概率论与数理统计PPT全套完整教学课件

概率论与数理统计在经济、科技、教育、管理和军事等方面已得到广泛应用。概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科，是重要的一个数学分支。概率论与数理统计

已成为高等工科院校教学计划中一门重要的公共基础课。通过本课程的学习，使学生掌握处理随机现象的基本理论和方法，并且具备一定的分析问题和解决实际问题的能力。课程简介前言概率论是研究偶然、随机现象的规律性的数学理论，产生于17世纪中叶。概率论发展初期，主要是从讨论赌博问题开始的。16世纪的意大利学者吉罗拉莫·卡尔达诺（GirolamoCardano）研究了掷骰子等赌博中的一些简单问题。到了17世纪中叶，法国宫廷贵族中间盛行掷骰子游戏。据说，1654年左右，爱好赌博的法国人梅雷写信向帕斯卡（B.Paseal）请教了著名的“点数问题”或“赌金分配问题”。帕斯卡和费马（P.deFermat）在通信中讨论了点数问题及其他问题。他们把这些日常赌博问题变成了真正的数学问题，用排列组合理论得出正确解答，并提出了数学期望的这一核心概念。现在，大家公认他们二人是概率论的共同创立者。

随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发展。真正使概率论作为一门独立数学分支的莫基人是雅各布·伯努利（JacobBernoulli）。他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，证明了随着试验次数的增加，某一事件出现的频率会越来越接近该事件的概率。其意义在于揭示了因偶然性的作用而呈现的杂乱无章现象中的一种规律性。随后棣莫弗和拉普拉斯又导出了第二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了概率论专著，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，从而将概率论推向一个新的发展阶段。如何定义概率，如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，是概率理论发展的困难所在，对这一问题的探索一直持续了3个世纪。苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年在他的《概率论基础》一书中第一次给出了概率的定义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支，对概率论的迅速发展起了积极的作用。现在，概率与统计的方法日益渗透到各个领域，并广泛应用于自然科学、经济学、医学、金融保险甚至人文科学中。第1章概率论的基本概念§1.1随机事件§1.2随机事件间的关系运算§1.3随机事件的概率§1.4条件概率§1.5事件的独立性基本要求：了解随机现象、随机试验、样本空间、事件的相互独立性等基本概念，掌握古典概率、条件概率的计算。重点：古典概率的计算难点：条件概率的计算§1.1随机事件随机现象随机试验样本空间随机事件1.随机现象在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象

“太阳总是从东边升起”“水往低处流”实例确定性现象的特征

条件完全决定结果我们事先知道每次试验所有可能出现的结果。但每次的结果呈现出不确定性，而在大量重复试验中，其结果呈现出一种统计规律性的现象

随机现象

实例

“在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察结果有可能出现正面也可能出现反面的情况”。“抛掷一枚骰子，观察出现的点数结果有可能为:1,2,3,4,5或6

”。

2.随机试验

在我们所生活的世界上，充满了不确定性

随机现象是通过随机试验来研究的。问题

什么是随机试验？如何来研究随机现象?随机试验（E，Randomexperiment）：具有以下三个特征的试验：（1）可以在相同的条件下重复地进行;（2）每次试验有多种可能结果，并且能知道试验的所有可能结果;（3）进行一次试验之前不能语言哪一个结果会出现。E1:在一定的条件下进行射击练习，考虑中靶的环数；E2:抛一枚硬币，

观察出现的面；E3:记录某汽车站某时段内候车的人数；E4:测试某种灯泡的寿命；E5:记录电话交换台在单位时间内受到的呼唤次数；E6:抛掷一颗均匀的骰子出现的点数。3.

样本空间（Samplespace）:

随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为随机试验E的样本空间。用Ω表示。样本点（Sample,Outcome）：样本空间中的每个元素，即试验的每个结果。记为ω。

例如E2和E6的样本空间分别为Ω2={正面，反面}和Ω6={1，2，3，4，5，6}。特别地，E的必然事件就是其样本空间Ω自身，E的不可能事件记为,它对应着空集4.随机事件（事件，Event）：试验E的样本空间Ω的子集。常用A、B、C等表示。注意：一旦做试验，就会出现一个结果，即有一个样本点出现。

复合事件由多个样本点构成的集合基本事件当且仅当A中的一个样本点出现

必然事件每次试验后必有Ω中的一个样本点出现不可能事件空集Ø不包含任何样本点，显然在每次试验中都不会发生§1.2随机事件间的关系运算1.2.1事件间的关系和运算1.包含关系ΩAB如果A发生必导致B发生，则相等关系

包含关系的传递性ØA，若AB，BC，则AC。AB2.和（并）事件（或）事件发生当且仅当A、B至少发生一个.Ω3.积（交）事件AB事件发生当且仅当

A、B

同时发生.Ω4.差事件ABAAB

发生当且仅当A

发生B

不发生.ΩΩ5.互斥关系（互不相容）6.对立（逆）事件ABA请注意互不相容与对立事件的区别！ΩΩΩ1.2.1事件间的关系和运算的性质分配律:交换律:

结合律:对偶律:运算顺序：逆交并差，括号优先。【例1】将两颗均匀的骰子各掷一次，若以(x,y)表示其结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数，则样本空间为Ω={(x,y):x,y=1,2,3,4,5,6}若以A，B，C，D分别表示事件“点数之和等于2”、“点数之和等于5”、“点数之和超过9”，“点数之和不小于4也不超过6”。

试写出事件A,B,C,D包含的结果。【解】A={(1,1)}；B={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}；C={(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)};D={(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1)}【例2】设A，B，C为三个随机事件，试表示以下事件：(1)A，B，C都发生；(2)A，B发生但C不发生；(3)A，B，C都不发生；(4)A，B，C中至少有一个发生.【解】(1)A,B,C都发生可表示为ABC；(2)A,B发生但C不发生可表示为ABC=AB-C；(3)A,B,C都不发生可表示为ABC；(4)A,B,C中至少有一个发生可表示A∪B∪C.§1.3随机事件的概率频率（Frequency）：描述n次试验中事件发生的频繁程度概率：表征事件在一次试验中发生的可能性大小从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能性的大小，用P(A)表示。?P(A)应具有何种性质？1.3.1概率的古典定义古典概率模型简称古典概型，通常是指具有下列两个特征的随机试验模型。随机试验只有有限个可能的结果，即有限个样本点(有限性)；(2)每一个样本点发生的可能性相等(等可能性)。古典概型又称为等可能性概型。在概率论产生和发展的过程中，它是最早的研究对象，在实际应用中它也是最常用的一种概率模型。对于古典概型，以Ω={ω1,…,ωn}表示样本空间，ωi(i=1,2,…,n)表示样本点，对于任一随机事件A={ωi1,…,ωin},下面给出古典概型的定义。定义1.1(概率的古典概型定义)对于给定的古典概型，若样本空间中有n个样本点，事件A含有m个样本点，则事件A的概率为性质1.1(古典概率的性质)对于任意事件A，0≤P(A)≤1；(2)P(Ω)=1,P(Ø)=0；(3)若A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)【例1】某种产品共有30件，其中含正品23件，次品7件，从中任取5件.试求被取出的5件中恰好有2件是次品的概率.【解】设A=“被取出的5件中恰好有2件是次品”.由题设“从中任取5件”应理解为“一次取出5件”，故样本点总数.事件A包含的样本点数,则所求概率为【例2】一批同类产品共N件，其中次品M件.现从中随机抽取n件(取后不放回)，问这n件中恰有k(k≤M)件次品的概率是多少？【解】设A={恰取到k件次品}，由于A并不涉及抽取产品的次序，故可将试验设想成从N件编上号的产品中一次取出n件,每一种取法构成一个基本事件，总共有

种取法,A发生意味着取到k件次品和n-k件正品，k件次品和n-k件正品的取法分别为及

种.由乘法原理，构成A的基本事件数为,故【例3】某口袋中有6只球，其中4只白球，2只红球，从袋中取球两次，每次随机地取一只.考虑两种取球方式.①第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球,这种取球方式叫做有放回取球.②第一次取一只球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一只球,这种取球方式叫做无放回取球.试分别就上面两种情况求：(1)取到的两只球都是白球的概率；(2)取到的两只球颜色相同的概率.【解】(1)令A1表示事件“取到的两只球都是白球”，则有放回取球：P(A1)=无放回取球：P(A1)=

(2)令A2表示事件“取到的两只球颜色相同”，则有放回取球：P(A2)=无放回取球：P(A2)=【例4】袋中有a只白球、b只红球，依次将球一只只摸出，不放回.求第k次摸到白球的概率(1≤k≤a+b).【解】设A={第k次摸到白球}，由于并不关心第k次以后的取球结果，可设想将球编号，一只只抽取直至取出第k只球为止.则基本事件总数是从a+b只编上号的球中选出k只球进行排列的排列种数，即,A发生意味着第k次取到白球.此白球可能是a只白球中的任一只；而前k-1次取的球则可能是除此白球之外的其余a+b-1只中的任k-1只，故由乘法原理得，m=.所以对本题也可给出另一种解法.设想将a+b只球编上号，每次试验将a+b只球逐一摸出并依次排列在a+b个位置上，则基本事件总数为n=(a+b)!,kA=·(a+b-1)!,故有注意到P(A)与k无关，即无论第几次摸球，摸到白球的概率都是.这一结果表明抽签、摸彩与先后次序无关，机会是均等的.【例5】有n个人，每个人都以同样的概率1/N被分配在N(n≤N)间房中的任一间中，试求下列各事件的概率：(1)某指定的n间房中各有一人；(2)恰有n间房，其中各有一人；(3)某指定的一间房中恰有m(m≤n)人.【解】先求样本空间中所含样本点的个数.首先，把n个人分到N间房中去共有Nn种分法；其次，求每种情形下事件所含的样本点个数.某指定的n间房中各有一人，所含样本点的

个数，即可能的分法为n!；(2)恰有n间房中各有一人，所有可能的分法为•n!；(3)某指定的一间房中恰有m人，可能的分法为.于是可以得到三种情形下事件的概率分别如下：(1)(2)(3)在上述分房问题中，若令N=365，n=30,m=2则可演化为生日问题.全班有学生30人，求下列事件的概率：(1)某月指定为30天，每位学生生日各占一天；(2)全班学生生日各不相同；(3)全年某天，恰有两个学生同一天出生.利用上述结论可得到概率分别如下：(1)(2)(3)1.3.2概率的统计定义定义1.2(频率的定义)若在同一条件组下将试验E重复N次，事件A发生了m次，则称比值m/N为事件A在N次重复试验中发生的频率，记为fN(A),即定义1.3(概率的统计定义)在观察某一随机事件A的随机试验中，随着试验次数n的增大，事件A发生的频率fn(A)会越来越稳定地在某一常数p附近摆动，这时就以常数p作为事件A的概率，并称其为统计概率，记作：P(A)=p由频率和概率的统计定义，可以得到统计概率的性质：（1）非负性：0≤P(A)≤1;（2）规范性：P(Ω)=1；（3）有限可加性：若事件A1，A2,…,An互不相容，则【例6】某市卫生管理部门对该市60岁以上老人患高血压的情况进行调查，从4个区各分别调查了80人，90人，100人，100人，其中患病人数分别为23，27，33，30.试估计该市60岁以上老人高血压的患病率p.【解】以4组调查结果频率的平均值来估计p，结果为1.3.3概率的性质根据随机事件概率的定义，可得到随机事件的概率具有以下性质：性质1P(Ø)=0,即不可能事件的概率为零.证明Ω=Ω+Ø+Ø+Ø+…

P(Ω)=P(Ω)+P(Ø)+P(Ø)+…

因此，P(Ø)=0性质2若A1,A2,…,An是两两互不相容的事件，则证明性质3证明

性质4若BA,则P(A-B)=P(A)-P(B)，且P(B)≤P(A)证明由于A=AB+(A-B)，

所以P(A)=P(AB)+P(A-B)若BA,则AB=B，故P(A-B)=P(A)-P(B)此外，注意到P(A-B)≥0，故在BA下，

有P(B)≤P(A)性质5对于任意事件A、B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).证明A∪B=A∪(B-AB),且A(B-AB)=Ø，则P(A∪B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)【例7】设有100件产品，其中有95件合格品，5件次品,从中任取5件，试求其中至少有一件次品的概率.【解法1】设Ak表示“5件产品中有k件次品”，这里k=0,1,2,3,4,5;A表示“其中至少有一件次品”，则,且A1，A2，…，A5互不相容，

于是，由性质2可得【解法2】事件A比较复杂，而其对立事件则比较简单，且于是，由性质3可得第2种解法显示了对立事件概率的性质在计算事件概率时的作用.一般地，当所要求概率的事件较复杂时，常常考虑先求出其对立事件的概率.【例8】袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地取三次，求“取到的三球里没有红球或没有黄球”的概率.【解】设A={没有红球}，B={没有黄球}，C={没有红球或没有黄球}，则C=A∪B,

故【例9】设事件A，B的概率分别为1/2和1/3，求下列条件下事件AB的概率.(1)AB;(2)P(AB)=14;(3)A,B互斥.【解】(1)因为AB，所以B=B-A,故由概率的性质4有P(B)=P(B-A)=P(B)-P(A)=1/2-1/3=1/6(2)因为B=B-A=B-AB，故由概率的性质4有P(B)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=1/2-1/4=1/4(3)因为A，B互斥，故BB=B,于是P(B)=P(B)=1/2§1.4条件概率1.4.1条件概率在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息（条件）下求事件的概率。如在事件B已经发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B)。一般P(A|B)≠P(A)【例1】考虑有两个孩子家庭(假定男、女出生率相同).设A={一男一女}={(男，女)，(女，男)}；B={至少有一女}={(女，女)，(男，女)，(女，男)}.则Ω={(男，男)，(男，女)，(女，女)，(女，男)}，P(A)=1/2,P(B)=3/4,P(AB)=2/4【解】现在考虑：已知事件B发生的条件下，A发生的概率，则为事件B发生的条件下事件A发生的概率，简称条件概率.条件概率具有以下性质：(1)若A，B为随机事件，且P(B)＞0，则0≤P(A|B)≤1;(2)若P(B)＞0，则P(Ω|B)=1,P(Ø|B)=0;(3)若A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，P(B)＞0，则(4)若P(B)＞0，则P(|B)=1-P(A|B).【例2】设某种动物由出生算起活10年以上的概率为0.9，活20年以上的概率为0.3.现有一只10岁的这种动物，问它能活20岁以上的概率是多少？【解】设A={能活10年以上}，B={能活20年以上}，依题意，P(A)=0.9,P(B)=03.由于BA,所以AB=B.因此P(AB)=P(B)=0.3.于是1.4.2乘法公式若已知P(B)，P(A|B)，也可以求P(AB).这就是概率的乘法公式.定理1.1设P(B)＞0，则有P(AB)=P(B)•P(A|B)(1-1)设P(A)＞0，则有P(AB)=P(A)•P(B|A)(1-2)(1-1)式、(1-2)式称为概率的乘法公式.概率的乘法公式可以推广到任意n个事件的情形.若事件A1，A2，…，An满足P(A1A2…An-1)＞0,则【例3】从含有3只次品的10只产品中无放回地取2次，每次任取一只.(1)求2次都取到正品的概率；(2)求第2次才取到正品的概率.【解】设Ai={第i次取到正品}(i=1,2),B={两次都取到正品}，C={第2次才取到正品}.(1)显然有B=A1A2，依题意有故

(2)“第2次才取到正品”也即“第一次取到次品而第2次取到正品”，即故【例4】设有甲、乙、丙三个小朋友，甲得病的概率是0.05，在甲得病的条件下乙得病的概率是0.40,在甲、乙两人均得病的条件下丙得病的条件概率是0.80，试求甲、乙、丙三人均得病的概率.【解】用A表示“甲得病”，B表示“乙得病”，C表示“丙得病”，则P(A)=0.05,P(B|A)=0.4,P(C|AB)=0.8所求概率为P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=0.05×0.4×0.8=0.0161.4.3全概率公式定理1.2(全概率公式)若A1，A2，…，An(n有限或无限)是两两互不相容的事件，P(Ai)＞0，i=1,2,…,n,事件,则对于事件B，有(1-3)(1-3)式称为全概率公式.证明因为所以且由P(Ai)＞0知P(B|Ai)存在，故由概率的有限可加性及乘法公式，有【例5】有一批产品，其中甲车间占60%，乙车间产品占40%，甲车间产品的合格率是95%，乙车间产品的合格率是90%，求从这批产品中随机抽取一件为合格品的概率.【解】设A=“抽取的一件是甲车间产品”，则A=“抽取的一件是乙车间产品”.又设B=“抽取的一件是合格品”，依题意有由全概率公式得1.4.4贝叶斯公式定理1.3(贝叶斯公式)设A1，A2，…，An(n有限或无限)是两两互不相容的事件，P(Ai)＞0,i=1,2,…,n,事件则有(1-4)(1-4)式称为贝叶斯(Bayes)公式(或逆概率公式，后验概率公式)，它是由英国科学家贝叶斯建立的.P(Ai|B)是在试验得到结果“B发生”后求得的关于Ai的概率，我们称P(Ai)为先验概率，P(Ai|B)为后验概率.贝叶斯公式具有非常广泛的应用.【例6】在例5中，如果从这批产品中随机抽取一件发现是合格品，求这件合格品是甲车间生产的概率.【解】由题意得,要求的概率为P(A|B)，由贝叶斯公式得【例7】四位工人生产同一种零件，产量分别占总产量的35%、30%、20%和15%，且四个人生产产品的不合格率分别为2%、3%、4%和5%.今从这批产品中任取一件，问：(1)它是不合格品的概率；(2)发现是不合格品，它是由第一个人生产的概率.【解】设B=“任取一件产品为不合格品”，Ai=“任取一件产品是第i个人生产的产品”(i=1,2,3,4),则P(A1)=0.35,P(A2)=0.30,P(A3)=0.20,P(A4)=0.15,P(B|A1)=0.02，P(B|A2)=0.03,P(B|A3)=0.04,P(B|A4)=0.05；

于是(1)由全概率公式得(2)由贝叶斯公式得§1.5事件的独立性1.5.1相互独立事件一般情况下，条件概率P(B|A)与P(B)是不同的,但在某些特殊情况下，条件概率P(B|A)等于无条件概率P(B),这时事件B发生与否不影响事件A的概率.这表明事件A与事件B之间存在某种独立性.定义1.5设A与B为两事件，若P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立.由定义1.5，可以推出如下定理和性质成立.定理1.4设A、B为两事件，且P(A)＞0，则A与B相互

独立的充要条件是P(B|A)=P(B).证明设A、B相互独立，即P(AB)=P(A)P(B)，则P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(A)P(B)/P(A)=P(B);反之，设P(B|A)=P(B)，则P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)显然，当P(B)＞0时，定理1.4中的充要条件可改为P(A|B)=P(A).而当P(A)、P(B)至少有一个为零时，由ABA及ABB易知，此时仍有P(AB)=P(A)P(B)成立.这表明，概率为零的事件与任一事件相互独立.性质1.2(1)不可能事件与任何事件独立；(2)若事件A、B相互独立，则A与B，A与B，A与B分别相互独立.证明(1)是显然成立的；(2)由于A=AB+AB则P(A)=P(AB)+P(AB)由A与B的独立性，知P(A)=P(A)P(B)+P(AB)则P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(B)从而A与B相互独立，类似可证明其他结论.下面给出三个事件独立性的定义.定义1.6对于随机事件A1，A2，A3，若下列4个等式成立，则称A1，A2，A3是相互独立的.P(A1A2)=P(A1)P(A2)P(A2A3)=P(A2)P(A3)(1-5)P(A1A3)=P(A1)P(A3)P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)(1-6)若前三个等式成立,即式1-5成立,则称A1,A2,A3是两两独立的.上述三个事件相互独立的定义中要求4个等式同时成立，缺一不可【例1】若有一个均匀正八面体，其1、2、3、4面被染成了红色，1、2、3、5面被染成了白色，1、6、7、8面被染成了黑色，用A，B，C表示投掷一次正八面体出现红、白、黑色的事件，则P(A)=P(B)=P(C)=4/8=1/2P(ABC)=1/8=P(A)P(B)P(C)但P(AB)=3/8≠1/4=P(A)P(B)我们可以将相互独立概念推广到任意n个事件的情形.定义1.7设有n个事件A1，A2，…，An.如果对于任意正整数k(2≤k≤n)以及1≤i1＜i2＜

…

＜ik≤n有P(Ai1Ai2

…

Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)成立，则称事件A1，A2，

…

，An是相互独立的.从定义1.7不难看出，n个事件相互独立的条件十分苛求，=2n-n-1个等式必须同时成立.

而n个事件中两两独立的条件是C2n个式子P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)(i≠j;i,j=1,

…,n)成立.可见由多个事件相互独立可以推出它们两两独立.反之，由多个事件两两独立不一定能推出它们相互独立.【例2】有两门高射炮独立地射击一架敌机，设甲炮击中敌机的概率为0.8，乙炮击中敌机的概率为0.7.试求敌机被击中的概率.【解】设A表示“甲炮击中敌机”，B表示“乙炮击中敌机”，那么敌机被击中这一事件是A∪B.由于A，B相互独立，故P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.8+0.7-0.8×0.7=0.94【例3】加工某一零件共需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%，3%，5%.假定各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率是多少？【解】设A={加工出来的零件为次品}，Ai={第i道工序出次品}(i=1,2,3)，则有A=,且A1，A2，A3相互独立，故有P(A)=P(A1∪A2∪A3)=1-=1-(1-0.02)(1-0.03)(1-0.05)=0.09693【例4】假设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%.混合100个人的血清，试求该血清中含有肝炎病毒的概率.【解】设Ak表示“第k个人血清中含有肝炎病毒”(k=1,2,…,100)，则可以认为诸Ak相互独立，且P(Ak)=0.004(k=1,2,…,100).于是所求概率为1.5.2独立试验序列概型定理1.5设在一次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1),则在n重伯努利试验中A恰好发生k次的概率为证明设Ai(i=1,2,…,n)表示“事件A在第i次试验中发生”，则P(Ai)=p,P(Ai)=1-p=q(i=1,2,

…,n).事件A在其中某k次，如第i1,i2,

…,ik次发生；在其余n-k次，如第j1,j2,

…,jn-k次中不发生的概率为P(Ai1Ai2…Aik

j1

j2…

jn-k)由于诸结果相互独立，所以有又由于事件A发生的k次试验在n次试验中的位置共有

种，每种位置对应的事件互不相容，且由前面的计算知，概率均为,因此事件A在n次试验中出现k次的概率为【例5】电灯泡使用寿命在1000h以上的概率为0.2,试求3个灯泡在使用1000h后，最多有1个损坏的概率.【解】设A表示“灯泡在使用1000h后未损坏”，则P(A)=0.2.P()=0.8.本例可以视为3重伯努利概型(观察一个灯泡可以视为一次试验，每次试验只有两个可能结果：A表示“灯泡未损坏”与

表示“灯泡已损坏”，且各灯泡是否损坏互不影响，因而试验相互独立).由定理1.5知，所求概率为P3(2)+P3(3)=0.22×0.81+0.23×0.80=0.104【例6】一大批某型号的电子管，已知其一级品率为0.3，现从中随机地抽查20只，问其中有一级品的概率是多少？【解】由于这批电子管的总量很大，而抽取的只数(20只)相对很小，故可将抽查20只电子管近似地看作有放回抽样.将“抽查一只”作为一次试验，则“抽查20只”为20重伯努利概型.设A={其中有一级品}，由伯努利公式并利用逆事件关系得P(A)=1-P()=1-P20(0)=1-0.300.720=1-0.720=1-0.0007979≈0.9992在本例中，所抽20只中不含一级品的概率P()=0.0007979,不到万分之八.实践表明，这种“概率很小的事件在一次试验中几乎不可能发生”.这一事实称为小概率事件的实际不可能原理.它是数理统计中进行统计推断的主要依据.【例7】一个人开门，他共有n把钥匙，其中仅有一把钥匙能打开这扇门，他随机地选取一把钥匙开门，即每次每把以1/n的概率被选中，求该人在第k次打开门的概率.【解】令Bk表示“第k次打开门”的事件，则

第1章小结

本章由六个概念(随机试验、随机事件、概率、条件概率、独立性)，四个公式(加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式)和一个概型(等可能概型)组成。概率论与数理统计第2章一维随机变量及其分布§2.1一维随机变量§2.2离散型随机变量§2.3随机变量的分布函数§2.4连续型随机变量§2.5一维随机变量函数的概率分布基本要求：了解随机变量的定义、分布函数、条件分布、随机变量的相互独立性，熟练掌握随机变量函数的概率分布。重点：随机变量的定义、分布函数、随机变量函数的概率分布难点：随机变量函数的概率分布§2.1一维随机变量1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.例如:掷一颗骰子面上出现的点数；每天从北京下火车的人数；昆虫的产卵数；八月份武汉的最高温度；…

2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.

正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.再如：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面和反面的情况，则样本空间是Ω={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}。令X表示三次投掷得到正面H的总数，那么X是定义在Ω上的一个实单值函数。

称这种定义在样本空间上的实值函数为随量机变定义2.1设随机试验E，它的样本空间Ω={ω}.若对任一ω∈Ω,都有实数X(ω)与之对应，则称X(ω)为随机变量.简记为X.随机变量分离散型和非离散型两大类.离散型随机变量是指其所有可能取值为有限或可列无穷多个的随机变量.非离散型随机变量是对除离散型随机变量以外的所有随机变量的总称，范围很广，而其中最重要且应用最广泛的是连续型随机变量.§2.2离散型随机变量2.2.1离散型随机变量的概率分布定义2.2如果随机变量X只能取有限个或可列无穷多个数值，则称X为离散型随机变量.定义2.3设xk(k=1,2,…)为离散型随机变量X所有可能取值，pk(k=1,2,…)是X取值xk时相应的概率，即

P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)

(2-1)则式(2-1)叫做离散型随机变量X的概率分布，其中pk≥0且∑pk=1.离散型随机变量X的概率分布也可以用表2-1的形式来表示，称其为离散型随机变量X的分布律.【例1】某男生投篮的命中率为0.8,现在他不停地投篮,直到投中为止,求投篮次数X的概率分布.【解】显然当X=1时,p1=0.8.当X=2时,意味着第一次投篮未中,而第二次命中.由于两次投篮是相互独立的,故p2=0.2×0.8=0.16.当X=k时,则前k-1次均未投中,所以

pk=(0.2)k-1×0.8于是X的概率分布为

P{X=k}=pk=(0.2)k-1×0.8,(k=1,2,…)2.2.2几种常见的离散型随机变量的概率分布1.两点分布(0-1分布)如果随机变量X只取0,1两个值,即其分布律为其中0＜p＜1,q=1-p,则称X服从参数为p的两点分布或(01)分布,记为X~B(1,p).【例2】一批产品共100件,其中有3件次品.从这批产品中任取一件,以X表示“取到的次品数”，即

求X的分布律.【解】因为

故X的分布律为2.二项分布如果随机变量X为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0，1，…，n,在n次试验中A发生k次的概率为

pk=P{X=k}=显然pk≥0,且

=(p+q)n=1如果随机变量X的概率分布为

P{X=k}=

(k=0,1,2,…,n)

(2-2)其中0＜p＜1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项分布，记作X~B(n,p).特别地，当n=1时的二项分布就是两点分布.【例3】某大楼有两部电梯，每部电梯因故障不能使用的概率均为0.02.设某时不能使用的电梯数为X，求X的分布律.【解】因为X~B(2，0.02),所以

P{X=k}=

(0.02)k(1-0.02)2-k

(k=0,1,2)于是X的分布律为【例4】某人独立射击10次，每次命中率为0.8，求命中次数X的分布律.【解】X的可能取值为0，1，2，…，10

P{X=k}=

0.8k

0.210-k,

k=0,1,2,…,10

由结果看出，随机变量X~B(10,0.8).3.泊松(Poisson)分布如果随机变量X的概率分布为

P{X=k}=

(k=0,1,2,…)

(2-3)其中λ＞0,则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~P(λ).

泊松分布常见于所谓“稠密性”问题,在实际生活中已发现许多取值为非负整数的随机变量都服从泊松分布.【例5】某城市每天发生火灾的次数X服从参数为λ=0.8的泊松分布，求该城市内一天发生火灾的次数大于等于3的概率.【解】由概率的性质知

P{X≥3}=1-P{X＜3}

=1-P{X=0}-P{X=1}-P{X=2}

=1-e-0.8(1+)

≈0.0474【例6】设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且已知P{X=1}=P{X=2},

试求(1)参数λ;

(2)P{X=3}.【解】(1)因为X~P(λ),故由P{X=1}=P{X=2}，

知有

易解得λ=2.

(2)P{X=3}=

≈0.1804定理2.1(泊松定理)设随机变量Xn(n=1,2,…)服从参数为n,pn的二项分布，即有

P(Xn=k)=

(1-pn)n-k,

k=0,1,2,…,n

若limnpn=λ＞0,则有

limP(Xn=k)=

e-λ证明

记λn=npn,则

P(Xn=k)

对固定的k有故有显然，定理的条件

(常数)意味着当n很大时，pn必定很小.因此，泊松定理表明当n很大,p很小时有以下近似式

(2-4)其中λ=np.在实际计算时，若X~B(n,p),当n≥10，p≤0.1时，均可以用泊松分布近似计算其概率；当n≥100且np≤10时效果更佳.【解】设X表示未来一年里，2000名投保者中死亡的人数，则X~B(2000，0.005).(1)恰有15人死亡的概率为P{X=15}=b(15;2000,0.005).因为n=2000,p=0.005,所以根据泊松定理，X近似服从参数为λ=np=10的泊松分布.从而

P{X=15}≈

=0.9513-0.9165=0.034(2)同理可得，死亡人数不低于1人的概率为P{X≥1}=1-P{X=0}=1-

≈1-e-10≈1【例7】在参加人寿保险的某一年龄组中，每人每年死亡的概率为0.005.现有属于这一年龄组的2000人参加了人寿保险.试求在未来一年里，投保者中，(1)恰有15人死亡的概率；(2)死亡人数不低于1人的概率.二项分布的泊松近似常常应用于稀有事件的概率计算，所谓稀有事件即小概率事件.小概率事件在一次试验中发生的概率p很小，但当独立重复试验的次数n很大时，小概率事件的发生几乎是可以肯定的.4.几何分布定义2.4如果随机变量X的概率分布为

P{X=k}=p(1-p)k-1

(k=1,2,…)

(2-5)

则称X服从参数为p的几何分布，记为X~G(p).几何分布描述如下概型：在事件A发生的概率为p的多重伯努利试验中，若以X表示A首次发生时的试验次数，则X服从参数为p的几何分布.例如，接连对同一目标进行射击，首次命中目标所需射击的次数；自动生产线上首次出现不合格品时已生产产品的件数；一次一次进行还原随机抽样，首次抽到具有某种特征的元素所需抽样的次数等，都服从几何分布.【例8】某射手向某目标射击，命中率为0.8.现连续射击直到击中为止，求射击次数X的分布.【解】X的可能取值为1，2，3，…，用Ak表示“该射手第k次命中”这一事件，

k=1,2,…

P{X=k}=P(

)

=0.2k-10.8,

k=1,2,…5.超几何分布定义2.5如果随机变量X的分布概率为

P{X=k}=

(k=0,1,…,l)

(2-6)其中n,M,N皆为正整数，且M＜N，n≤N,l=min(M,n),则称X为服从参数为n,M,N的超几何分布，记为X~H(n,M,N).

因比较等式(1+x)M(1+x)N-M=(1+x)N两端xn的系数，可得等式从而知超几何分布在产品质量的检验和控制等问题中很有用处.在产品抽样检验中，二项分布是用来描述有放回地抽样，而超几何分布是用来描述无放回地抽样.虽然两者抽样方式不同，但可以证明：当产品总数N很大，抽检的产品数n又不太大时，超几何分布可以用二项分布近似代替，即有

(k=0,1,…,n)

其中p=M/N.因此，在实际工作中产品抽样检验多采用无放回抽样.【例9】已知一批产品共200件，其中有4件次品.现抽取5件进行检查，试求其中次品不多于1件的概率.【解】设X表示抽出的5件产品中的次品数，则X~H(5,4,200),于是所求概率为§2.3随机变量的分布函数2.4.1分布函数的定义定义2.7设X是一个随机变量，对任何实数x，令

F(x)=P{X≤x}(-∞＜x＜∞)称F(x)是随机变量X的分布函数，也称为累积分布函数.

分布函数以全体实数为定义域，以事件{X≤x}的概率为函数值，从而分布函数是一个普通的函数.由概率的性质及分布函数的定义易知，对任意实数x1＜x2,有P{x1＜X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1)分布函数F(x)具有以下性质：(1)(单调递增性)若x1＜x2,则

F(x1)≤F(x2)

事实上，F(x2)-F(x1)=P(x1＜X≤x1)≥0,

x1＜x2(2)(有界性)0≤F(x)≤1,且

F(-∞)=

F(x)=0

F(+∞)=

F(x)=1

据分布函数定义即知0≤F(x)≤1;对后两式只给出直观解释：由于F(-∞)相当于事件P(X＜-∞)的概率，而{X＜-∞}是不可能事件，故有F(-∞)=0.类似地，P(X＜+∞)是必然事件，故有F(+∞)=1.(3)(右连续性)F(x+0)=F(x)2.4.2离散型随机变量的分布函数设离散型随机变量X的分布律为

P(X=xk)=pk,

k=1,2,…则由概率的可列可加性得X的分布函数为

F(x)=P(X≤x)=

P(X=xk)即

F(x)=

Pk

其中和式是对满足xk≤x的一切k求和.离散型随机变量的分布函数是分段函数，F(x)的间断点就是离散型随机变量X的各可能取值点，并且在其间断点处右连续.离散型随机变量X的分布函数F(x)的图形是阶梯形曲线.F(x)在X的一切有(正)概率的点xk，皆有一个跳跃，其跃度正好为X取值xk的概率pk，而在分布函数F(x)的任何一个连续点x上，X取值x的概率皆为零.§2.4连续型随机变量2.3.1连续型随机变量及其密度函数定义2.6对于随机变量X，如果存在非负可积函数

f(x)(-∞＜x＜+∞),对于任意的实数a,b(a＜b),都有

P{a＜X≤b}=

f(x)dx

(2-7)则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.有时也可用其他函数符号如p(x)等表示.如果f(x)是随机变量X的密度函数，则必有如下性质：(1)f(x)≥0(-∞＜x＜+∞)(2)

f(x)dx=P{-∞＜X＜+∞}=1如果给出了随机变量的概率密度，那么它在任何区间取值的概率就等于概率密度在这个区间上的定积分.在直角坐标系中画出的密度函数的图像，称为密度曲线.如图2-2所示，密度曲线位于x轴的上方，且密度曲线与x轴之间的面积恒为1；X落在任一区间(a,b)内取值的概率等于以该区间为底，以密度曲线为顶的曲边梯形的面积.由式(2-7)及概率的性质可以推出P{X=a}=0(a为任一常数)，即连续型随机变量在某一点取值的概率为零，从而有P{a＜X＜b}=P{a＜X≤b}=P{a≤X＜b}=P{a≤X≤b}

=即区间端点对求连续型随机变量的概率没有影响.概率密度f(x)不表示随机变量X取值为x的概率，而是表示随机变量X在点x附近取值的密集程度，就像线密度一样，某一点的线密度并不代表物质在这一点的质量.【例1】设某连续型随机变量的概率密度为

0＜x＜2求：(1)常数k;(2)P{1＜X＜2};(3)P{X＞1}.【解】(1)根据密度函数性质有解得k=3/8(2)(3)【例2】设连续型随机变量X的分布函数为试求:(1)系数A,B;(2)P{-1≤X≤2};(3)X的概率密度f(x).【解】(1)由分布函数的性质,有又因为连续型随机变量的分布函数是连续函数,从而应有2.3.2几种常用的连续型随机变量的分布1.均匀分布如果连续型随机变量X的概率密度为

(2-8)(其中a＜b为有限数),则称X在区间[a,b]上服从均匀分布,记为X~U[a,b].容易验证:f(x)满足概率密度的两条性质.由连续型随机变量的定义,可以求得X的分布函数为f(x)与F(x)的图形如图2-2所示.

图2-2易见,对于在区间[a,b]上均匀分布的随机变量,X落在任一长度为l的子区间(c,d)(a≤c＜d≤b)上的概率为该概率与子区间的长度成正比,而与子区间的起始点无关.【例3】设某一时间段内的任意时刻,乘客到达公共汽车站是等可能的.若每隔3min来一趟车,则乘客等车时间X服从均匀分布.试求X的概率密度及等车时间不超过2min的概率.【解】因为X~U［0,3］,所以X的密度函数为等车时间不超过2min的概率为2.指数分布如果连续型随机变量X的密度函数为则称X服从参数为λ的指数分布,记作X~E(λ).【例4】已知某种机器无故障工作时间X(单位：小时)服从参数为12000的指数分布.(1)试求机器无故障工作时间在1000小时以上的概率；(2)如果某机器已经无故障工作了500小时，试求该机器能继续无故障工作1000小时的概率.【解】3.正态分布如果连续型随机变量X的概率密度函数为其中σ＞0为常数，则称X服从以μ,σ2为参数的正态分布，记作X~N(μ,σ2).特别地，当μ=0，σ=1时，称X服从标准正态分布，并分别以(x)及Φ(x)记标准正态分布的密度函数和分布函数.正态密度函数f(x)的图形(见图2-3)具有以下特点：(1)以直线x=μ为对称轴，并在x=μ处有最大值f(μ)=(2)在x=μ±σ处各有一个拐点；(3)当x→±∞时，以x轴为渐近线；

图2-3(4)当固定σ而变动μ时，图形形状不变地沿x轴平行移动(见图2-4).当固定μ而变动σ时，随着σ的变大，图形的高度下降，形状变得平坦；随着σ的变小，图形的高度上升，形状变得陡峭(见图2-5).

图2-4图2-5若X~N(μ,σ2),则X的分布函数为

(2-9)其图形如图2-6所示.

图2-6对于标准正态分布函数

(2-10)的值,已编制成表可供查用(见附录Ⅰ).由于标准正态密度函数

(2-11)的图形关于y轴对称,从而有

(2-12)所以,附录Ⅰ只给出了x≥0时Φ(x)的数值表.一般正态分布N(μ,σ2)与标准正态分布N(0,1)有如下关系:定理2.2设随机变量X~N(μ,σ2),分布函数设为F(x),则对每个x∈R,有

(2-13)证明由分布函数的定义,知

令

则得由此可得如下推论:推论2.1若X~N(μ,σ2),则

(2-14)

推论2.2若X~N(μ,σ2),对每个a,b∈R(a＜b),有§2.5一维随机变量函数的概率分布2.5.1离散型随机变量函数的概率分布定理2.3设随机变量X的概率分布如表2-4所示

表2-4

X的分布律

则Y=f(X)的概率分布如表2-5所示

表2-5

Y=f(X)的分布律【例1】设随机变量X的概率分布为

试求下列随机变量函数的概率分布

(1)Y=2X+1；(2)Y=X2.【解】(1)当Y=2X+1时概率分布为(2)当Y=X2时

所以Y=X2的概率分布为2.5.1离散型随机变量函数的概率分布1.分布函数法【例2】设随机变量X~U[1，3]，求Y=4X-1的分布函数Fy(y)及概率密度函数fY(y).【解】首先，求Y的(一般)分布函数与概率密度函数.依题意,有FY(y)=P{Y≤y}=P{4X-1≤y}=P{X≤

}=FX（）对y求导得再求X服从[1，3]上均匀分布时Y的具体对应分布函数及概率密度函数.因为类似于例2的这种解题方法，人们通常称之为“分布函数法”.对于已知随机变量X的概率密度函数为fX(x),X的函数Y=g(X),求Y的概率密度函数fY(y)的一般步骤可以归纳为：(1)确定Y的值域R(Y)；(2)对任意y∈R(Y),求出Y的分布函数

FY(y)=P{g(X)≤y}=P{X∈G(y)}=∫G(y)fX(x)dx

(其中G(y)由不等式g(X)≤y解得)；(3)关于y求导：若F′Y(y)存在，fY(y)=F′Y(y);

若F′Y(y)不存在

fY(y)=0

(2-15)(4)归纳合并，最后得到所求概率密度函数fY(y).利用积分转化法求一维随机变量函数Y=g(X)的概率密度fY(y)的主要计算步骤如下：(1)将g(x)及f(x)的具体表达式代入式(-16)的被积函数

中；(2)作代换g(x)=y;(3)反解出x=G(y)并代入f(x)中；(4)整理合并，依式(2-16)最后写出所求概率密度fY(y)

的表达式.2.积分转化法设随机变量X的概率密度为fX(x),g(x)为(分段)连续或(分段)单调函数，Y=g(X).若对任何非负连续函数h(x),成立

(2-16)则随机变量Y的概率密度为【例4】设随机变量X的概率密度为试求随机变量Y=eX的概率密度fY(y).【解】因为所以

第2章小结

本章由随机变量的定义、分布函数、条件分布、随机变量的相互独立性，随机变量函数的概率分布组成。概率论与数理统计第3章多维随机变量及其分布§3.1二维随机变量及其分布§3.2二维离散型随机变量§3.3二维连续型随机变量§3.4二维随机变量函数的概率分布基本要求：了解二维随机变量的定义及其分布，熟练掌握二维离散型随机变量的分布率、独立性。重点：二维随机变量的定义、分布率难点：二维随机变量函数的概率分布§3.1二维随机变量3.1.1联合分布函数定义3.1设随机试验E,它的样本空间Ω={ω}.设X=X(ω)和Y=Y(ω)是定义在Ω上的随机变量,由它们构成的一个有序组(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.定义3.2设(X,Y)为二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P(X≤x,Y≤Y)(3-1)称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X与Y的联合分布函数.式中{X≤x,Y≤y}表示{X≤x}与{Y≤y}这两个事件的积{X≤x}∩{Y≤y},故F(x,y)的几何意义是随机点(X,Y)落入以(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域(见图3-1)的概率.图3-1从以上几何解释及概率性质得随机点(X,Y)落入矩形区域{x1＜X≤x2,y1＜Y≤y2}的概率为(见图3-2)P(x1＜X≤x2,y1＜Y≤y2,)=P(X≤x2,Y≤y2)-P(X≤x1,Y≤y2)-P(X≤x2,Y≤y1)+P(X≤x1,Y≤y1)=F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x