七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题03-三角形的中线与面积

专题03三角形的中线与面积专题解读】在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．由“等底同高”可知，三角形的一条中线能把这个三角形分成面积相等的两部分．利用这一性质，再进行适当拓展延伸，我们还可解决许多其他的等分点问题．反过来，在解决许多有关多边形(如三角形、四边形等)的面积问题时，如果我们能够快速地联想到“三角形的中线等分三角形面积”这一性质，那么往往可以事半功倍．思维索引例1．(1)如图，△ABC中，D为AB的中点，E为DF的中点．①作出△AED中的高AH；②连接BF，当AH＝4，DF＝5时，求△BDF面积．(2)如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AB＝15，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为t秒．①当t＝时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；②当t＝5时，CP把△ABC分成的两部分面积之比是S△APC︰S△BPC＝；③当t＝时，△BPC的面积为18．例2．如图1，在△ABC中，中线AM可以将△ABC分成两个面积相等的三角形，即S△ABM＝S△ACM．(1)请在图2，图3中，用两种不同的方法将图中的四边形ABCD分成4个面积相等的小三角形；(2)如图4，在四边形ABCD的边上找到一点E，使得线段AE将四边形ABCD分为面积相等的两部分．例3．(1)已知：△ABC中，AD是BC边上的中线，P是AD上的一点，若△ABC的面积为s，①当点P是AD的中点(即PD＝AD)时，△PBC的面积＝(用含s的代数式表示)；②当PD＝AD时，△PBC的面积＝(用含s的代数式表示)；③当PD＝AD时，△PBC的面积＝(用含s、n的代数式表示)．(2)如图，△ABC的面积为12cm2．D是AB边的中点，E为AC边上一点，且AE＝2EC．O为DC与BE的交点．若△DBO的面积为acm2，△CEO的面积为bcm2，求a－b．例4．(1)如图1，在△ABD中，BE是△ABD的中线，则有S△ABE＝S△ABD．(2)在四边形ABCD中，E是AD边上的动点，分别连接AC、BD、EB和EC，设△EBC的面积为S1，△ABC的面积为S2，△DBC的面积为S3．①如图2，当AE＝AD时，试探究S1，S2，S3之间的关系，并写出求解过程；②如图3，当AE＝AD(n表示正整数)时，试探究S1，S2，S3之间的关系．(直接给出答案，不必求解过程)素养提升1．如图，在△ABC中，E、F分别是AD、CE边的中点，且，则为（）A.B.C.D.2．如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△BEF的面积分别为，且，则（）A．1B．2C．3D．43．如图，三角形ABC内的线段BD、CE相交于点F，已知FB=FD，FC=2FE.若△BFC的面积为2，则四边形AEFD的面积等于（）A．4B．5C．6D．7第1题图第2题图第3题图4．如图，△ABC三边的中线AF，BD，CE的公共点为G，若，则图中△BEG与△CDG的面积和是（）A．2B．3C．4D．5第4题图第5题图第6题图5．如图，G为△ABC内一点，连接AG、BG、CG并延长分别交边BC、AC、AB于点F、D、E，则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则△ABC的面积为（）A．300B．315C．279D．3426．如图，AE、BD是△ABC的两条中线，AE、BD交于F，则△BEF和△AFD面积的大小关系是_______________.7．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点G，GF⊥BC，且AB=6，BC=5，AC=3，GF=2，则四边形ADGE的面积是_________.8．如图，在△ABC中，点D是BC边上任意一点，点F是线段AD的中点，点E、点G分别为BF与CF的中点，则=_____________.9．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE上的中点，且△ABC的面积为12，则△ABF的面积为___________.第7题图第8题图第9题图10．如图，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，点E是CD边上的一点，且DE=2cm，动点P从A点出发，以2cm/s的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E.当△APE的面积等于20时，则点P运动的时间________________s.第10题图第11题图11．如图，已知△ABC，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1：2：3的三个三角形。12．操作示例：如图甲中，E，F分别为四边形ABCD的边AD，BC的中点，设四边形ABCD的面积为,则和之间满足的关系式为___________．解决问题：在图乙中，E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AD，AB，BC，CD的中点，并且图中四边形JKLI的面积为20，求图中△AEJ、△BFK、△CGL与△DHI的面积和.图甲图乙13．（1）在图甲中，若,分别为AB，BC的中点，则___________．（2）在图乙中，若，分别为AB的三等分点，，分别为BC的三等分点，求、的面积和与△ABC的面积比等于多少？并说明理由．（3）拓展：在图丙中，若分别为AB的等分点，分别为BC的等分点，求、，……，的面积和与△ABC的面积比等于多少？（直接写出答案，不必求解过程）图甲图乙图丙14．在如图1至图2中，△ABC的面积为a.（1）操作：如图1，分别延长△ABC的边BC到点D，CA到点E，AB到点F，使CD=BC，AE=CA，BF=AB，连结DE，FD，FE，得到△DEF（如图1）.若增加部分的面积为，则=_____.（用含a的代数式表示）.（2）发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF，此时，我们称△ABC向外扩展了一次.可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的____________倍.（3）应用：张明去年在面积为10的△ABC空地上栽种了某种花卉.今年他准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展成△MGH（如图2）.求这两次扩展的区域面积共为多少_________？图1图2

专题03三角形的中线与面积思维索引】例1．(1)①略；②S△BDF＝10．(2)①6.5；②1:4；③EQ\F(4,3)或EQ\F(22,3)．例2．(1)如图所示，(答案不唯一)(2)如图，例3．(1)①EQ\F(1,2)s；②EQ\F(1,3)s；③EQ\F(1,n)s．(2)2．例4．(1)S△ABE＝EQ\F(1,2)S△ABD．(2)①S1＝EQ\F(1,2)S2＋EQ\F(1,2)S3；②S1＝EQ\F(1,n)S2＋EQ\F(n－1,n)S3素养提升】1．D；2．A；3．B；