七年级数学几何图形初步专题练习(解析版)

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，且∠EAC＋∠ACE=90°．（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，若∠E=90°且AB与CD的位置关系保持不变，当直角顶点E移动时，写出∠BAE与∠ECD的数量关系，并说明理由；（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，且AB与CD的位置关系保持不变，当点Q在射线CD上运动时(不与点C重合)，∠PQD，∠APQ与∠BAC有何数量关系？写出结论，并说明理由．【答案】（1）AB//

CE平分，AE平分，；（2），理由如下：如图，延长AE交CD于点F，则由三角形的外角性质得：；（3），理由如下：，即由三角形的外角性质得：又，即即．【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义、平行线的判定即可得；（2）根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、三角形的外角性质即可得；（3）根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）、三角形的外角性质、邻补角的定义即可得．2．如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．（1）若，，求∠D的度数；（2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由．【答案】（1）解：∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=12∠ABC=1∵CD平分△ABC的外角，∴∠DCA=12(180°-∠ACB)=1∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-37.5°-67.5°-45°=30°.（2）解：猜想：∠D=

12∵∠M+∠N+∠CBM+∠NCB=360°,∴∠D=180°-12∠CBM-∠NCB-1

=180°-12(360°-∠NCB-∠M-∠N)-∠NCB-1

=180°-180°+12∠NCB+12∠M+12

=12∠M+12∠N-12∠NCB-1

或写成【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠DBC=37.5°，根据邻补角定义以及角平分线定义求得∠DCA的度数为67.5°，最后根据三角形内角和定理即可求得∠D的度数；(2)由四边形内角和与角平分线性质即可求解.3．如图，已知CD∥EF，A，B分别是CD和EF上一点，BC平分∠ABE，BD平分∠ABF（1）证明：BD⊥BC;（2）如图，若G是BF上一点，且∠BAG=50°，作∠DAG的平分线交BD于点P，求∠APD的度数：（3）如图，过A作AN⊥EF于点N，作AQ∥BC交EF于Q，AP平分∠BAN交EF于P，直接写出∠PAQ=________.【答案】（1）证明：∵BC平分∠ABE，BD平分∠ABF∴∠ABC=12∠ABE，∠ABD=1∴∠ABC+∠ABD=12（∠ABE+∠ABF）=1∴BD⊥BC（2）解：∵CD∥EFBD平分∠ABF∴∠ADP=∠DBF=12又AP平分∠DAG，∠BAG=50°∴∠DAP=12∴∠APD=180°－∠DAP－∠ADP=180°－12∠DAG－1=180°－12(∠DAB－∠BAG)－1=180°－12∠DAB+12×50°－=180°－12=180°－12=115°（3）45°【解析】【解答】（3）解：如图，∵AQ∥BC∴∠1=∠4，∠2+∠3+∠4=180°，∵BC平分∠ABE，∴∠1=∠2=∠4，∴12又∵CD∥EF，AN⊥EF，AP平分∠BAN∴∠PAN=12∴∠PAQ=∠PAN+∠NAQ=12=45°-12=135°-（12=135°-90°=45°.【分析】（1）根据角平分线和平角的定义可得∠CBD=90°，即可得出结论；（2）根据平行线的性质以及角平分线的定义可得∠ADP=∠DBF=12∠ABF，∠DAB+∠ABF=180°，∠DAP=12∠DAG，然后根据出三角形内角和即可求出∠APD的度数；（3）根据平行线的性质以及角平分线的定义可得∠1=∠2=∠4，∠2+∠3+∠4=180°，即12∠3+∠4=90°，根据垂直和平行线的性质以及角平分线的定义可得∠PAN=14．已知，如图，在四边形ABCD中，AB//CD，延长BC至点E，连接AE交CD于点F，使∠BAC=（1）求证：∠BAF=（2）求证：AD//BE；（3）若BF平分∠ABC，请写出∠AFB与∠CAF的数量关系________.(【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF，∴∠BAF=∠CAD；（2）证明：∵∠BAC=∠DAF，∠ACB=∠CFE=∠AFD，∴∠B=∠D，∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°，∴∠D+∠BCD=180°，∴AD∥BE；（3）2∠AFB+∠CAF=180°【解析】【解答】解：(3)如图2,∵AD∥BE,∴∠E=∠1=∠2，∵BF平分∠ABC，∴∠3=∠4，∵∠AFB是△BEF的外角，∴∠AFB=∠4+∠E=∠4+∠1，∴∠AFB=3+∠2，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠3+∠4+∠1+∠CAF+∠2=180°，即2∠AFB+∠CAF=180°.故答案为：2∠AFB+∠CAF=180°.【分析】（1）根据∠BAC=∠DAE，运用等式性质即可得出∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF，进而得到∠BAF=∠CAD；（2）根据∠BAC=∠DAF，∠ACB=∠CFE=∠AFD，可得∠B=∠D，最后根据∠B+∠BCD=180°，可得∠D+∠BCD=180°，进而判定AD∥BE；（3）根据AD∥BE，可得∠E=∠1=∠2，再根据BF平分∠ABC，可得∠3=∠4，根据∠AFB是△BEF的外角，得出∠AFB=∠4+∠E=∠4+∠1，即∠AFB=3+∠2，最后根据AD∥BC，得到∠ABC+∠BAD=180°，进而得到2∠AFB+∠CAF=180°．5．如图，已知AM//BN，∠A=600.点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN.（1）求∠ABN的度数（2）当点P运动时，∠CBD的度数是否随之发生变化？若不变化，请求出它的度数。若变化，请写出变化规律.（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数。【答案】（1）证明：∵AM//BN∴∠A+∠ABN=180°∵∠A=60°∴∠ABN=180°−∠A=180°−60=120°（2）解：如图，没有变化。∵CB平分∠ABP,

BD平分∠PBN∴∠1=12∠ABP,

∠2=1∴∠CBD=∠1+∠2=∠ABP+∠PBN）=12×1200=60（3）解：如图，∵AM//BN∴∠ACB=∠CBN∵∠ACB=∠ABD∴∠CBN=∠ABD∴∠CBN−∠CBD=∠ABD−∠CBD即∠1=∠4又∵CB平分∠ABP,

BD平分∠PBN∴∠1=∠2

∠3=∠4∴∠1=∠2=∠3=∠4=120°÷4=30°即∠ABC=30°【解析】【分析】(1)根据两直线平行，同旁内角互补即可求出答案；(2)根据角平分线的性质以及角度相加减即可得证；(3)根据两直线平行，同旁内角互补以及已知条件得到∠CBN=∠ABD，根据角度的相加减得到∠1=∠4，再根据角平分线的性质得到∠1=∠2=∠3=∠4，最后根据∠ABN=120°

即可得到答案.6．己知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间。（1）如图①，试说明：∠AEC=∠BAE+∠ECD；（2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿射线CD平移至FG。①如图②，若∠AEC=90°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数；②如图③，若FH平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由。【答案】（1）解：如图①【法1】过点E作直线EK∥AB因为AB∥CD，所以EK∥CD所以∠BAE=∠AEK，∠DCE=∠CEK所以∠AEC=∠AEK+∠CEK=∠BAE+∠ECD【法2】连接AC，则∠BAC+∠DCA=180°则∠BAC+∠DCA=180°即∠BAE+∠EAC+∠ECA+∠ECD=180°所以∠BAE+∠ECD=180°-(∠EAC+∠ECA)=∠AEC即∠AEC=∠BAE+∠ECD（2）解：①【法1】因为AH平分∠BAE，FH平分∠DFG，所以∠BAH=∠EAH，∠DFH=∠GFH又因为FG∥CE，所以∠GFD=∠ECD由(1)知，∠AHF=∠BAH+∠DFH=12∠BAE+12∠DFG=12=12（∠BAE+∠DCE)=12∠AEC=【法2】因为AH平分∠BAE，所以∠BAH=∠EAH因为HE平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x又CE∥FG，所以∠ECD=∠GFD=2x又∠AEC=∠BAE+∠ECD，∠AEC=90°所以∠BAH=∠EAH=45°-x由(1)知，易证∠AHF=∠BAH+∠DFH=45°-x+x=45°②【法1】因为AH平分∠BAE，FH平分∠CFG，所以∠BAH=∠EAH，∠CFH=∠GFH又因为FG∥CE，所以∠GFD=∠ECD由(1)知，∠AHF=∠BAH+∠DFH=12∠BAE+∠GFH+∠GFD=12∠BAE+=12∠BAE+12∠(180°-∠GFD)+∠GFD=90°+=90°+12(∠BAE+∠ECD)=90+1【法2】设∠BAH=∠EAH=x，∠CED=y，则∠GFD=y因为HF平分∠CFG，所以∠GFH=∠CFH=90°-y由(1)知∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+y∠AHF=∠BAH+∠DFH=∠BAH+∠DFG+∠GFH=x+y+90°-y2=x+y2+90°=12所以∠AHF=12【解析】【分析】（1）过点E作直线EK∥AB，根据平行线的性质即可求解；也可连接AC，根据平行线的性质和三角形内角和定理求解；（2）①根据（1）的结论可得∠AHF=∠BAH+∠DFH，再结合平行线的性质和角平分线的定义表示出∠AHF，即可求解；也可设∠GFH=∠DFH=x，则∠BAH=45°-x，再根据∠AHF=∠BAH+∠DFH求解；②根据（1）的结论可得∠AHF=∠BAH+∠DFH，结合角平分线的定义将∠AHF用∠AEC表示出来；也可设∠BAH=∠EAH=x，∠CED=∠GFD=y，则有∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+y，再结合∠AHF=∠BAH+∠DFH即可求解.7．课题学习：平行线的“等角转化功能.（1）问题情景：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求的度数.

天天同学看过图形后立即想出：，请你补全他的推理过程.解：（1）如图1，过点A作，∴________，________.又∵，∴.解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.（2）问题迁移：如图2，，求的度数.（3）方法运用：如图3，，点C在D的右侧，，点B在A的左侧，，BE平分，DE平分，BE、DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间，求的度数.【答案】（1）∠EAB；∠DAC（2）解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE∥AB，∴∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，∴∠B+∠BCD+∠D=360°，（3）解：如图3，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，∴∠ABE=12∠ABC=30°，∠CDE=1∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°．【解析】【解答】解：（1）根据平行线性质可得：因为，所以∠EAB，∠DAC；【分析】（1）根据平行线性质“两直线平行，内错角相等”可得∠B+∠BCD+∠D∠BCF+∠BCD+∠DCF；（2）过C作CF∥AB，根据平行线性质可得；（3）如图3，过点E作EF∥AB，根据平行线性质和角平分线定义可得∠ABE=12∠ABC=30°，∠CDE=18．如图1，已知∠MON=60°，A、B两点同时从点O出发，点A以每秒x个单位长度沿射线ON匀速运动，点B以每秒y个单位长度沿射线OM匀速运动.（1）若运动1s时，点A运动的路程比点B运动路程的2倍还多1个单位长度，运动3s时，点A、点B的运动路程之和为12个单位长度，则x=________，y=________；（2）如图2，点C为△ABO三条内角平分线交点，连接BC、AC，在点A、B的运动过程中，∠ACB的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC并延长，与∠ABM的角平分线交于点P，与AB交于点Q.①试说明∠PBQ=∠ACQ；②在△BCP中，如果有一个角是另一个角的2倍，请写出∠BAO的度数.【答案】（1）3；1（2）解：的度数不发生变化，其值求解如下：由三角形的内角和定理得点C为三条内角平分线交点，即AC平分，BC平分由三角形的内角和定理得（3）解：①由三角形的外角性质得：点C为三条内角平分线交点，即AC平分，OC平分又是的角平分线；②是的角平分线，BC平分由三角形的外角性质得：则在中，如果有一个角是另一个角的2倍，那么一定是.【解析】【解答】（1）由题意得：化简得解得{故答案为：3，1；【分析】（1）根据“路程=速度脳时间”建立一个关于x、y的二元一次方程组，求解即可得；（2）先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理即可得；（3）①先根据三角形的外角性质可得，再根据角平行线的定义即可得；②先根据角平分线的定义、平角的定义得出，再根据三角形的外角性质得出，从而得出，然后根据直角三角形的性质得出，最后根据角的和差、角平分线的定义即可得.9．如（图1），在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段AB交y轴于F点.（1）填空：a=________，b=________；（2）点D为y轴正半轴上一点，若ED//AB，，且AM,DM分别平分，如（图2），求的度数；（3）求点F的坐标；（4）如（图3），在y轴上是否存在一点Q，使三角形ABQ的面积和三角形ABC的面积相等？若存在，求出Q点坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）-3；3（2）解：∵AB∥DE，∴∠ODE＋∠DFB＝180°，∵，∴∠DFB＝∠AFO＝180°-140°=40°，∴∠FAO＝50°，∵AM,DM分别平分，∴∠OAN＝12∠FAO=25°，∠NDM＝12∠ODE=70°，∴∠DNM=∠ANO=90°-25°=65°，∴∠AMD=180°−∠DNM-∠NDM＝45°（3）解：连结OB，如图，设F（0，t），∵△AOF的面积＋△BOF的面积＝△AOB的面积，∴12×3×t＋12×t×3＝12×3×3，解得t＝32（4）解：存在，∵，∴△ABC的面积=，设Q（0，y），∵△ABQ的三角形＝△AQF的面积＋△BQF的面积，∴12•|y−32|•3＋12•|y−32|•3＝21【解析】【解答】解：（1）∵（a＋b）2＋|b-a-6|＝0，∴a＋b＝0，b-a-6＝0，∴a＝−3，b＝3，故答案为：-3，3；【分析】（1）根据非负数的性质得a＋b＝0，b-a-6＝0，然后解方程组求出a和b即可得到点A和B的坐标；（2）由AB∥DE可知∠ODE＋∠DFB＝180°，得到∠DFB＝∠AFO＝180°-140°=40°，所以∠FAO＝50°，再根据角平分线定义得∠OAN＝12∠FAO=25°，∠NDM＝12∠ODE=70°，得到∠DNM=∠ANO=90°-25°=65°，然后根据三角形内角和定理得∠AMD=180°−∠DNM-∠NDM＝45°；（3）①连结OB，如图3，设F（0，t），根据△AOF的面积＋△BOF的面积＝△AOB的面积得到12×3×t＋12×t×3＝12×3×3，解得t＝32，则可得到F点坐标为（0，32）；（4）先计算△ABC的面积＝212，利用△ABQ的三角形＝△AQF的面积＋△BQF的面积得到1210．

（1）①如图1，已知，，可得________.②如图2，在①的条件下，如果CM平分，则________.③如图3，在①、②的条件下，如果，则________.（2）尝试解决下面问题：已知如图4，，，CN是的平分线，，求的度数.【答案】（1）60°；30°；60°（2）解：∵，∴，∵，∴.∵CN是的平分线，∴∵，∴.【解析】【解答】解：(1)①由两直线平行，内错角相等得到∠BCD=60°；②如果CM平分，则=30°；③如果，则90°－60°.【分析】(1)①根据两直线平行,内错角相等即可求解;②根据角平分线的定义求解即可;③根据互余的两个角的和等于90°,计算即可;(2)先根据两直线平行,同旁内角互补和角平分线的定义求出∠BCN的度数,再利用互余的两个角的和等于90°即可求出.11．已知直线．（1）如图1，直接写出，和之间的数量关系．（2）如图2，BF，DF分别平分，，那么和有怎样的数量关系？请说明理由．（3）