人教版高中数学必修5第一章解三角形测试题及答案

人教版高中数学必修5第一章解三角形测试题及答案

必修五第一章解三角形测试（总分150）一、选择题（每题5分，共50分）1.在△ABC中，已知a=3，b=7，c=2，那么B等于（）A.3°B.45°C.60°D.120°2.在△ABC中，已知a=10，B=60°，C=45°，则c等于（）A.10+3√3B.10C.3+√3D.10√33.在△ABC中，已知a=23，b=22，B=45°，则A等于（）A.3°B.60°C.3°或120°D.3°或150°4.在△ABC中，已知AB=3，AC=1，∠A=30°，则△ABC面积为（）A.3/2B.√3/2C.3/2或√3/2D.33/425.在△ABC中，已知a=b+c+bc，则角A为A.π/3B.π/6C.2π/3D.π/26.在△ABC中，面积S=a^2-(b-c)^2，则sinA等于A.15/17B.8/17C.13/15D.13/177.已知△ABC中三个内角为A、B、C所对的三边分别为a、b、c，设向量p=(a+c,b)，q=(b-a,c-a)。若p//q，则角C的大小为A.π/6B.π/3C.π/2D.2π/38.已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是A.(8,10)B.(8,10)C.(8,10)D.(10,8)9.在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形10.在△ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则AC上的高为（）A.3/2B.3/3C.3/2D.3/√10二、填空题（每小题5分，共20分）11.在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3，则a:b:c=12.已知三角形两边长为1和3，第三边的中线长为1，则第三边长为13.若三角形两边长为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为14.在△ABC中BC=1，B=π/3，当△ABC面积为3时，tanC=三、解答题（本大题共小题6小题，共80分）15.在△ABC中，已知AB=10√2，A=45°，在BC边的长分别为20，5的情况下，求相应角C。解：根据正弦定理，有sinC=c/AB，代入已知数据得sinC=5/10√2=√2/4。因为0<∠C<90°，所以C为第一象限角或第二象限角。根据余弦定理，有c^2=a^2+b^2-2abcosC，代入已知数据得c^2=400+20^2-2×20×10√2cosC。化简得cosC=(2√2-1)/8。因为0<∠C<90°，所以C为第一象限角或第四象限角。又因为cosC>0，所以C为第一象限角。由sinC=√2/4，可得C=45°。答：∠C=45°。、x2为方程的两个根，且cosC=x1+x2=2x2-2=2(2x1-1)-2=4cos2A-3。由cos2A=1-sin2A，代入得到：32sin2C=3(1-4sin2A)-4sin2A=3-16sin2A，即16sin2A=3sin2C+3。又由面积公式S=1/2ab*sinC=1/2bc*sinA=1/2ac*sinB，代入已知数据得到：sinA=203/221，sinB=33/221，sinC=32/221。因此，16sin2A=3sin2C+3可以化简为16(203/221)2=3(32/221)2+3，解得sinC=32/221。(1)由正弦定理得，a/sinA=b/sinB=c/sinC，代入已知数据得到：a=203/2，b=33/2，c=16。因为a<b+c，所以三角形是锐角三角形。(2)由海龙公式得到三角形的半周长s=(a+b+c)/2=126/4=63/2。再由内切圆半径公式r=S/s=203/221，因此内切圆半径的取值范围是0<r<203/221。20、如图所示，平面上有四点A、B、Q、P，其中A、B为定点，且AB=3，P、Q为动点，满足AP=PQ=QB=1，△APB与△PQB的面积分别为m,n。(1)由余弦定理得cosA=AB2+AP2-PB2/2AB*AP=1/2，因此∠A=60°。由正弦定理得PQ=2AP*sin(∠A/2)=√3，因此QB=AP+PQ=2。由面积公式S=1/2ab*sinC，代入已知数据得到：m=3/4*sinC，n=3/4*sin(60°-C)。因为m+n=3/4，所以sinC+sin(60°-C)=1。将sin(60°-C)化简为sinC，得到2sinC=1，因此sinC=1/2。由正弦定理得AP=√3/2，因此BP=√13/2。由海龙公式得到△APB的面积为√3/4，代入已知数据得到m=√3/4*sinC=3/8，因此m2=9/64。(2)由三角形面积公式S=1/2ab*sinC，代入已知数据得到：n=3/4*sin(60°-C)=3/4*cosC。由余弦定理得cosC=BP2+AB2-AP2/2BP*AB=(√13/2)2+32-3/2/(√13)3=11/26。因此n=3/4*cosC=33/104。由题意得到：m2+n2=(9/64)+(1089/10816)=1161/10816。因为AB=3，所以PQ2=AB2-4AP2=3-3=0，因此△PQB退化成一条直线，其面积为0。因此，要求m2+n2的最大值，只需求出△APB的面积最大值。由正弦定理得sinB/sinA=AB/BP=√13/3，因此sinB=√13/6，cosB=1/2。由面积公式S=1/2ab*sinC，代入已知数据得到：S=3/4*sinB*BP=√13/8。因此，m2+n2=1161/10816+13/32=1681/10816，最大值为1681/10816。19.（本小题14分）解：（1）由sinA+sinB=sinC，可得2sin2C=1，故sinC=1/√2，即C=45°。∴△ABC是以C为直角顶点的直角三角形。（2）内切圆半径$r=\frac{S}{p}=\frac{1}{2}(a+b-c)$，代入$a+b-c=2\sqrt{2}$，得$r=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$。∵$\sin\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1-\cosA}{2}}$，∴$\sin\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{2}}=\sqrt{\frac{(a-b+c)(a+b-c)}{4bc}}$。代入$a+b-c=2\sqrt{2}$，得$\sin\frac{A}{2}=\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}$。∴$\frac{r}{\sin\frac{A}{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\leqR\leq\frac{1}{\sqrt{2}}$。20.（本小题14分）解：（1）由题设得$a_n+b_n=(a_{n-1}+b_{n-1})+2(n\geq2)$，即$c_n=c_{n-1}+2(n\geq2)$。易知$\{c_n\}$是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为$c_n=2n+1$。（2）设首项为$a$，公比为$r$，则$c_1=a$，$c_2=ar$，$c_3=ar^2$。∵$c_1+c_2+c_3=15$，$c_1+2c_2+4c_3=105$，∴$\begin{cases}a+ar+ar^2=15\\a+2ar+4ar^2=105\end{cases}$，解得$a=3$，$r=2$。∴$c_n=2^n+1$，$S_n=\frac{3}{2}(2^n-1)$。题目：对一篇文章进行格式修正、删除有问题的段落，并进行小幅度改写。答案：题目缺少具体的文章内容，以下是一篇示例文章的修正、删除和改写：（II）解：由题设得$a_n-b_n=\frac{1}{a_{n-1}-b_{n-1}}$$(n\geq2)$，令$d_n=a_n-b_n$，则$2d_n=\frac{1}{d_{n-1}}$$(n\geq2)$。易知$\{d_n\}$是首项为$a_1-b_1=1$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，通项公式为$d_n=\frac{1}{2^{n-1}}$。由$\begin{cases}a_n+b_n=2n+1,\\a-b=\frac{1}{2n-1}\end{cases}$解得$a_n=\frac{1}{2}n^2+\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$，$b_n=\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}$。因此，答案为$\frac{1}{2}n^2+\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{n-1}}$。修正后的文章：根据题设，得到$a_n-b_n=\frac{1}{a_{n-1}-b_{n-1}}$$(n\geq2)$。令$d_n=a_n-b_n$，则$2d_n=\frac{1}{d_{n-1}}$$(n\geq2)$。易知$\{d_n\}$是首项为$a_1-b_1=1$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，通项公式为$d_n=\frac{1}{2^{n-1}}$。由$\begin{cases}a_n+b_n=2n+1,\\a-b=\frac{1}{2n-1}\end{cases}$解得$a_n=\frac{1}{2}n^2+\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$，$b_n=\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}$。因此，答案为$\frac{1}{2}n^2+\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{n-1}}$。根据数学公式，可以得出a3=7-88=-81。这意味着，如果我们知道一个等差数列的前两项和公差，我们就能计算出它的任何一项。这个公式可以写成Tn=a1+(n-1)d，其中Tn是第n项，a1是第一项，d是公差。我们可以将一个等差数列的总和表示为Tn=(a1+an)n/2，其中an是最后一项。但是，我们也可以使用另一个公式来计算总和，即Tn=(a1+an)(n/2)，其中n是项数。这两个公式是等价的。我们可以使用等差数列的公式来解决各种问题。例如，假设我们知道一个等差数