七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题03三角形的中线与面积

专题03三角形的中线与面积专题解读】任三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.由“等底同髙”可知,三角形的一条中线能把这个三角形分成而积相等的两部分.利用这一性质，再进行适当拓展延伸，我们还可解决许多其他的等分点问题.反过来，在解决许多有关多边形(如三角形、四边形等)的而积问题时，如果我们能够快速地联想到“三角形的中线等分三角形而积“这一性质，那么往往可以事半功倍.思维索引例1.(1)如图，ZV1BC中，D为AB的中点，E为DF的中点.作出/XAED中的髙AH：连接BF,当AH=4,DF=5时，求厶BDF面积.Q)如图，AABC中，ZC=90°,AC=12,BC=9,AB=15,若动点P从点C开始，按C—A_BY的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为f秒.当t= 时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；当t=5时，CP把△ABC分成的两部分而积之比是Supc:S*bpc= :当t= 时，ABPC的而积为18.例2.如图1,在ZXABC中，中线AM可以将AABC分成两个而积相等的三角形，即S好加请在图2,图3中，用两种不同的方法将图中的四边形ABCD分成4个而积相等的小三角形：如图4,在四边形ABCD的边上找到一点E,使得线段AE将四边形ABCD分为而积相等的两部分.图3 图4

图3 图4例3・（1）已知：AABC中，AD是BC边上的中线，P是AD±的一点，若ZVIBC的而积为阳当点P是初的中点（即PD=片AD）时，APBC的而积= （用含5的代数式表示）:当pd=Lad时，hpbc的面积= （用含s的代数式表示）：3 当PD=LaD时，HPBC的而积= （用含的代数式表示）.n（2）如图.AABC的面积为\2cm2.D是AB边的中点，E为AC边上一点，且AE=2EC・0为DC与BE的交点.若△DBO的面积为acnr.ACEO的而积为hem2,求a~b.例4.（1）如图1,在AABD中，BE是aBD的中线，则有Sube= Szs（2）在四边形ABCD中，E是AD边上的动点，分别连接AC、BD、EB和EC,设△EBC的面积为$,△ABC的而枳为S2,ADBC的而积为S3.如图2,当AE=-AD时，试探究S,52,S3之间的关系，并写出求解过程；2如图3,当AE=-AD（n表示正整数）时，试探究Si,S2,®之间的关系.n（直接给出答案，不必求解过程）图2

图2素养提升如图，在AABC中，E、F分别是AD.CE边的中点，且S^:r=4cm29则为（）A.\cm2 B.2cm2 C. D・16c/??2如图，在IWBC中E是BC上的一点，EC=2BE,点D是AC的中点，设△ABC,Z\B£F的而积分别为V)V)A.1 B.2 C.3 D.43.如图，三角形ABC内的线段BD、CE相交于点F,已知FB=FD、FC=2FE・若ABFC的而积为2,则四边形AEFD的面积等于（ ）3.D.74.w「=12,则图中ABEG与ZkCDG的而积第4题图C.D.74.w「=12,则图中ABEG与ZkCDG的而积第4题图C.4第5题图D.5如图，G为ZVIBC内一点，连接AG、BG、CG并延长分别交边BC、AC.AB于点F、D、E,则把△TOC\o"1-5"\h\zABC分成六个小三角形，其中四个小三角形而积已在图上标明，则AABC的面积为（ ）A.300 B・315 C・279 D・342如图，AE.BD是△ABC的两条中线，AE.BD交于F,则ABEF和△AFD面积的大小关系是如图，AABC的中线BD.CE相交于点G,GF丄BC,且BC=5,AC=3.GF=2,则四边形ADGE的而积是 •如图，在△ABC中，点D是BC边上任意一点，点F是线段AD的中点，点E、点G分别为BF与CT的中点，则S帕彩EFGD如图，在△ABC中.已知点D、E、F分别是BC、AD.BE上的中点，且/\ABC的而积为12cm29则△ABF的而积为 cm2.

第7题图第7题图10・如图，在长方形ABCD中，AB=8cm,BC=6cm.点E是CD边上的一点，且DE=2cm,动点P从A点出发，以2cm/s的速度沿A-B-C-E运动，最终到达点E当的而积等于20cm2时，则点P运动的时间 -V.第10题图 第11题图11.如图，已知△ABG请你用两种不同的方法把它分成而积之比为八2/3的三个三角形。12•操作示例:如图甲中,E,F分别为四边形ABCD的边ADBC的中点，设四边形ABCD的而积为S“护昨,则％刃形妙杪和馮边盟mZMJ1曲足H'J人乐式为 解决问题：在图乙中，E,F,G,H分别为四边形ABCD的边AB.BC,CD的中点，并且图中四边形丿KZJ的面枳为20cm2,求图中△AE/、HBFK、ZkCG厶与△»/〃的面枳和.图甲

图甲(1)在图甲中，若久厶分别为AB,BC的中点，则Sg：Swc= 在图乙中，若D「Q分别为朋的三等分点，环鸟分别为BC的三等分点，求△2&耳、AD2E2C的而积和与AABC的而积比等于多少？并说明理由.拓展：在图丙中，若22・2宀・・2分别为的(n+1)等分点，E「E"E“…也分别为BC的(n+1)等分点，求SD}E}E2>SD2E2C•……，SDnEfJC的而积和与AABC的而积比等于多少？(直接写出答案，不必求解过程)图甲图甲在如图/至图2中，8BC的而积为“.操作：如图b分别延长^ABC的边BC到点D,CA到点E,AB到点F,使CD二BC,AE=CA,BF二AB,连结FD,FE,得到△DEF(如图1).若增加部分的而积为则S】二 .(用含“的代数式表示).发现：像上而那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF,此时，我们称厶ABC向外扩展了一次.可以发现，扩展一次后得到的ADEF的面积是原来AABC而积的 倍.应用：张明去年在而积为10〃『的AABC空地上栽种了某种花卉.今年他准备扩大种植规模，把厶ABC向外进行两次扩展成△A/GH(如图2)・求这两次扩展的区域而积共为多少 亦？图1 图2专题03三角形的中线与面积思维索引】例1.⑴①略；®S^bdf=10. (2)@6.5；②1:4：③扌或丰.例2・(1)如图所示，(答案不唯一)(2)如图,(2)如图,例3.(1)®$ ②gs： (2)2.例4.(1)Smbe=*Sa/Wd. ⑵①Si=*S2+*S3： ②Si=£S2+