高等数学1课程教学大纲

高等数学1课程教学大纲课程英文名称：AdvancedMathematics课程编号：0500011、0500012学分：10学时：160课程教学对象本课程教学对象：通信工程、交通工程、电子信息工程、光电子工程、计算机科学与技术、软件工程、网络工程、土木工程、机械工程及自动化、电子商务等专业一年级的本科生。课程性质及教学目的课程性质：公共基础课.课程教学目的：开设本课程的目的是不仅使学生系统地获得向量代数与空间解析几何、一元函数微积分、常微分方程、多元函数微积分与无穷级数的基本概念、基本理论、基本运算和分析方法，在数学的抽象性、逻辑性与严密性方面受到必要的训练和熏陶，使他们具有理解和运用逻辑关系、研究和领会抽象事物、认识和利用数形规律的初步能力，为学生学习后继数学课程、其它基础课程和专业课程提供必要的基础知识和思想方法，而且逐步培养学生用极限的方法、矢量的方法、连续与离散的方法与数学建模等方法去思考问题的意识和兴趣，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力与归纳判断能力、空间想象能力与数值计算能力，并特别培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力，为学生将来进行科学研究奠定良好的基础。授课教师通过启发式和深入浅出的课堂讲授、课后答疑、课堂布置学生课后完成的作业以及每学期的期中、期末考试等教学环节来完成本课程的教学目的。对先修知识的要求本课程一般都是在新生入学后一年级开设，要求学生具有较好的初等数学基础知识，一定的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力等。课程的主要内容、基本要求和学时分配建议（总学时数:160）知识模块知识点要求学时学习方式课外学习要求1、一元函数、极限与连续1.1函数、复合函数和反函数的概念及函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性和基本初等函数的性质及其图形。B2课堂讲授1.2数列极限、函数极限的概念、性质及运算法则。A2课堂讲授1.3无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念，用等价无穷小求极限。B2课堂讲授1.4极限存在的两个准则（夹逼定理、单调有界准则）、两个重要极限及其应用A4课堂讲授1.5函数的连续与间断，判别间断点的类型。B2课堂讲授1.6连续函数的运算性质及初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质B2课堂讲授2、一元函数的微分学2.1导数、左导数和右导数的定义，函数连续与可导的关系。B2课堂讲授2.2基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则A4课堂讲授2.3高阶导数的概念，求简单函数的高阶导数。B2课堂讲授2.4求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶及二阶导数B2课堂讲授2.5函数微分的概念、微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性B2课堂讲授2.6罗尔定理、拉格朗日中值定理及其应用，柯西中值定理及其应用A4课堂讲授2.7用罗必塔法则求不定式极限A3课堂讲授2.8Taylor公式，求一些简单而又常见的函数的泰勒公式C3课堂讲授2.9用导数讨论函数的单调性、凹凸性、以及拐点及用函数的单调性证明不等式。B2课堂讲授2.10函数极值的概念，求函数的极值以及最大值和最小值，解决一些优化方面的实际问题。A2课堂讲授2.11函数图形的描绘C2课堂讲授3、一元函数的积分学3.1不定积分的概念、不定积分的基本公式和不定积分的性质。B4课堂讲授3.2利用换元积分法与分部积分法计算不定积分。A4课堂讲授3.3计算有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分B4课堂讲授3.4定积分的概念、定积分的性质及定积分中值定理。B3课堂讲授3.5变上限积分的概念、计算变上限积分函数的导数，用牛顿－莱布尼茨公式计算定积分）B2课堂讲授3.6用换元积分法与分部积分法计算定积分A4课堂讲授3.7反常积分的概念以及反常积分的计算C2课堂讲授3.8定积分的元素法，利用定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及平行截面面积为已知的立体体积B2课堂讲授3.9定积分在物理学上的应用（利用定积分计算功、压力）C1课堂讲授4、常微分方程4、常微分方程4.1微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念B1课堂讲授4.2求解可分离变量的微分方程B1课堂讲授4.3求解齐次方程B1课堂讲授4.4求解一阶线性微分方程A1课堂讲授4.5求解几类可降阶的高阶微分方程B1课堂讲授4.6二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理C1课堂讲授4.7求解二阶常系数线性微分方程A2课堂讲授4.8求解二阶常系非齐次线性微分方程（自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程的求解）B4课堂讲授5、空间解析几何5.1空间直角坐标系和向量的概念B3课堂讲授5.2数量积、向量积的概念，数量积和向量积的计算A3课堂讲授5.3曲面及其方程的概念及空间图形C2课堂讲授5.4空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程和空间立体在坐标面上的投影区域，投影曲线方程和空间立体的投影区域。C2课堂讲授5.5平面方程和直线方程，两平面之间夹角、点到平面的距离的求法。A2课堂讲授5.6空间直线的参数方程和一般方程，两直线之间夹角、直线与平面的夹角的求法A2课堂讲授6、多元函数的微分学6.1多元函数、多元函数的极限与连续概念，有界闭区域上连续函数的性质C2课堂讲授6.2多元函数偏导数的概念，偏导数的几何意义，偏导数的求法。A3课堂讲授6.3全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，全微分的求法。B2课堂讲授6.4多元复合函数的求导法则，多元复合函数的全导数和偏导数的求法A3课堂讲授6.5隐函数的导数和偏导数的求法B3课堂讲授6.6曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念及其求法B3课堂讲授6.7方向导数与梯度的概念及其计算方法C2课堂讲授6.8多元函数极值和条件极值的概念、多元函数极值存在的必要条件和二元函数极值存在的充分条件，求二元函数的极值和用拉格朗日乘数法求条件极值。A2课堂讲授7、多元函数的积分学7.1二重积分的概念与性质，二重积分的中值定理B3课堂讲授7.2运用直角坐标法和极坐标法计算二重积分A3课堂讲授7.3三重积分的概念及性质，运用直角坐标法和柱面坐标法计算三重积分A3课堂讲授7.4重积分的应用（计算曲面的面积、求重心、转动惯量和引力）B2课堂讲授7.5对弧长的曲线积分的概念、性质，对弧长的曲线积分的计算方法B2课堂讲授7.6对坐标的曲线积分的概念、性质，对坐标的曲线积分的计算方法B3课堂讲授7.7格林公式以及运用格林公式计算曲线积分，平面曲线积分与路径无关的条件。A3课堂讲授7.8对面积的曲面积分的概念和性质，计算对面积的曲面积分。B3课堂讲授7.9对坐标的曲面积分的概念和性质，计算对坐标的曲面积分B3课堂讲授7.10运用高斯公式计算曲面积分A3课堂讲授7.11斯托克斯公式C2课堂讲授8、级数理论8.1常数项级数收敛、发散以及和的概念，级数的基本性质，几何级数与p级数收敛与发散的条件。B2课堂讲授8.2正项级数的比较判别法、比较判别法的极限形式和比值判别法，运用莱布尼茨定理判定交错级数的收敛性，任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。A3课堂讲授8.3函数项级数的收敛域、和函数及幂级数收敛半径的概念，幂级数的收敛半径及收敛域的求法，幂级数的和函数在其收敛区间内的一些基本性质，以及幂级数在收敛域内的和函数的求法。B3课堂讲授8.4函数ex、sinx、cosx和ln(1+x)(1+x)α的麦克劳林展开式，以及利用它们将一些简单函数间接展开成幂级数A2课堂讲授8.5函数的幂级数展开式在近似计算、求微分方程的解等方面的应用C2课堂讲授8.6傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，以及将定义在上的函数展开为傅里叶级数。B2课堂讲授8.7将周期为２l的周期函数展开为傅里叶级数和将定义在[0，l]C2课堂讲授注：知识点中粗体字部分为本课程的重点或难点表中要求按“了解（C）”、“熟悉（B）”、“熟练掌握（A）”三个层次描述学生对知识点应达到的要求；表中课外学习要求：要求学生按质按量完成教师课堂布置的课外作业。建议使用教材及参考书1.主要教材:同济大学应用数学系主编.高等数学第六版（上、下册）.北京：高等教育出版社，2007．2.