高等数学（经管类）PPT高职完整全套教学课件

目录第一章微积分

►第一节导数的概念及运算

►第二节微分的概念及运算

►第三节偏导数与全微分

►第四节不定积分

►第五节定积分

►第六节数学实验

一、导数的概念第一节导数的概念及运算其中β为割线MN的倾斜角.当动点N沿曲线无限靠近定点M时，即Δx→0时，上式的极限存在并设为k，即

一、导数的概念第一节导数的概念及运算

曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点M的切线斜率反映了该曲线在点M升降的快慢程度.

因此，切线斜率k又称为曲线𝑦=𝑓(𝑥)在x=x0处的变化率.

一、导数的概念第一节导数的概念及运算

1．设函数𝑦=𝑓(𝑥)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx（Δx≠0）时，相应的函数有增量

，如果极限存在,则称此极限值为函数𝑦=𝑓(𝑥)在点x0处的导函数值.并称函数𝑦=𝑓(𝑥)在点x0处可导.记作.

此时若该极限不存在,则称函数𝑦=𝑓(𝑥)在点x0处不可导.若设x=x0+Δx，也有

一、导数的概念第一节导数的概念及运算

2．若设函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间(a,b)内的每一点都可导，则称函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间(a,b)内可导.这时对于区间(a,b)内的每一个x值，都对应一个确定的导数值，因此构成了一个新的函数，这个函数叫做f(x)的导函数，记作

通常在不发生混淆的情况下，我们将导函数值与导函数统称为导数.

导数f′(x0)的几何意义表示的是曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点M(x0,y0)处切线的斜率.即切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0)，法线方程为.

如果𝑦=𝑓(𝑥)在点x0处的导数为无穷大，这时曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点M(x0,y0)处的切线方程为x=x0，该切线垂直于x轴.

一、导数的概念第一节导数的概念及运算求导数的步骤：（1）求增量：

；（2）算比值：；（3）取极限：.

一、导数的概念第一节导数的概念及运算例2求曲线y=x2+3在点（1，4）处的切线斜率，并写出切线及法线方程.

二、导数的运算第一节导数的概念及运算1．基本公式第一节导数的概念及运算

二、导数的运算2．运算法则设函数u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点x处均可导，则有如下运算法则推广到有限个函数有第一节导数的概念及运算

二、导数的运算例3设

，求y′.例4设.解解第一节导数的概念及运算

二、导数的运算3．复合函数求导设函数y=f(u),u=φ(x)且y=f(u)的定义域由u=φ(x)的值域确定，则称y=f［φ(x)］是由y=f(u),u=φ(x)复合而成的函数，简称复合函数.u=φ(x)称为中间变量.复合函数求导法则：设函数u=φ(x)在点x处可导，函数y=f(u)在对应点u=φ(x)处可导，则复合函数y=f［φ(x)］在点x处可导，且

上式也可写成y′x=y′u·u′x或(f［φ(x)］)′=f′［φ(x)］·φ′(x).推广到有限个中间变量有：设y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x)均可导，则第一节导数的概念及运算

二、导数的运算例5设y=（2x+5）3，求y′x.3．复合函数求导熟练掌握复合函数的分解后，运算时不必写出中间变量，直接由外向里逐层求导即可,但注意每层变量是不相同的.解将y=(2x+5)3分解为y=u3,u=2x+5而y′u=3u2,u′x=2，所以y′x=y′u·u′x=6u2=6(2x+5)2.例6求函数

的导数.解第一节导数的概念及运算

二、导数的运算4．隐函数求导形如y=f(x)所表示的函数称为显函数，而x2+y2=R2,ey=xy同样表示了函数关系，这种由方程F(x,y)=0所确定的函数称为隐函数.显然所有的显函数都可以表示为隐函数，而有些隐函数是不能表示为显函数的，因此求隐函数的导数尤为重要.

隐函数求导法则：

（1）将等式两端同时关于x求导，其中y是x的函数，由复合函数求导法则得到一个含有y′的方程；

（2）从方程中解出y′.第一节导数的概念及运算

二、导数的运算4．隐函数求导解将方程的两端同时对x求导，这里y是x的函数，y2是x的复合函数.根据复合函数求导法则有解得显然此函数也可以通过表示为显函数去求导.例7求由方程x2+y2=4所确定的隐函数的导数.第一节导数的概念及运算

二、导数的运算4．隐函数求导解两边同时取以e为底的对数有lny=xlnsinx，两边对x求导得解得例8

求幂指函数y=(sinx)x的导数y′.对于形如的函数称为幂指函数.第一节导数的概念及运算

二、导数的运算5．高阶导数例9设y=7x4，求y(5).如函数y=f(x)的导数y′=f′(x)仍是x的可导函数，则称f′(x)的导数为f(x)的二阶导数.记由定义知，类似地，函数y=f(x)的三阶导数，…….函数y=f(x)的n-1阶导数的导数叫做函数y=f(x)的n阶导数，记作我们把y=f(x)的导数f′(x)称为函数的一阶导数，二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.第一节导数的概念及运算

三、极值设函数y=f(x)在(a,b)内可导，若在（a,b）内f′(x)>0，那么函数y=f(x)在（a,b）内单调递增；若在（a,b）内f′(x)<0，那么函数y=f(x)在（a,b）内单调递减.设函数f(x)在点x0的邻域内有定义，且对该区域的任意点x（点x0除外），如果有f(x)<f(x0)成立，则称f(x0)为函数f(x)的一个极大值，点x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果有f(x)>f(x0)成立，则称f(x0)为函数f(x)的一个极小值，点x0称为函数f(x)的一个极小值点.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点.极值是一个局部概念.因此有时在研究的区域内会有多个极值，有时极小值会大于极大值.第一节导数的概念及运算

三、极值在图1－2中可以看出函数在取得极值的地方，曲线的切线或是水平的（如点x1、x5）或是垂直的（如点x4），而曲线有水平切线的地方，函数不一定取得极值（如点x3）.总之如果函数f(x)在点x0处有极值f(x0)，则f′(x0)=0或f′(x0)不存在.使f′(x)=0的点x称为函数的驻点.可导函数的极值点必是驻点，反之不一定.第一节导数的概念及运算

三、极值判定方法一：设函数f(x)在点x0的左右邻域连续，且在该某个邻域（点x0除外）可导，（1）若x<x0时,f′(x)>0；当x>x0时，f′(x)<0，则函数f(x)在x0处有极大值；（2）若x<x0时,f′(x)<0；当x>x0时，f′(x)>0，则函数f(x)在x0处有极小值；（3）若x取x0左右两侧附近的值f′(x)不变号，那么函数f(x)在x0处没有极值.第一节导数的概念及运算

三、极值判定方法二：如果函数f(x)在点x0处具有二阶导数，且f′(x0)=0，则（1）当f″(x0)<0时，函数f(x)在x0处取得极大值；（2）当f″(x0)>0时，函数f(x)在x0处取得极小值；（3）当f″(x0)=0时，函数f(x)在x0处是否取得极值不确定，回到判定方法一.求函数f(x)极值的步骤为：（1）确定函数f(x)的定义域，求出导数f′(x)和f″(x)；（2）求出函数f(x)的全部驻点及一阶导数不存在的点；（3）用判定方法一或判定方法二确定以上各点是否为极值点并求极值.第一节导数的概念及运算

三、极值例10

求函数的极值.第一节导数的概念及运算

四、函数的最值函数f(x)在区间[a,b]上有定义，点x0是[a,b]内的点，若对于该区间内任意的点x恒有f(x0)≥f(x)(或f(x0)≤f(x))，则称f(x0)为函数f(x)在区间[a,b]上的最大值（或最小值），x0为最大值点（或最小值点）.最值是整体概念，因此在讨论的区域内最值一定存在且唯一，最值点可以是区间内的点也可以是区间的端点.第一节导数的概念及运算

四、函数的最值解（1）令f′(x)=4x3-4x=4x(x-1)(x+1)=0，解得驻点x=-1,x=0,x=1.（2）f(0)=3,f(±1)=2,f(-2)=11,f(2)=11.（3）比较得在[-2,2]

上的最大值为f(±2)=11，最小值为f(±1)=2.例11

求函数f(x)=x4-2x2+3在[-2,2]上的最大值与最小值.特别地在开区间(a,b)内，若函数f(x)有且仅有唯一的极大值点（或极小值点）x0，那么它同时也是该区间内的最大值点（或最小值点）；函数f(x)在单调闭区间上的最值一定存在且在区间的端点取得.第一节导数的概念及运算

五、几个常见的函数1．总成本函数总成本函数是指生产者用于生产产品的所有费用.一般可分为固定成本（用C0来表示）和可变成本（用C1表示）.设总成本为C，产品的产量为q，则总成本函数为

总成本函数随产量的增加而增加，因此是一个单调递增的函数.生产单位产品所付出的成本称为平均成本，用表示，即.第一节导数的概念及运算

五、几个常见的函数2．总收入函数

第一节导数的概念及运算

五、几个常见的函数3．总利润函数

第一节导数的概念及运算

五、几个常见的函数3．总利润函数解

因为C(q)=14000+6.00q,R(q)=18.5q由C(q)=R(q)解得保本点q=1120（件）.因每天产品的保本产量低于每天的生产能力，可以投入生产，当生产量为1120≤q≤4000时，即可从中获利.例12某厂生产某产品，若以18.5元的价格出售产品是畅销的，该厂每天生产能力为4000件，每天固定成本14000元，单位可变成本6.00元，求保本点.第一节导数的概念及运算

五、几个常见的函数4．边际函数在经济学中，将经济函数y=f(x)的导数y′=f′(x)称为边际函数，f′(x0)称为y=f(x)在x=x0处的边际函数值.

Δy≈f′(x0)说明边际函数值近似地等于函数的改变量，表示自变量x在原有水平x=x0基础之上，若产生一个单位的改变，y相应近似地变化f′(x0)个单位.总成本函数C(q)的导数C′(q)称为边际成本.其经济意义是当产量为q时，再生产一个单位的产品带来总成本增加的近似值（通常省略“近似”二字）.显然当边际成本小于平均成本时，增加产品的生产量将会带来利润的增加.总收入函数R(q)的导数R′(q)称为边际收入.其经济意义是当销量为q时，再多销售一个单位产品带来总收入的改变.总利润函数L(q)的导数L′(q)称为边际利润.其经济意义是当产量（或销量）为q时，再多生产（或销售）一个单位产品带来总利润的改变.同样类似地还有边际需求，边际供给等.第一节导数的概念及运算

五、几个常见的函数4．边际函数利用边际分析理论有如下重要结论：（1）平均成本最小化原理即当平均成本等于边际成本时，平均成本取得最小值.（2）利润最大化原理即当边际收入等于边际成本时，总利润取得最大值.第一节导数的概念及运算

五、几个常见的函数4．边际函数

第一节导数的概念及运算

五、几个常见的函数4．边际函数解（2）由已知

由利润最大化原理有160-10p=10p-340，解得p=25（万元/吨），将p=25代入Q(p)=160-5p有q=35吨/月.当产品的销售价格定为25万元/吨时，获得的利润最高，最优月销售数量为35吨.

第一节导数的概念及运算

五、几个常见的函数5．弹性理论

第一节导数的概念及运算

五、几个常见的函数5．弹性理论

第一节导数的概念及运算

五、几个常见的函数5．弹性理论

经济意义：当p=3时，价格上涨1%时，需求量减少0.6％，需求量变化的幅度小于价格变化的幅度，此时价格对需求的影响不大；当p=5时，价格上涨1％，需求量减少1％，需求量变化的幅度与价格变化的幅度相同；当p=6时，价格上涨1%，需求量减少1.2%，需求量变化的幅度大于价格变化的幅度，此时价格对需求的影响较大.第一节导数的概念及运算

五、几个常见的函数5．弹性理论

第二节微分的概念及运算

一、微分的概念设正方形的面积为y=x2,而y′=2x，当边长为x0时，对应于边长改变量Δx>0，则面积y相应的改变量为如图1-4所示，当Δx很小时，(Δx)2相对于2x0Δx来说变小的速度更快，所以面积y的改变量Δy可以近似地用2x0Δx来替代，即Δy≈2x0Δx，两者相差(Δx)2.因此我们把y=x2改变量的近似值2x0Δx称为函数在点x0处的微分值，记作第二节微分的概念及运算

一、微分的概念

1．若函数y=f(x)在x0处具有导数f′(x0)，那么f′(x0)·Δx叫做函数y=f(x)在点x0处的微分值.记作这时称函数y=f(x)在x0处可微分，或简称函数可微.

2．函数y=f(x)在任意点x的微分，称为函数的微分，记为dy或df(x).即当y=x时，由于dy=dx=(x)′Δx=Δx，即自变量的微分等于自变量的增量.于是函数y=f(x)的微分又可记作显然，即函数的微分dy与自变量的微分dx的商等于该函数的导数.因此导数又称为微商.第二节微分的概念及运算

一、微分的概念例1求y=sin(6x+2)的微分dy.解dy=［sin(6x+2)］′dx=6cos(6x+2)dx.在直角坐标系中，设曲线y=f(x)有定点M(x0,y0)，当自变量x有微小改变Δx时，得曲线上点N(x0+Δx,y0+Δy)，由图1-5可知：

MQ=Δx,QN=Δy，过点M作曲线的切线MT，其倾角为α，则QP=MQ·tanα=f′(x0)Δx,即dy=QP，因此函数y=f(x)在点M(x0,y0)处的微分的几何意义是曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处切线的纵坐标的改变量.第二节微分的概念及运算

二、微分的运算1．基本公式第二节微分的概念及运算

二、微分的运算2．运算法则

设函数u=u(x)和v=v(x)在点x处均可导，则有：第二节微分的概念及运算

二、微分的运算3．微分形式不变性设函数y=f(u),u=φ(x)，则复合函数y=f［φ(x)］的微分为因为φ′(x)dx=du，所以dy=f′(u)du，这个性质称为微分形式不变性，也称为复合函数的微分法则.例2设y=ln(1+ex),求dy.解第二节微分的概念及运算

三、微分在近似计算中的应用

设y=f(x)的导数y′=f′(x)在点x=x0连续，当自变量的改变量为Δx时，函数的改变量.当很小时，有或特别地令x0=0，当

很小时，有

.第二节微分的概念及运算例3证明：证设代入得

三、微分在近似计算中的应用第三节偏导数与全微分

一、二元函数的概念

设有三个变量x,y和z，当x和y在一定范围内任意取定一对值时，变量z按照一定的规律，总有确定的数值与之对应，则变量z称为变量x,y的二元函数，记作z=f(x,y).二元函数同样有定义域、值域、极限和连续的概念，且显然类似地我们将y=f(x1,x2,…,xn)称为n元函数.第三节偏导数与全微分

二、偏导数与一元函数一样，多元函数也需讨论变化率的问题，即偏导数的概念.

1．设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一个领域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)，称之为函数关于自变量x的偏增量，记为Δxz.如果存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对自变量x的偏导数值.记作类似地，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对自变量y的偏导数值为记作第三节偏导数与全微分

二、偏导数

2．若函数z=f(x,y)在区域内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在且仍是x,y的函数，则称它为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数.记为.即类似地z=f(x,y)对自变量y的偏导函数记为.即在不发生混淆的情形下偏导函数值和偏导函数统称为偏导数.由定义可知，二元函数偏导数的求导方法：确定其中一个自变量为变量的同时将另一个自变量暂时看作常量，转化为一元函数来求导.第三节偏导数与全微分

二、偏导数例１求函数在点(1,2)处的偏导数.第三节偏导数与全微分

二、偏导数

3．设函数z=f(x,y)在区域内有偏导数存在且都是x,y的函数.则它们的偏导数称为函数z=f(x,y)的二阶偏导数.因对变量求导数的次序不同，有下列四个二阶偏导数：其中fxy(x,y)和fyx(x,y)称为二阶混合偏导数.类似地可有三阶及三阶以上的偏导数，我们将二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.第三节偏导数与全微分

二、偏导数例２求函数的二阶偏导数.

如果二元函数z=f(x,y)的二阶混合偏导数在区域内连续，则在该区域内有

.第三节偏导数与全微分

三、全微分如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处的偏导数存在，函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分记为与一元函数一样，由于Δx=dx,Δy=dy，函数z=f(x,y)的全微分也可写为例３求函数的全微分.第三节偏导数与全微分

四、全微分在近似计算中的应用设二元函数z=f(x,y)的偏导数fx(x,y),fy(x,y)在点(x0,y0)处连续，当自变量的改变量分别为Δx,Δy时，函数的改变量Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)-f(x0,y0).当都很小时，有或例４计算(1.03)2.02的近似值.第三节偏导数与全微分

五、二元函数的极值与最值对于二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)左右附近内的所有点，若总有f(x,y)<f(x0,y0)((x,y)≠(x0,y0))，则称f(x0,y0)为函数f(x,y)的极大值；若总有f(x,y)>f(x0,y0)((x,y)≠(x0,y0))，则称f(x0,y0)为函数f(x,y)的极小值.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，(x0,y0)称为函数的极值点.如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处有极值，那么．或中至少有一个不存在.使函数z=f(x,y)一阶偏导数同时为零的点，称为驻点.可导二元函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点.第三节偏导数与全微分

五、二元函数的极值与最值判定方法：如果函数f(x,y)在点(x0,y0)的某一领域内有连续的二阶偏导数，且(x0,y0)为驻点，若记，则（1）当B2-AC<0且A>0时，函数f(x,y)在点(x0,y0)处有极小值f(x0,y0)，当B2-AC<0且A<0时，函数f(x,y)在点(x0,y0)处有极大值f(x0,y0)；（2）当B2-AC>0时，函数f(x,y)在点(x0,y0)处无极值；（3）当B2-AC=0时，函数f(x,y)在点(x0,y0)处极值不确定，需另做讨论.第三节偏导数与全微分

五、二元函数的极值与最值解因为解方程组，得驻点(3,2),(3,-2).在驻点(3,2)处因A=-2,B=0,C=12且B2-AC=24>0，所以点(3,2)不是极值点；在驻点(3,-2)处因A=-2,B=0,C=-12且B2-AC=-24<0且A<0，所以点(3,-2)是极大值点，极大值为f(3,-2)=30.例５求函数f(x,y)=y3-x2+6x-12y+5的极值.第四节不定积分

一、原函数已知函数F(x)在某区间上可导，且F′(x)=f(x)，则称函数F(x)为f(x)在该区间上的一个原函数.例如在-∞,+∞内，因为(x2)′=2x，所以x2是2x的一个原函数.又因为(x2+C)′=2x(C为任意常数)，所以函数2x在-∞,+∞内有无穷多个原函数，且这些原函数之间仅相差一个常数.如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，则函数F(x)+C（C为任意常数）是f(x)的全体原函数，显然(F(x)+C)′=f(x).第四节不定积分

二、不定积分的概念函数f(x)在区间上的全体原函数F(x)+C称为f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx=F(x)+C.其中∫称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数.由此可知，求已知函数的不定积分，就归结为求它的一个原函数问题.例１

求.第四节不定积分不定积分的几何意义：设F(x)是f(x)的一个原函数，则曲线y=F(x)称为被积函数f(x)的一条积分曲线，于是不定积分y=∫f(x)dx=F(x)+C表示一族积分曲线，称为积分曲线族，它是由其中任何一条曲线沿y轴上下移动而得到的.如图1-6所示.

二、不定积分的概念第四节不定积分

三、不定积分的运算1．计算不定积分的基本公式第四节不定积分

三、不定积分的运算2．不定积分的性质与法则第四节不定积分

三、不定积分的运算3．运算方法（1）直接积分法利用基本积分公式和不定积分的性质，通过对被积函数作适当代数或三角恒等变形，可求简单函数的不定积分称为直接积分法.例２求不定积分.例３求不定积分.例４求不定积分

.解解解第四节不定积分

三、不定积分的运算3．运算方法（2）第一类换元法（凑微分法）设Fu是fu的一个原函数，则F′u=fu,∫fudu=Fu+C.如果u是x的函数u=φx，且φx可微，那么，由复合函数微分法有即有这个计算方法称为第一类换元法（凑微分法）.第四节不定积分

三、不定积分的运算例５求不定积分∫（3x-1）20dx.解令φ(x)=3x-1,φ′(x)=3，u=3x-1，于是原式=1/3∫(3x-1)20·3dx

=1/3∫(3x-1)20d(3x-1)(凑微分)

=1/3∫u20du(换元)

=1/3×1/21·u21+C(用公式)

=1/63(3x-1)21+C.(还原)熟悉了凑微分的方法后，可在运算过程中省略换元和还原步骤，直接求得结果.即此时积分变量是中间变量u=φ(x).第四节不定积分

三、不定积分的运算（3）第二类换元法（变量代换法）令x=φ(t)，则∫f(x)dx=∫f［φ(t)］dφ(t)=∫f［φ(t)］φ′(t)dt，直接求积分即可.为计算方便，常令t=φ-1(x).根式代换：被积函数中含有

的不定积分，令

，即作变换

.例7求不定积分.第四节不定积分

三、不定积分的运算（3）第二类换元法（变量代换法）

三角代换：被积函数中含有二次根式

的不定积分，即分别设例8求不定积分.第四节不定积分

三、不定积分的运算

（4）分部积分法

设函数u=u(x)和v=v(x)有连续导数，根据乘积求导公式(uv)′=u′v+uv′，则有分部积分公式

或

，分部积分的计算的关键是恰当地选择函数u=u(x),v=vx.例9求不定积分.（幂三选幂）例10求不定积分.（幂指选幂）第五节定积分

一、定积分的概念1．定义设函数f(x)在区间[a,b]上有界，在[a,b]内任意插入n-1个分点x1,x2,…,xn-1，且并记，任取，作和

，

记，如果极限存在，且此极限值与对[a,b]的分法及点ξi的取法无关，则称函数f(x)在区间[a,b]上是可积的，并称此极限值为函数f(x)在[a,b]区间上的定积分，记作.即这时称函数f(x)在区间[a,b]上可积，其中[a,b]称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限，其他与不定积分相同.注意1．定积分是和式的极限，它是一个数，与不定积分不同.2．定积分的值只与被积函数f(x)和积分区间[a,b]有关，而与积分变量的记号无关，即第五节定积分

一、定积分的概念2．曲边梯形所谓曲边梯形是指由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b(a<b)与x轴所围成的图形.如图1-7，其中（乙）、（丙）是直线x=a，x=b中一条或两条退缩为一点的特殊情形，同样视为曲边梯形.用曲边梯形的面积来解释定积分的几何意义.第五节定积分

一、定积分的概念2．曲边梯形求曲边梯形的面积可按下列步骤进行：

（1）分割：如图1-８所示，曲边梯形的面积为

（2）取近似：如图1-9所示，曲边梯形的面积即

（3）求和：曲边梯形面积S的近似值

（4）取极限：曲边梯形AabB的面积即

定积分

的几何意义：

——表示由曲线y=f(x)、直线x=a、x=b及x轴所围成的平面图形面积的代数和.第五节定积分

二、定积分的性质第五节定积分

二、定积分的性质第五节定积分

三、微积分基本定理1．积分上限函数及其导数已知函数f(x)在区间[a,b]上连续，x是[a,b]上的任意一点，则f(x)在区间[a，x]上也连续，从而

一定存在，这时对任意x∈[a，b]，都有唯一确定的

与之对应，因此

是定义于区间[a，b]上的函数，称为积分上限函数，记作Φ(x)，即

若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分上限函数Φ(x)在a，b可导，其导数为2．牛顿—莱布尼茨公式设函数f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则第五节定积分

三、微积分基本定理例2

计算.例4

计算.第五节定积分

四、广义积分当积分区间为无穷区间或被积函数为无界函数的积分运算称为广义积分.1．无穷限的广义积分设函数f(x)在区间[a,+∞]内连续，取实数b>a，如果

存在，则此极限值叫做函数f(x)在[a,+∞]上的广义积分，记作.即若此极限值存在，则称广义积分收敛，否则称广义积分发散.类似地此时与都收敛（c为任意常数）.第五节定积分

四、广义积分例５

计算.例６

计算.第五节定积分

四、广义积分2．无界函数的广义积分设函数f(x)在区间(a,b]上连续，且

，取ε＞0，如果存在，则此极限值称为函数f(x)在区间[a,b]上的广义积分（或瑕积分），记作.即若此极限值存在则称广义积分收敛，否则称广义积分发散.例7

计算.第五节定积分

五、平面图形的面积

1．由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形，由定积分的几何意义知其面积可表示为

，如图1-10、1-11、1-12所示.

第五节定积分

五、平面图形的面积

2．由曲线x=φ(y)，直线y=c，y=d及y轴所围成的平面图形,由定积分的几何意义知其面积可表示为.如图1-13所示.

3．由曲线y=f(x)，y=g(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的平面图形面积为如图1-14、1-15所示.第五节定积分

五、平面图形的面积

4．由曲线x=φ(y)，x=ψ(y)，直线y=c，y=d及y轴所围成的平面图形的面积为.如图1-16所示.例8求由曲线y=ex，直线x=0，x=1及y=0轴所围成的平面图形的面积.解（1）作图1-17.（2）求交点确定x,y的变化范围，由得交点(0，1)，(1，e).

（3）取x为积分变量，第五节定积分

六、旋转体的体积所谓旋转体就是平面上的一条封闭曲线绕此平面上的一条定直线旋转一周而形成的几何体.其中定直线叫旋转轴，旋转体的截面是圆，可求其面积.

1．已知y=f(x)是区间[a,b]上的连续曲线，曲边梯形AabB(如图1-19所示)绕x轴旋转一周形成一个旋转体，其体积记为Vx.任取[a,b]上的一点x，过此点作垂直于x轴的平面，所得截面的面积为

，则第五节定积分

六、旋转体的体积所谓旋转体就是平面上的一条封闭曲线绕此平面上的一条定直线旋转一周而形成的几何体.其中定直线叫旋转轴，旋转体的截面是圆，可求其面积.

2．已知x=g(y)是区间[c,d]上的连续曲线，曲边梯形AcdB(如图1-20所示)绕y轴旋转一周形成一个旋转体，其体积记为Vy.任取[c,d]上的一点y，过此点作垂直于y轴的平面，所得截面的面积为

，则第五节定积分

六、旋转体的体积解如图1-21所示，积分变量x的变化区间为[0,1]，此处f(x)=x2，则体积例10

求由y=x2及x=1，y=0所围成的平面图形绕x轴旋转一周形成的旋转体的体积.解如图1-22所示，积分变量y的变化区间为0,8，此处

.则体积例11

求由y=x3及y=8及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周形成的旋转体的体积.第六节数学实验

一、导数1．函数求导命令：diff（f）；2．求n阶导数命令：diff（f,n）；3．求偏导数：diff（f,x），diff（f,y）；4．求n阶偏导数：diff（f,x,n）.5．隐函数求导例1求y=x3+sinx的导数.输入：symsx

diff(x^3+sin(x))执行以后得到：ans=3*x^2+cos(x)或者可以输入：symsx

y=x^3+sin(x)

diff(y);执行以后得到：ans=3*x^2+cos(x)再输入：diff（y,10）执行以后得到：ans=-sin(x)输入：symsxy

z=(1+x*y)^y;

diff(z,x)

diff(z,y)输出：ans=(1+x*y)^y*y^2/(1+x*y)ans=(1+x*y)^y*(log(1+x*y)+y*x/(1+x*y))例２

.输入：symsxy

Z=2*x^2-2*x*y+x+2*y+1;

Daoshu=-diff(z,x)/diff(z,y)输出：Daoshu=(-4*x+2*y-1)/(-2*x+2)例3求由方程2x2-2xy+y2+x+2y+1=0确定的隐函数的导数.第六节数学实验

二、不定积分与积分1．函数积分命令：int（f）%求函数f关于syms定义的符号变量的不定积分；2．函数积分命令：int（f,v）%求函数f关于变量v的不定积分；3．函数积分命令：int（f,a,b）%求函数f关于syms定义的符号变量从a到b的定积分；4．函数积分命令：int（f,v,a,b）%求函数f关于变量v从a到b的定积分；5．定积分近似值：guad(＇f＇,a,b)%求定积分的近似值.输入：symsx

int(＇atan(x)*x^2＇,x)输出：ans=1/3*x^3*atan(x)-1/6*x^2+1/6*log(x^2+1)输入：symsx

f=abs(x-2);

y=int(f,0,4)输出：y=4例4

求.例5求

.第六节数学实验

三、函数最值输入：symsx

f=’x/(1+x.^2)’;

[xmin,ymin]=fminbnd(f,-10,10)输出：

xmin=-1.0000

ymin=-0.5000表明x=-1是最小值点，最小值是-0.5000.接下来将求最大值的问题转换成求最小值，再输入：

f1=’-x/(1+x.^2)’;

[xmax,ymax]=fminbnd(f1,-10,10)输出为：

xmax=1.0000

ymax=-0.5000注意f=-f1,所以x=1是最大值点，最大值是-（-0.5000）=0.5000.函数的最小值：[x,y]=fminbnd(f,x1,x2)%求函数f在（x1,x2）上的最小值.若要求函数f(x)的最大值，只需求-f(x)的最小值即可.例6求函数的最值.目录第二章微积方程

►第一节微分方程的基本概念

►第二节一阶微分方程

►第三节几种二阶微分方程

►第四节数学实验

第一节微分方程的基本概念像方程y′=2x或dydx=2x，含有自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程，就称为微分方程.未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.

注意：微分方程中，未知函数和自变量可以不出现，但未知函数的导数（或微分）必须出现.微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数，称为微分方程的阶.例如：方程y′=2x是一阶微分方程；y″+4y=2x是二阶微分方程；y(4)+2y5-3y′′′=sinx是四阶微分方程.一般地，n阶微分方程的形式是其中x为自变量，y为未知函数，且y(n)一定要出现.例1某曲线通过点1,3，且在该曲线上任意点M（x,y）处的切线斜率为2x，求该曲线方程.

解设所求曲线方程为y=f(x)，根据导数的几何意义有y′=2x或

.

第一节微分方程的基本概念建立微分方程，重要的是要找出变量之间的函数关系，所以需要求解微分方程.在方程y′=2x或

中，对方程两端同时求积分，可得y=x2+C，其中C为任意常数.当C为某一个确定的值时，就得到一个确定的函数，将这个函数代入微分方程后，方程两端恒等，称此函数为该微分方程的解.方程y=x2+C是由积分所得到的曲线族，是此微分方程的全部解，如果微分方程的解中所含相互独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则此解称为该微分方程的通解.通解中应包含的任意常数的个数等于微分方程的阶数.为确定通解中任意常数所给的附加条件，叫做初始条件.确定了通解中任意常数后的解，称为微分方程的特解.例如x=1，y=3是初始条件，y=x2+c是y′=2x的通解，而y=x2+2是y′=2x的特解.第二节一阶微分方程

一、可分离变量的一阶微分方程

一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y′)=0，其中，x为自变量，y为未知函数，y′为y对x的一阶导数.下面讨论几种特殊情况.形如的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程.将上式两端同时积分，得通解第二节一阶微分方程

解

(1)建立微分方程：依题意，当S=I时，有

;

(2)求微分方程的通解：分离变量，,两边同时积分，

，解得通解，;

(3)求微分方程的特解：将初始条件t=0时，y=5代入通解，得C=5，于是国民收入函数为

，而储蓄函数和投资函数为.第二节一阶微分方程在实际问题中，有些不是可分离变量的微分方程，但可经过变换将其化为可分离变量的方程.形如

的一阶微分方程，称为齐次微分方程.例如，

二、齐次微分方程第二节一阶微分方程齐次微分方程的解法是通过引进变量，使之化为可分离变量的微分方程，然后求解.具体求解步骤：

1．令，则y=xu，两边分别对x求导，得，

2．

3．分离变量为，

4．两边同时积分得，即，则齐次微分方程的通解为最后将回代整理.

二、齐次微分方程第二节一阶微分方程例4求微分方程

的通解.注意：如果函数中每一项关于x和y的指数和均相等，则必为齐次微分方程.第二节一阶微分方程

三、一阶线性微分方程形如的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中Px、Q(x)都是连续函数.当Q(x)≡0时有，称为所对应的一阶线性齐次微分方程.当Q(x)≠0时，称为一阶线性非齐次微分方程.第二节一阶微分方程1．一阶线性齐次微分方程的通解

三、一阶线性微分方程一阶线性齐次微分方程y′+P(x)y=0是可分离变量方程，分离变量得两边积分后得通解公式为（C为任意常数）.解这是一阶线性齐次微分方程，而

，代入通解公式得

（C为任意常数）.例5求微分方程

的通解.第二节一阶微分方程1．一阶线性非齐次微分方程的通解

三、一阶线性微分方程一阶线性非齐次微分方程的通解与对应的一阶线性齐次微分方程的通解密切相关，若y′+P(x)y=0的通解，则y′+P(x)y=Q(x)的通解公式为此公式是通过常数变易法推得的.不难看出上述通解公式可整理为，即一阶线性非齐次微分方程y′+P(x)y=Q(x)的通解还可表示为对应一阶线性齐次微分方程的通解与其自身的一个特解之和.第二节一阶微分方程解例6求微分方程

的通解.第二节一阶微分方程例7求微分方程

满足

的特解.解第三节几种二阶微分方程

一、最简单的二阶微分方程

二阶微分方程的一般形式为

，这里仅介绍几种最简单的、经过适当变换可将二阶降为一阶的微分方程.形如y″=f(x)的微分方程，是最简单的一种二阶微分方程.只要将y″=f(x)通过二次积分即可得到通解.

第一次积分得,

第二次积分得(C1，C2为任意常数).例1求微分方程

的通解.

解积分一次得再积分一次得通解（

C1，C2为任意常数）.

二、不显含未知函数y的二阶微分方程形如的微分方程称为不显含未知函数y的二阶微分方程.令y′=p,则y″=p′，代入y″=f(x,y′)变形为p′=f(x,p)，设其通解为，而，因此得到一个一阶微分方程，对其积分得的通解为第三节几种二阶微分方程例2求微分方程

的通解.

二、不显含未知函数y的二阶微分方程第三节几种二阶微分方程

三、不显含自变量x的二阶微分方程形如的微分方程称为不显含自变量x的二阶微分方程.令y′=p，而为对y的导数，这样原方程就降为以p为未知函数y为自变量的一阶微分方程：，设方程的通解为：，分离变量后积分，便得原方程的通解为第三节几种二阶微分方程例3求微分方程

的通解.

三、不显含自变量x的二阶微分方程第三节几种二阶微分方程第四节数学实验例1求微分方程

的通解.求微分方程命令：dsolve(’eq1,eq2,…’,’cond1，cond2,…’,’v’)

%’eq1,eq2,…’表示常微分方程（组），’cond1，cond2,…’表示初始条件.在常微分方程中大写字母D表示对自变量的微分，即D=d/dt，D2=d^2/dt^2，….输入：dsolve(’x*Dy+y-exp(-x)=0’,’y(1)=2’,’x’)输出：ans=(-exp(-x)+exp(-1)+2exp(1))/x

输入：dsolve(’Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)’,’x’)输出：ans=(1/2*x^2+C1)*exp(-x^2)例2求微分方程

在初始

条件

下的特解.目录第三章矩阵与线性方程组

►第一节矩阵的概念及常用矩阵

►第二节矩阵的运算及性质

►第三节逆矩阵及矩阵的秩

►第四节线性方程组

►第五节数学实验第一节矩阵的概念及常用矩阵矩阵就是一张矩形数表，它可以多方位地反映研究对象的状态及相互关联的数量信息。

一、矩阵的概念某商场在一天内售出的家用电器如下表3-1：第一节矩阵的概念及常用矩阵

一、矩阵的概念取其表中之数，按原顺序排成数表该数表反映了商场一天内的销售情况。又如，在线性方程组第一节矩阵的概念及常用矩阵

一、矩阵的概念其中，未知数的系数和常数项可以排成一个m行n列数表由于该表由方程组唯一地确定，故该表可代表此方程组。类似的问题还有火车时刻表、生产活动中的各种报表等。由于表中的数据是人们所关心的，也是最为重要的，所以当只考虑表中数据，保持其位置不变时就可以简化成下面的形式，数学上把这种具有一定排列规则的矩形阵表称为矩阵。第一节矩阵的概念及常用矩阵

一、矩阵的概念

定义1

将个数

排成m行n列的矩形数表，称为m行n列矩阵，简称

矩阵，记作

其中称为矩阵中位于第i行第j列的元素，下标i

是行标，下标j是列标。一般常用大写英文字母表示矩阵。或记为等等。第一节矩阵的概念及常用矩阵

二、常用矩阵

对于行标、列标及元素的不同取值分别有如下常用矩阵：

只有一行（即m=1）的矩称为行矩阵，如

只有一列（即n=1）的矩阵称为列矩阵，如

如果矩阵的行的数目与列的数目相等，则称此矩阵为方阵，有n行n列的矩阵称为n

阶方阵。一阶方阵就是单独一个数，例如

等等。第一节矩阵的概念及常用矩阵

二、常用矩阵

设A为n阶方阵，从A的左上角元素

沿到达的n个元素组成A的主对角线；若除主对角线上的元素不全为零外，其余的元素全都为零的方阵称为对角矩阵，对角矩阵的一般形式是

主对角线下（上）方元素全为零的方阵称为上（下）三角矩阵；第一节矩阵的概念及常用矩阵

二、常用矩阵

方阵中当主对角线上的元素皆为1，其余元素皆为零时称为单位矩阵，记作。单位矩阵中主对角线上的元素均为常数k（k≠1）时得到的矩阵称为数量矩阵；

要注意有各种阶数不同的单位矩阵，不同阶的单位矩阵是不同的矩阵。必要时，将n阶单位方阵记作

当矩阵中的所有元素均为零时称矩阵为零矩阵，记作O。第一节矩阵的概念及常用矩阵

二、常用矩阵

将矩阵A的行与列互换，得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作如果两个同阶矩阵的对应元素均为互反数，则称其中一个是另一个的负矩阵。A的负矩阵记作-A，则第一节矩阵的概念及常用矩阵

二、常用矩阵

对于方阵若满足，则称A为反对称矩阵，如；反对称矩阵为例如为行阵；为列阵；为三阶单位阵；为数量矩阵；为对角矩阵；为上三角矩阵；第一节矩阵的概念及常用矩阵

二、常用矩阵

的转置矩阵为。的负矩阵为第二节矩阵的运算及性质

一、矩阵的运算1、矩阵相等：若矩阵A、B的行数、列数相同，且对应位置上的元素皆相等，则A矩阵等于B矩阵，记作A=B。对于方阵A若满足，则A为对称矩阵，如。2、矩阵与矩阵的加（减）法运算：将两个m行n列矩阵和对应位置的元素相加（减）得到的m行n列矩阵为矩阵A与矩阵B的和（差），记作

。即简记为。第二节矩阵的运算及性质

一、矩阵的运算

3、数与矩阵的乘法运算：用数k乘A矩阵的每一个元素所得到的矩阵为数乘矩阵，记作kA。即

简记为。

4、矩阵与矩阵的乘法：对于矩阵，和，当是矩阵A的第行元素与B矩阵的第列元素对应位置乘积之和，即时，矩阵C

为矩阵A

与矩阵B的乘积，记作。第二节矩阵的运算及性质

一、矩阵的运算（2）两个矩阵可以相乘时，将第一个矩阵A

的第行与第二个矩阵B的第列的元素对应相乘所得的积相加之和，作为乘积的第元素。（3）两个矩阵可以相乘时，乘积是个矩阵：乘积矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于第二个矩阵的列数。特别，两个同阶方阵之积仍为同阶方阵。（4）两个矩阵可以相乘时，乘法一般不满足交换律，即AB≠BA。所以做矩阵乘法运算时，要分清A左乘B或A右乘B；（5）两个非零矩阵相乘可以是零矩阵，即A≠0,B≠0,可得AB≠0；（6）矩阵乘法一般不满足消去律，即不能由AC=BC消去C,推出A=B；（7）对于，有。特别地当A为方阵时，我们将称为方阵A的幂。对于乘法运算定义，我们应该注意以下几点：

（1）两个矩阵可以相乘，当且仅当第一个矩阵A的列数与第二个矩阵B的行数相等。AB=C才有意义；特别，两个同阶的方阵可以相乘。第二节矩阵的运算及性质

二、矩阵的性质

1、矩阵加减法：（1）交换律（2）结合律（3）（4）2、矩阵数乘：（1）结合律（2）分配律，.3、矩阵与矩阵乘法：（1）结合律，（2）分配律、4、矩阵转置：（1）（2）（3）（4）5、幂矩阵：（1）；（2）。第二节矩阵的运算及性质

二、矩阵的性质

例1

已知矩阵，矩阵，求、。解第二节矩阵的运算及性质

二、矩阵的性质

例2

解因为矩阵B的列数为3，矩阵A的行数为2，所以BA无意义。第二节矩阵的运算及性质

二、矩阵的性质

例3

解

此时AC=BC，但A≠B。

例4

解

即两个非零矩阵相乘可以是零矩阵。第二节矩阵的运算及性质

二、矩阵的性质

例5已知。解

例6设,求解

所以第三节逆矩阵及矩阵的秩

一、矩阵的初等变换

定义2

矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等变换。

(1)矩阵的两行（列）互换位置，记作（）；(2)用一个非零的常数乘矩阵的某一行（列），记作（）；(3)将矩阵的某一行（列）乘以常数后加到另一行（列），记作（）。仅对矩阵的行施行初等变换，称为矩阵的初等行变换；仅对矩阵的列施行初等变换，称为矩阵的初等列变换，它们统称为矩阵的初等变换。利用初等变换可以改变矩阵的形状，经过初等变换后所得到的矩阵与原矩阵用“→”或“～”连接。例如

第三节逆矩阵及矩阵的秩

二、用行初等变换化矩阵为阶梯形