七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第一讲有理数的巧算

第一讲有理数的巧算趣题引路】(第6届“希望杯"竞赛试题改编)计算：2004X20032003+2005X20042004一2003X20042004一2004X20052005解析原式=2004X20032003一2003X20042004+2005X20042004一2004X20052005=(2004X2003X10001-2003X2004X10001)+(2005X2004X10001-2004X2005X10001)=0点评:赢赢型式子通常将它化成^cXlOOl型式子，有的问题还利用到1001=7X11X13这一特点来进行考査，有理数的运算有许多技巧和方法，是中考和竞赛的热点。知识延伸】一、 巧用运算律进行有理数运算时注意符号的处理，再看是否可以用运算律简化运算。1131 1例1计算：(1)-1999-X16：(2)(-一一一+二一一)-(——)636412 48解析⑴原式=-(2000-])><168=-(3200-2)=-31998(2)原式=一(一丄一丄+ 丄)><48=—(一8—已+36—4)=一22?・TOC\o"1-5"\h\z36412 3 31点评:⑴像1999_、2003等数字在参与运算时，往往将其写成2000--、2000+3的形式：(2)利用乘8法对加法的分配律时，应注意符号的处理技巧，尽量以免错误。二、 有理数大小的比较有理数大小比较的一般规律：正数>零>负数：两个负数比较大小，绝对值大的反而小：两个正数比较大小，倒数大的反而小、在进行有理数大小比较时，往往利用到作差、作商、倒数比较、平方比较以及运用一些熟知的规律进行比较.QIlog?09例2(1992年"缙云杯“初中数学邀请赛试题)把-四个分数按从小到大的顺序TOC\o"1-5"\h\z92 1993 93排列是 •a疋 1992( 1 92 , 11993( 1 93( 11991 199191 911992 199292 92199991一'9211199991一'9211<922311999999而1A1丄9191-92<>

丄9292-939391-92,<92-9192一93<一93一921,,99^911919999911<2392999919'-911点评:比较分数的大小通常可以将分子化成相同或分母化成相同，再进行比较，除了通分外，倒数法也是经常用到的方法•实际上，此类习题具有-般规律；弓<角⑴是正整数)，如！|<|斗…

有理数巧算的几种特殊方法有理数运算时，经常会出现一些较大或较多的数求和的问题，仔细观察它们的特点，探求英中的规律,往往可以为解题开辟新的途径.•倒序相加法例3计算：(1)1+2+3+・・・+2003+2004：(2)1—2+3—4+・・・+2003—2004・解析(1)设S=l+2+3+・・・+2003+2004 ①则S=2004+2003+…+3+2+1 ②①+②，得2S=(l+2004)+(2+2003)+・・・+(2004+l)=2005+2005+…+2005(共2004个2005)=2005X2004,c_2005c_2005x20043 =2009010,即原式=2009010・(2)原式=(1一2)+(3—4)+・・・+(2003—20Q4)=-1-1 1(共1002个一1)=-1002.点评:(1)式的特点是：后一项减去前一项的差都相等，这样的一列数称为等差数列，第一项叫首项，通常用“I表示；最后一项叫末项，通常用血表示；相等的差叫公差，通常用d表示。由上面的方法不难得到.等差数列的求和⑸)公式：s严曲曲;求项数⑷的公式：心丄空+1・d在以后的运算中，我们也可以直接应用这个公式解题.式之所以想到倒序相加，是因为这一组数字前而的数字与后而对应位垃的数字之和相等，倒过来相加正好凑成一组相同的数字。式也可以将它看成两组等差数列之和的差，但是题目本身有更突出的特点：从左到右每两个数字结合起来正好都等于一1.这就说明，在我们动手做题之前，要仔细研究题目本身的特点，选择一种最佳的方法.2•错位相减法例4计算：5+52+5$+…+5”・解析设S=5+52+53+・・・+5S①贝ij5S=5?+53+…②②一①，得4S=5"T—5,一574 ，亍利_5即原式=——•4点评:本题显然不是一个等差数列求和的问题，怎么求和呢？这就需要我们去探索•为达到抵消中间一些数的目的，采取两边乘以5再做减法，达到目的。结合例3的点评，通过本题的特点你能总结出什么规律？

•裂项法。1+2 F100例5（19931+2 F100解析原式门+硝冷）+2（卜扣…+2怙一命）200而点评：由1+2+…+100想到等差数列求和公式：S肿上理，所以=•又由2 S”（\+n）n丄-丄—想到-丄nn+\ /?(/?+1)n(n+1)nn+\•设元法在有理数的运算以及苴他代数式的运算中，我们常常把式中岀现的相同部分用字母表示，从而使问题简化。例6计算：(—+—+—+—+—+—)(—+—+—+—+—+—)-31 37 41 47 53 692931 37414753z1111111x/11111、(—+—+—+—+—+—+—)(—+—+—+—+—).293137414753693137414753TOC\o"1-5"\h\z心1 1 1 1 1 1 1 11111 mil29313741475369 3137414753原式=(川+—)(???-—)-mn69 69=mn+—（m一n）-mn-—-69 692\o"CurrentDocument"\h=丄（丄+丄）-1- 1 -1696929 692 69x29一2001点评:对于式子中结构相同的部分我们通常可以用字母来表示，从而起到简化运算的作用」•数形结合法例7计算当”无限大时，叫+ 的值.=1,故原式=2.=1,故原式=2.好题妙解】佳题新题品味例 自然数按一泄规律排成下表，问第200行的第5个数是多少?解析观察图表，第一行1个数，第二行2个数，……可知第200行有200个数，从上至下，从左到右按连续自然数排列，因此，可先算第199行最后一个数为：1+2+3+…+199=19900・所以，第200行的第5个数是19905.点评:仔细观察图形，发现数字个数，行数之间的规律.中考真题欣赏例(桂林市中考题)计算：1-3+5-7+9-11+-+97-99= ・解析原式=(1一3)+(5—7)+(9—11)+・・・+(97—99),式中共50个数，分成了25组，二原式=(-2)X25=-50・点评:1~99共99个数，苴中有49个偶数，50个奇数，50个奇数两两分成一组，共25组，每组计算结果是一2,故原式为一50.竞赛样题欣赏TOC\o"1-5"\h\z113 13 5 13Q7例(第10届“五羊杯"初一赛题)计算:-2 44 666 9898 98解析l+2=lx2/+2+5=ix丄+2+…+艺亠9,解析44 2 666 2 9898 98 2原式=_(1+2 F49)2=612.5.点评:研究每一部分的结构特点，找出规律.过关检测】1•计算:1•计算: +++•••+ 200120012001 20012•计算:(2001-1)+(2000-2)+(1999-3)+•・.+(1002-1000)3•计算:111…111222…2*333…3• —— 丄〈 — ■ ・ — ・20(”个I 200】个2200】个311+25•计算:(22+42+62+...+1002)-(12+32+52+...+9925•计算:1+2+3+・・・+8+9+10+9+8+…+16•计算:6•计算:2001+20012001+200120012001+2001200120012001

B级1 1111H + +…+ + =3x1 4x2 5x3 1999x1997 2000x1998 -1x2x3+2x4x6+3x6x9+4x8x12+5x10x153.2000」9⑼9991999+2000x1999-200E99J200020002000 200(?-2001x19994•计算:2000,+2001，2000x200112+22 22+32 34•计算:2000,+2001，2000x2001 + H 1x2 2x3 3x45•计算:1116•已知自然数川的最小值是多少？6•已知自然数川的最小值是多少？1x22x33x4第一讲有理数的巧算1•原式A级+S)=ioo1•原式A级+S)=ioo°-3.原式=(1」1二Jxlg・3.原式=(1」1二Jxlg・02)A(

Mit-ilO»fO1 I4-原式=T+3~4*T^__42 3 2 3 51112^3+3^4+475+49江i2” 2 2〒2X "273*3^4*475^**+99x1003 3x…5 °997100)=2X(I~3_+31亠亠115 991005妙3001"7996000’原式=2000+1998+…+2=(吧丄x1000-1001x1000-1001000tQiHl二1*3)=100^02-g-3=33—34.3001-M； 9HOfO MlkM:•r1'…*99.=2x(2-"100)=5.原式_(2—广)+(4—3J+・・・+(100—992)(2+l)(2-l)+(4+3)(43)i・4(100+99)(10099)102 •…:：3“+11+…4199101x50101105■100*2陌十2000x(l+KXXH“(XXHOOO]+lOQ(nOO(HO()01)2000塚真=2001x(L+1Q001+100010001+100010001(X)01)"2001*詰（1十计侖-命卜却=4（1-厲）*克齐缶卜存（器+=5993001=7996000"勺5产屮(1x3x5)x(1+23+33+43*53) 1x3x5 5T =(1x2x3)x(1+2J+3S+4J+5J)=172^3"T仙1 1999*100010001 (2000*1998#2000)-(2000x1998會1998)=X2000x100010001 (20002-1)+1-2001X1999^2(xx>19992000x1998+2000-2000*1998二1998= 2000+(2OOO2-1)+1-2001x19992=1999+(2000+l)(20wll)+1-2001X1999=1999+7=200L2001?2000z\2

2000x2001+2000x2001)=72000-19984-解;原