南京大学2020年和2020年数学分析考研试题及解答

南京大学2020年数学分析考研试题-设f(x)为R｝上的周期函数，且limfM=0,证明f恒为0。A—二设概念在R'上的二元函数/(x,y)关于x,〉的偏导数均恒为零，证明/为常值函数。三设M)(归2…)为疋上的一致持续函数，且limfn(x)=f(x),XR',n—问：是不是为持续函数？假设答案为“是“，请给出证明；假设答案为"否”，请给岀反例。四是不是存在［0,1］区间上的数列｛X”｝，使得该数列的极限点(即聚点)集为［0,1］，把极限点集换成(0,1)，结论如何？请证明你的所有结论。五设/(x)为|0,+s)上的非负持续函数，且J；X/(x)Jx<+oo，问/(X)是不是在［0,P)上有界？假设答案为"是”，请给岀证明；假设答案为“否"，请给岀反例。六计算由函数./；(x)=|x2和f2(x)=-X2+啲图像在平面R2上所围成区域的面积。七计算积分皿心+如讪血。R2八计算积分，其中。为如下区域:G=｛(x,y.z)e:x>0,>'>0,>0,x+y+^<6z｝,。为正常数。九设5>0(”=1,2,...), 证明：级数乞吕•是收敛的。1-1 n-1»十方程x2+2y2+3z3+2xy^z=7在(1,一2,1)周围决定了隐函数z=z(x.y),求—^(1,-2)的值。oxoy十一求函数/(X,y,z)=X3+b+在约束条件x+y+z=2fx2+y2+z2=n下的极值,并判定极值的类型。十二设/eC*［0J］,且/(0)=/(1)=0,证明：J*［/(x)］2Jx<1£［/V)］2Jxo十三设/(X)为［0“］上的持续函数，且对任意正整数h>1,均有£/(x)cos/?xJx=0,证明：/为常值函数。南京大学2020年数学分析考研试题解答一证明设/⑴的周期为八7>0,那么有f(x+nT)=f(x)9由条件知,/(x)=limf(x+nT)=0,结论得证。丄在斤上持续，对任意(x,y)e/?~,有f(x,y)-f(a0)=?(的ey)・X+色(敗ey)y=0,ox dy因此f(x,y)=/(0,0),即f(x9y)为常值函数。三解fM未必为持续函数。反例：£(兀)=」4刁，1+国£(x)在尺上持续，又lim九(对=1,因此人⑴在(yo,p)上一致持续,牙TJC0,卜|vllim/,(x)=/(%)=<lim/,(x)=/(%)=<2111川>1显然/(%)在(Y>,2)上不持续。四解⑴存在。取［0,1］中的有理数形成的点集/=”；},那么有厂=［0,1］。(2)不存在。假假设存在/={x„},使得厂=(0,1),由于厂是闭集，而(0,1)为开集，矛盾，因此如此的点列不存在。五未必有/⑴在［0,2)上有界，未必有lim/(x)=0o六解显然两曲线的交点横坐标为召[(-x[(-x2+1)-|x2Wa-\)dx=2(—=2(—卜5)_4>/6= o9七解显然那个二重广义积分是收敛的。由匚e~xdx=a/tt,J#心+22辺购，=rdxCe^e-^dyJ-xJ-xJ—X J—X=y/^r・刼=兀o八解jfjxyzdxdydz.Qf>a Afl-x-v=Idx\dy\xyzdz十解2x+9z,2zx+2y-zx=0,4+9z2Zy+2x-zy=0,1迄金+9舟“+2-备=0。4-一解L=(x3+y3+z3)+^(x+y+z-2)+p(x2+y2+z2-i2)一=3x2+2+2//x=0,dxoo一一=yz2a2a++++22yz33一一=弘¥弘&3・12+3几+2“・2=0,36+32+4/7=0o十二证明f(x)=/(O)+[/(『)/=£ ,1/(期qim)M<」(j;|/(X)|2<xf|/X0|2dt< 1/W|2dt,于是嘉商皿號)讪广商心，/(x)=/(l)-J*f\t)dt=-J*/f(/)Jr,|/(a-)|<J广a)M§(i—|m)「加，|/(X)|2<(l-X)J*|/W|2JZ,j；I/v)|\；x<1(1)2£|/v)|\/a-,■故有仃(X)「dx<JJ|/(x)|2^+J；|/(x)|2dx<y(：")fdx。十三证明作函数F(x),F(x)是周期为2龙的偶函数，当xe(O^)时，F(x)=/(x),那么F(x)在(-不O)U(O,;r)上持续，在|-不刃可积。°”=丄J*”F(x)cosnxdx=—£F(x)cosnxdx=0,(n=1,2,...)h^o=-\^fMdxfw/?,=—F(x)sinnxdx=0,nJysinnx)F(x),asinnx)F(x),寸cosnx+bnL/r-lSn(x)=牛+£(5COSnx+bnsinnx)=牛,—i 2{Sn(x)}在芒［-不刃中收敛于F(x)9鯉(x)M=0‘2「"■(X)-鱼厶=0,22f/«-y如o,2由/(x)在［0,刃上持续，知-牛=0,即得/⑴晋，在［0,兀］上为常值函数。南京大学2020年数学分析考研试题1开区间(0,1)内的有理数可否依照从小到大的顺序排成一列，请说明理由。TOC\o"1-5"\h\z□0 002假设级数亍©收敛，那么是不是有收敛，是请证明；否请举反例。H-l H-1设a9b>09求lim”/+b“°“TOO求lim(丄 !—)ox~xsinx5假设函数/(x)在［0,1］上可导，那么广(x)是不是必然有界，是请证明；否请举反例。6函数f：2R持续，且有唯一的极值点，证明：那个唯一的极值点必然是最值点。7函数在［0,1］上有二阶导数，/(o)=o,/(i)=i,ruxo.求证：/(x)>x,xe［O,l］o8函数/(x,y)是一个L函数，％=(无，儿)，计算lim沪［厶fff(x,y)dxdy-f(x^y0)］<>9计算\\xdydz^ydzdx+zdxdy.其中工是八分之一球面V{(x,y,Z):X,y,Z20,F+y2+F=尺2},方向朝外。10、已知/⑴是［一兀刃上有界变差函数，求证：％仇=0(丄)，n其中©O是/(")的傅里叶系数。南京大学2020年数学分析考研试题解答1解尽管(0,1)中的有理数的个数是可数的，但(0,1)中的有理数不能按从小到大的顺序排成一列，理由如下：由于(0,1)中无最小的有理数，也无最大的有理数；用反证法，假假设(0,1)中的有理数按由小到大的顺序排成了一列(斤必)中应没有有理数了，而(斤屯)中仍有有理数耳2,矛盾。厶2解由级数工©收敛，未必退出工",收敛。TOC\o"1-5"\h\z/(-! n-1反例：设an=(-\y-Lt00 X显然工勺收敛，但工",发散。n-1 n-13解设M=max{a,Z?}那么有M5目疋+b“5匝M,lim呃M=M,n—>oc由夹逼定理，知limyja1+b11=M=max{a.b}o“TOO解20xsmxsinx-x=inn— zjtsina

=lim=limsinx-x.・cosx-1=lim ；—z3；rv-sinx=lim z6x_1= o65解由/（x）在［0,1］上可导，即广⑴在［0,1］上存在,但广⑴未必在［0,1］上有界。反例:/（心广怜心°川0,x=0反例:/（心广怜心°川0,x=0)=_2祈(_1儿广⑴在［0,1］上无界。6证明不妨设X。是/⑴的唯一的极小值点，那么存在J>0,当0<卜-对<5时，有/（x）>y（x0）,咱们要断言，对所有xe/?,/（x）>/（x0）o用反证法，假假设存在A-已心使得/（A-）</（Xo）,不妨设期<无，由持续函数的介值性，存在壮（心西），使得f^）=f（X0）,_/G）在［心，切的内部达到最大值，因此也是极大值，这与有唯一性的极值点相矛盾，因此/（兀）是最小值，结论得证。7证明由r«<0,知/（X）在［0,1］上是上凸函数，对任意xpx2e［0J］,0<2<1,有/（（I-几）州+九丫2）n（1一兄）/（州）+久/（吃），对“［0,1］,有m（（i—x）・o+x・i）>(l-x)/(0)+#(l)=xo

8解V』严叫"Z=£[f(+rcos6>,y0+rsin<9)-/(xc,y^]rdO,lim—crI〃J7[/a。+rcos儿+rsin&)lim—cr「[/C%+"cos&,y()+hsin0)一/(x0,儿)]〃&=lim=linicos^+—sin^JJ=linicos^+—sin^JJ&

dy=—limf[(Jcos0+—sin6>)cos0+ -cos&+2sin0)sin0]d0TOC\o"1-5"\h\z•U(>dx2 oyox dxdy dy2dxdy=lim£[%4-(z0)cos2&+2]^-(z0)sin&cos&+4^-(Z())sin'0]d0dxdy8/rox dy1d2f d2f飞(詁3尹))一19解〃=£(儿”Rjjxdyd