为止.依次对

-2,…,-r作同样处理，最后便得到与

D()等价的对角矩阵D()，它的主对角线上所含每个相同的一次因式的方幂，都是按递升幂次排列的.证明第60页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三例5

已知

-矩阵

A()的初等因子，秩

r

与阶数

n

，求

A()的标准形.第61页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三机动

目录上页下页返回结束(1)解把

A()的初等因子令第62页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三机动

目录上页下页返回结束则

d1(),d2(),d3(),d4()是

A()的不变因子.

以

A()的标准形为第63页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三机动

目录上页下页返回结束(2)解把

A()的初等因子按降幂排成如下两行，每行3个因子(因

A()的秩令等于

3):第64页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三机动

目录上页下页返回结束则

d1(),d2(),d3()是

A()的不变因子.

所以A()的标准形为第65页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三例6

求下列矩阵的不变因子，行列式因子与初等因子第66页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三机动

目录上页下页返回结束(1)解把E-A

化为标准形初等变换所以不变因子为行列式因子为初等因子为第67页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三(2)解把

E-B

化为标准形初等变换所以不变因子为行列式因子为初等因子为第68页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三机动

目录上页下页返回结束二、Jordan标准形

Jordan标准形的存在定理任何方阵A均可通过某一相似变换化为如下Jordan标准形：其中

称为Jordan块矩阵。为A的特征值，可以是多重的。

第69页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三机动

目录上页下页返回结束说明：（1）

2阶以上Jordan块矩阵一定不能对角化；中的特征值全为，但是对于不同的i和j有可能，即多重特征值可能对应多个Jordan块矩阵。

（4）Jordan标准形是唯一的，这种唯一性是指：各Jordan块矩阵的阶数和对应的特征值是唯一的，但是各Jordan块矩阵的位置可以变化。

（3）对于特征值的阶数整除它的代数重数。（5）Jordan标准形中各Jordan块矩阵的阶数均为1时，即为对角形矩阵。第70页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三机动

目录上页下页返回结束Jordan矩阵可以作为相似标准形。惟一性：Jordan子块的集合惟一。A相似于BJA相似于JB元素的结构Jordan矩阵是上三角矩阵对角矩阵是Jordan矩阵第71页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三机动目录上页下页返回结束2.Jordan标准形的求法方法一特征向量法P9-10注：1.属于某一个特征值的若当块个数由它的几何维数确定。2.该方法只适用于阶数较低的矩阵第72页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三机动目录上页下页返回结束例7

求下列矩阵的Jordan标准形。1的几何维数是1，故它对应一个若当块。2的几何维数是2，故它对应两个若当块。第73页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三机动

目录上页下页返回结束方法二初等因子法（1）求出特征多项式的初等因子组，设为（2）写出各Jordan块矩阵（一个初等因子对应一个Jordan块矩阵）

（3）合成Jordan矩阵：第74页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三例8

求下列矩阵的Jordan标准形。由例6A初等因子为：B初等因子为：第75页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三机动

目录上页下页返回结束方法三行列式因子法（1）求λE-A的各阶行列式因子

（2）求λE-A的各阶不变因子

（3）求λE-A的初等因子，确定Jordan标准形。

第76页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三机动

目录上页下页返回结束例9

求下列矩阵的Jordan标准形。第77页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三机动

目录上页下页返回结束第1-4行与第1、2、4、5列交叉的元素形成的四阶子式为第78页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三机动

目录上页下页返回结束第1、2、3、5行与1、3、4、5列交叉的元素形成的四阶子式为第79页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三机动

目录上页下页返回结束这两个子式的公因式为1，故第80页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三机动

目录上页下页返回结束第1-5行与第1、2、3、5、6列交叉的元素形成的五阶子式为第81页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三机动目录上页下页返回结束第1、2、3、5、6行与第1、3、4、5、6列交叉的元素形成的五阶子式为第82页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三机动

目录上页下页返回结束其它五阶子式均含因式，故

特征值行列式为，从而有